Trang 11 — Chương 1: Mệnh đề toán học. Tập hợp

Bài 1. Cho mệnh đề PP: "Mọi số tự nhiên nn đều chia hết cho 33". Phát biểu mệnh đề phủ định của PP.

Lời giải: Mệnh đề phủ định của PP là: P‾\overline{P}: "Tồn tại số tự nhiên nn không chia hết cho 33".

Bài 2. Phát biểu mệnh đề P⇒QP \Rightarrow Q, và xét sự đúng sai của mỗi mệnh đề đó.

Lời giải: a) PP: "Số nn chia hết cho 33" và QQ: "Số nn chia hết cho 66".

Mệnh đe^ˋ P⇒QMệnh \ đề \ P \Rightarrow Q: "Nếu số nn chia hết cho 33 thì số nn chia hết cho 66".

Xét sự đúng sai:

  • Nếu n=3n = 3 thì PP đúng nhưng QQ sai. Do đó P⇒QP \Rightarrow Q sai.

b) PP: "Số nn chia hết cho 33" và QQ: "n2n^2 chia hết cho 33".

Mệnh đe^ˋ P⇒QMệnh \ đề \ P \Rightarrow Q: "Nếu số nn chia hết cho 33 thì n2n^2 chia hết cho 33".

Xét sự đúng sai:

  • Nếu n=3k (k∈Z)n = 3k \ (k \in \mathbb{Z}) thì n⋮3n \vdots 3 và n2=(3k)2=9k2⋮3n^2 = (3k)^2 = 9k^2 \vdots 3.

Do đó P⇒QP \Rightarrow Q đúng.

Bài 3. Phát biểu mệnh đề P⇔QP \Leftrightarrow Q.

Lời giải: Mệnh đe^ˋ P⇔QMệnh \ đề \ P \Leftrightarrow Q: "P⇔Q  ⟺  P \Leftrightarrow Q \iff ("Nếu PP thì QQ") và ("Nếu QQ thì PP").

Ví dụ 7. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để phát biểu lại mệnh đề: “Nếu một số nn chia hết cho 1515 thì số nn chia hết cho cả 33 và 55”.

Lời giải: Mệnh đề trên có thể được phát biểu là:

  • “Điều kiện cần để số nn chia hết cho cả 33 và 55 là số nn chia hết cho 1515”.
  • “Điều kiện đủ để số nn chia hết cho cả 33 và 55 là số nn chia hết cho 1515”.

Ví dụ 8. Cho mệnh đề PP: “Với mọi số tự nhiên nn, n2+1>0n^2 + 1 > 0”.

Lời giải: a) Mệnh đề PP được viết là: P:"∀x∈R, x2+1>0"P: "\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 > 0".

Chứng minh mệnh đề PP là đúng:

Xét một số thực xx bất kì.

Ta có: x2≥0 ∀x∈Rx^2 \ge 0 \ \forall x \in \mathbb{R}.

  ⟹  x2+1>0 ∀x∈R\implies x^2 + 1 > 0 \ \forall x \in \mathbb{R}.

Vậy mệnh đề PP là đúng.

b) Mệnh đề QQ được viết là: Q:"∃n∈N, n2+nQ: "\exists n \in \mathbb{N}, \ n^2 + n chia hết cho 66".

Chứng minh mệnh đề QQ là sai:

Chọn n=1n = 1, ta thấy n2+n=12+1=2n^2 + n = 1^2 + 1 = 2 không chia hết cho 66.

Vậy mệnh đề QQ là sai.

Trang 12 — Mệnh đề

Bài tập

Bài 5

Sử dụng kí hiệu "∀""\forall" hoặc "∃""\exists" để viết các mệnh đề sau và xét xem mệnh đề đó là đúng hay sai, giải thích vì sao.

a) M:M: "Tồn tại số thực xx sao cho x2−8=0x^2 - 8 = 0".

b) N:N: "Tồn tại số nguyên xx sao cho 2x+1=02x + 1 = 0".

Lời giải:

a) Mệnh đề MM được viết là M:∃x∈R,x2−8=0M: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 - 8 = 0.

Để chứng minh mệnh đề MM sai, ta cần chứng minh rằng với mọi số thực xx thì x2−8≠0x^2 - 8 \neq 0. Thật vậy, với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}, ta có x2≥0x^2 \geq 0 nên x2−8≠0x^2 -8 \neq 0. Vậy mệnh đề MM là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề NN được viết là N:∃x∈Z,2x+1=0N: \exists x \in \mathbb{Z}, 2x + 1 = 0.

Để chứng minh mệnh đề NN đúng, ta cần chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xx sao cho 2x+1=02x + 1 = 0. Thật vậy, với x=−12∈Rx = -\frac{1}{2} \in \mathbb{R} nhưng −12∉Z-\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}, do đó không tồn tại số nguyên xx thỏa 2x+1=02x + 1 = 0. Tuy nhiên, nếu xét x=−1x=-1 (là một số nguyên), ta có 2(−1)+1=−1≠02(-1) + 1 = -1 \neq 0. Nhưng với x=−1x = -1, 2x+1=−2+1=−12x+1=-2+1=-1, không thoả 2x+1=02x+1=0. Mệnh đề này sai.

Kết quả:

  • Mệnh đề a) sai
  • Mệnh đề b) sai

Bài 6

Phát biểu "Mọi đa thức đều có bậc không âm" là một mệnh đề không đúng.

Bằng cách sử dụng kí hiệu ∀\forall hoặc ∃\exists, bạn An viết mệnh đề trên lại như sau:

An: "∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, bậc của đa thức xx là một số không âm".

Bình: "∃x∈R\exists x \in \mathbb{R}, bậc của đa thức xx là một số âm".

a) Sử dụng kí hiệu ∀,∃\forall, \exists để viết lại mệnh đề của bạn An.

b) Sử dụng kí hiệu ∃\exists để viết lại mệnh đề của bạn Bình.

Lời giải: a) Mệnh đề của bạn An là "∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, bậc của đa thức xx là một số không âm".

b) Mệnh đề của bạn Bình là "∃x∈R\exists x \in \mathbb{R}, bậc của đa thức xx là một số âm".

Bài 7

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, ∣x∣≥x|x| \geq x.

b) ∃x∈R\exists x \in \mathbb{R}, x2+1=0x^2 + 1 = 0.

Lời giải:

a) Phủ định của mệnh đề "∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, ∣x∣≥x|x| \geq x" là mệnh đề "∃x∈R\exists x \in \mathbb{R}, ∣x∣<x|x| < x".

b) Phủ định của mệnh đề "∃x∈R\exists x \in \mathbb{R}, x2+1=0x^2 + 1 = 0" là mệnh đề "∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0".

Kết quả:

  • Mệnh đề a) ∃x∈R\exists x \in \mathbb{R}, ∣x∣<x|x| < x
  • Mệnh đề b) ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0

Trang 13 — Chương 1: Mệnh đề toán học. Tập hợp

Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là một mệnh đề toán học?

a) Tích của số tự nhiên lẻ đầu tiên và số tự nhiên chẵn đầu tiên là một số lẻ.

b) Mọi số tự nhiên chẵn đều chia hết cho 22.

c) Có số nguyên tố chia hết cho 55.

d) Ngày 55 tháng 66 ngày Quốc tế Lao động.

Lời giải:

  • a) Phát biểu: "Tích của số tự nhiên lẻ đầu tiên và số tự nhiên chẵn đầu tiên là một số lẻ."

Số tự nhiên lẻ đầu tiên là 11 và số tự nhiên chẵn đầu tiên là 00. Tích của 11 và 00 là 00, đây là một số chẵn.

Vậy phát biểu a) là một mệnh đề toán học, mệnh đề sai.

  • b) Phát biểu: "Mọi số tự nhiên chẵn đều chia hết cho 22".

Đây là một phát biểu đúng, vì theo định nghĩa số tự nhiên chẵn là số chia hết cho 22.

Vậy phát biểu b) là một mệnh đề toán học, mệnh đề đúng.

  • c) Phát biểu: "Có số nguyên tố chia hết cho 55".

Số 55 là một số nguyên tố và chia hết cho 55.

Vậy phát biểu c) là một mệnh đề toán học, mệnh đề đúng.

  • d) Phát biểu: "Ngày 55 tháng 66 ngày Quốc tế Lao động".

Ngày 11 tháng 55 là ngày Quốc tế Lao động.

Vậy phát biểu d) không phải là một mệnh đề toán học.

Kết quả:

  • a) Mệnh đề sai
  • b) Mệnh đề đúng
  • c) Mệnh đề đúng
  • d) Không phải mệnh đề toán học

Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:

a) AA: "51.2\frac{5}{1.2} là một phân số";

b) BB: "Phương trình x2+3x+2=0x^2 + 3x + 2 = 0 có nghiệm";

c) CC: "52+2525^2 + 2^{5^2} là số chính phương";

d) DD: "2025\sqrt{2025} chia hết cho 1515";

Lời giải:

  • a) Mệnh đề phủ định của AA là A‾\overline{A}: "51.2\frac{5}{1.2} không phải là một phân số".

51.2=256\frac{5}{1.2} = \frac{25}{6}, đây là một phân số.

Vậy AA đúng và A‾\overline{A} sai.

  • b) Mệnh đề phủ định của BB là B‾\overline{B}: "Phương trình x2+3x+2=0x^2 + 3x + 2 = 0 vô nghiệm".

Xét phương trình x2+3x+2=0x^2 + 3x + 2 = 0:

$$ x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) = 0 $$

  ⟹  x=−1\implies x = -1 hoặc x=−2x = -2.

Vậy BB đúng và B‾\overline{B} sai.

  • c) Mệnh đề phủ định của CC là C‾\overline{C}: "52+2525^2 + 2^{5^2} không phải là số chính phương".

Ta có: 52=255^2 = 25 và 252=2252^{5^2} = 2^{25}.

Số 2252^{25} không có dạng k2k^2 với kk là số nguyên.

Vậy CC sai và C‾\overline{C} đúng.

  • d) Mệnh đề phủ định của DD là D‾\overline{D}: "2025\sqrt{2025} không chia hết cho 1515".

Ta có: 2025=45\sqrt{2025} = 45.

Vì 45⋮1545 \vdots 15 nên DD đúng và D‾\overline{D} sai.

Kết quả:

  • A‾\overline{A}: Sai
  • B‾\overline{B}: Sai
  • C‾\overline{C}: Đúng
  • D‾\overline{D}: Sai

Bài 3. Cho hai mệnh đề PP và QQ:

PP: "Tam giác ABCABC cân";

QQ: "Tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau".

a) Phát biểu mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q.

b) Phát biểu mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P.

Lời giải:

  • a) Mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q: "Nếu tam giác ABCABC cân thì tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau".

  • b) Mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P: "Nếu tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau thì tam giác ABCABC cân".

Kết quả:

  • Mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q: Đúng
  • Mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P: Đúng

Bài 4. Cho tam giác ABCABC. Xét các mệnh đề:

PP: "Tam giác ABCABC cân";

QQ: "Tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau".

Phát biểu mệnh đề P  ⟺  QP \iff Q bằng hai cách.

Lời giải:

Mệnh đề P  ⟺  QP \iff Q:

  • "Tam giác ABCABC cân khi và chỉ khi tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau".

  • "Tam giác ABCABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau".

Kết quả: Mệnh đề P  ⟺  QP \iff Q: Đúng

Bài 5. Dùng kí hiệu ∀\forall hoặc ∃\exists để viết các mệnh đề sau:

a) Có số nguyên không chia hết cho chính nó;

b) Mọi số thực cộng với 00 đều bằng chính nó.

Lời giải:

  • a) ∃x∈Z,x∤x\exists x \in \mathbb{Z}, x \not| x.

Mệnh đề này sai vì mọi số nguyên đều chia hết cho chính nó.

  • b) ∀x∈R,x+0=x\forall x \in \mathbb{R}, x + 0 = x.

Mệnh đề này đúng.

Kết quả:

  • a) ∃x∈Z,x∤x\exists x \in \mathbb{Z}, x \not| x (Sai)
  • b) ∀x∈R,x+0=x\forall x \in \mathbb{R}, x + 0 = x (Đúng)

Bài 6. Phát biểu các mệnh đề sau:

a) ∀x∈R,x2≥0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0;

b) ∃x∈R,1x>x\exists x \in \mathbb{R}, \frac{1}{x} > x.

Lời giải:

  • a) Mệnh đề: "Với mọi số thực xx, x2x^2 đều lớn hơn hoặc bằng 00".

Mệnh đề này đúng.

  • b) Mệnh đề: "Tồn tại số thực xx sao cho 1x>x\frac{1}{x} > x".

Xét x=0,5x = 0,5, ta có: 10,5=2>0,5\frac{1}{0,5} = 2 > 0,5.

Vậy mệnh đề này đúng.

Kết quả:

  • a) Đúng
  • b) Đúng

Bài 7. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:

a) ∀x∈R,x2−2>0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - 2 > 0;

b) ∀x∈R,x2≥2x−1\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 2x - 1;

c) ∃x∈R,1x>x\exists x \in \mathbb{R}, \frac{1}{x} > x;

d) ∃x∈R,x2−x+1<0\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 < 0.

Lời giải:

  • a) Mệnh đề phủ định: ∃x∈R,x2−2≤0\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - 2 \leq 0.

Mệnh đề phủ định này đúng vì với x=0x = 0 thì 02−2=−2≤00^2 - 2 = -2 \leq 0.

  • b) Mệnh đề phủ định: ∃x∈R,x2<2x−1\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 2x - 1.

Biến đổi bất phương trình: x2−2x+1<0x^2 - 2x + 1 < 0.

  ⟹  (x−1)2<0\implies (x-1)^2 < 0.

Bất phương trình này vô nghiệm.

Vậy mệnh đề phủ định này sai.

  • c) Mệnh đề phủ định: ∀x∈R,1x≤x\forall x \in \mathbb{R}, \frac{1}{x} \leq x.

Mệnh đề phủ định này sai vì với x=0,5x = 0,5 thì 10,5=2>0,5\frac{1}{0,5} = 2 > 0,5.

  • d) Mệnh đề phủ định: ∀x∈R,x2−x+1≥0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 \geq 0.

Ta có: x2−x+1=(x−12)2+34>0x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0.

Vậy mệnh đề phủ định này sai.

Kết quả:

  • a) Đúng
  • b) Sai
  • c) Sai
  • d) Sai

Trang 14 — Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài 1. Lời thế để đến lạ quãn hệ giữa tập hợp AA và tập hợp BB?

Bài 2. a) Viết tập hợp BB gồm các số chia hết cho một chất và chia hét cho 33. Liệt kê các phần tử của tập hợp đó.

b) Minh hoạ tập hợp BB bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phân tử của tập hợp đó.

Lời giải:

Bài 1.

  • Tập hợp AA và tập hợp BB có thể có quan hệ là:
  • AA là tập con của BB (A⊆BA \subseteq B).
  • AA bằng BB (A=BA = B).
  • AA giao BB khác tập rỗng (A∩B≠∅A \cap B \ne \emptyset).
  • AA và BB là hai tập hợp rời nhau (A∩B=∅A \cap B = \emptyset).

Bài 2. a) Tập hợp BB gồm các số tự nhiên chia hết cho 33 và 55. Các số thỏa mãn điều kiện này là 0,15,30,...0, 15, 30, ...

Ta viết tập hợp BB theo cách liệt kê các phần tử là: B={0;15;30;...}B = \{0; 15; 30; ...\}

b) Tập hợp BB gồm các số tự nhiên chia hết cho 55 và có dạng 5k5k với k∈Nk \in \mathbb{N}. Các số thỏa mãn điều kiện này là 0,5,10,15,20,...0, 5, 10, 15, 20, ...

Ta viết tập hợp BB theo cách chỉ rõ tính chất đặc trưng cho các phần tử là: B={5k∣k∈N}B = \{5k | k \in \mathbb{N}\}

Bài 3. a) C={x∈R∣x2<0}C = \{x \in \mathbb{R} | x^2 < 0\}

  • Vì x2≥0x^2 \ge 0 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R} ⇒\Rightarrow Tập CC không có phần tử nào.

b) D={a}D = \{a\}

  • Tập DD có 11 phần tử.

c) E={b;c;d}E = \{b; c; d\}

  • Tập EE có 33 phần tử.

d) F={0;1;2;...}F = \{0; 1; 2; ...\}

  • Tập FF có vô số phần tử.

Kết quả:

  • Bài 1: A⊆BA \subseteq B hoặc A=BA = B hoặc A∩B≠∅A \cap B \ne \emptyset hoặc A∩B=∅A \cap B = \emptyset.
  • Bài 2:
    • a) B={0;15;30;...}B = \{0; 15; 30; ...\}
    • b) B={5k∣k∈N}B = \{5k | k \in \mathbb{N}\}
  • Bài 3:
    • a) Tập CC không có phần tử nào.
    • b) Tập DD có 11 phần tử.
    • c) Tập EE có 33 phần tử.
    • d) Tập FF có vô số phần tử.