Trang 111 — Bài tập cuối chương 4

Bài 1.

Giải các bất phương trình sau:

a)  2x2+3x+1≥0a)\; 2x^2 + 3x + 1 \geq 0

b)  −3x2+2x+1>0b)\; -3x^2 + 2x + 1 > 0

c)  x2+x−1≥0c)\; x^2 + x - 1 \geq 0

d)  0,2x2−0,2x−1<0d)\; 0,2x^2 - 0,2x - 1 < 0

Lời giải:

a)  2x2+3x+1≥0a)\; 2x^2 + 3x + 1 \geq 0

Tam thức bậc hai 2x2+3x+12x^2 + 3x + 1 có hai nghiệm là x1=−1x_1 = -1 và x2=−12x_2 = - \frac{1}{2} (đây là bước bạn cần giải phương trình 2x2+3x+1=02x^2 + 3x + 1=0 để tìm nghiệm, có thể dùng máy tính)

Hệ số a=2>0a=2 >0.

Lập bảng xét dấu:

Khoảng (−∞;−1)(-\infty; -1) (−1;−12)(-1;-\frac{1}{2}) (−12;+∞)(-\frac{1}{2};+\infty)
2x2+3x+12x^2 + 3x + 1 + - +

Vậy bất phương trình 2x2+3x+1≥02x^2 + 3x + 1 \geq 0 có tập nghiệm là (−∞;−1]∪[−12;+∞)(-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{2};+\infty).

b)  −3x2+2x+1>0b)\; -3x^2 + 2x + 1 > 0

Tam thức bậc hai −3x2+2x+1-3x^2 + 2x + 1 có hai nghiệm là x1=−13x_1 = - \frac{1}{3} và x2=1x_2 = 1 (đây là bước bạn cần giải phương trình −3x2+2x+1=0-3x^2 + 2x + 1=0 để tìm nghiệm, có thể dùng máy tính)

Hệ số a=−3<0a=-3 <0.

Lập bảng xét dấu:

Khoảng (−∞;−13)(-\infty; - \frac{1}{3}) (−13;1)(- \frac{1}{3}; 1) (1;+∞)(1;+\infty)
−3x2+2x+1-3x^2 + 2x + 1 + - +

Vậy bất phương trình −3x2+2x+1>0-3x^2 + 2x + 1 > 0 có tập nghiệm là (−13;1)(- \frac{1}{3}; 1).

c)  x2+x−1≥0c)\; x^2 + x - 1 \geq 0

Tam thức bậc hai x2+x−1x^2 + x - 1 có hai nghiệm là x1=−1−52x_1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} và x2=−1+52x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} (đây là bước bạn cần giải phương trình x2+x−1=0x^2 + x - 1=0 để tìm nghiệm, có thể dùng máy tính)

Hệ số a=1>0a=1 >0.

Lập bảng xét dấu:

Khoảng (−∞;−1−52)(-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}) (−1−52;−1+52)(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) (−1+52;+∞)(\frac{-1+\sqrt{5}}{2};+\infty)
x2+x−1x^2 + x - 1 + - +
Vậy bất phương trình x2+x−1≥0x^2 + x - 1 \geq 0 có tập nghiệm là (−∞;−1−52]∪[−1+52;+∞)(-\infty; \frac{-1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{5}}{2};+\infty).

d)  0,2x2−0,2x−1<0d)\; 0,2x^2 - 0,2x - 1 < 0

Chia cả 2 vế cho 0,2 ta được: x2−x−5<0x^2 - x - 5 < 0

Tam thức bậc hai x2−x−5x^2 - x - 5 có hai nghiệm là x1=1−212x_1 = \frac{1-\sqrt{21}}{2} và x2=1+212x_2 = \frac{1+\sqrt{21}}{2} (đây là bước bạn cần giải phương trình x2−x−5=0x^2 - x - 5=0 để tìm nghiệm, có thể dùng máy tính)

Hệ số a=1>0a=1 >0.

Lập bảng xét dấu:

Khoảng (−∞;1−212)(-\infty; \frac{1-\sqrt{21}}{2}) (1−212;1+212)(\frac{1-\sqrt{21}}{2};\frac{1+\sqrt{21}}{2}) (1+212;+∞)(\frac{1+\sqrt{21}}{2};+\infty)
x2−x−5x^2 -x - 5 + - +
Vậy bất phương trình 0,2x2−0,2x−1<00,2x^2 - 0,2x - 1 < 0 có tập nghiệm là (1−212;1+212)(\frac{1-\sqrt{21}}{2};\frac{1+\sqrt{21}}{2}).

Trang 112 — Bài tập về mệnh đề

Bài tập 1. Sử dụng kí hiệu “∀\forall” và “∃\exists” để viết mệnh đề sau và xét xem mệnh đề đó là đúng hay sai, giải thích vì sao.

a) MM: “Tồn tại số thực xx sao cho x2−8=0x^2 - 8 = 0”

b) NN: “Tồn tại số nguyên xx sao cho 2x+12x + 1 chia hết cho 22”

Lời giải:

a) Mệnh đề MM được viết là: MM: ∃x∈R,x2−8=0\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - 8 = 0

Để chứng minh mệnh đề MM là đúng, ta cần chỉ ra một số thực xx thỏa mãn x2−8=0x^2 - 8 = 0. Thật vậy, với x=22x = 2\sqrt{2} (hoặc x=−22x = -2\sqrt{2}), ta có: (22)2−8=8−8=0(2\sqrt{2})^2 - 8 = 8 - 8 = 0.

Vậy mệnh đề MM là mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề NN được viết là: NN: ∃x∈Z,2x+1⋮2\exists x \in \mathbb{Z}, 2x + 1 \vdots 2.

Để chứng minh mệnh đề NN là sai, ta phải chứng minh rằng với mọi số nguyên xx tùy ý thì 2x+12x + 1 không chia hết cho 22. Thật vậy, với mọi số nguyên xx, ta có: 2x⋮22x \vdots 2 và 1̸⋮21 \not\vdots 2 nên 2x+12x + 1 không chia hết cho 22.

Vậy mệnh đề NN là mệnh đề sai.

Kết quả: a) Đúng; b) Sai

Bài tập 2. Bạn An nói: “Mọi đa thức đều có bậc không âm”.

a) Sử dụng kí hiệu “∀\forall” để viết mệnh đề của bạn An.

b) Sử dụng kí hiệu “∃\exists” để viết mệnh đề của bạn Bình.

Lời giải:

a) Mệnh đề của bạn An: “∀\forall đa thức P(x),deg⁡(P(x))≥0P(x), \deg(P(x)) \ge 0”.

b) Mệnh đề của bạn Bình: “∃\exists một đa thức Q(x),deg⁡(Q(x))<0Q(x), \deg(Q(x)) < 0”.

Bài tập 3. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) ∀x∈R,∣x∣≥2\forall x \in \mathbb{R}, |x| \ge 2;

b) ∃x∈R,x2+1=0\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0.

Lời giải:

a) Phủ định của mệnh đề ∀x∈R,∣x∣≥2\forall x \in \mathbb{R}, |x| \ge 2 là: ∃x∈R,∣x∣<2\exists x \in \mathbb{R}, |x| < 2.

b) Phủ định của mệnh đề ∃x∈R,x2+1=0\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0 là: ∀x∈R,x2+1≠0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \ne 0.

Kết quả: a) ∃x∈R,∣x∣<2\exists x \in \mathbb{R}, |x| < 2; b) ∀x∈R,x2+1≠0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \ne 0

Trang 113 — Bài tập về mệnh đề

Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

a) Tích số 6×46 \times 4 có một ước là 33.

b) Mọi số thực nhân với 00 đều bằng 00.

c) Có sống người thích Trịnh Công Sơn.

d) Ngày 55 tháng 99 ngày Quốc tế Lao động.

Lời giải:

a) Phát biểu này là một mệnh đề toán học.

  • Vì 6×4=246 \times 4 = 24 và 2424 có các ước là ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±24\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24.

  • Ta thấy 33 là một ước của 2424.

  ⟹  \implies Mệnh đề này đúng.

b) Phát biểu này là một mệnh đề toán học.

  • Ta có ∀x∈R,x⋅0=0\forall x \in \mathbb{R}, x \cdot 0 = 0.

  ⟹  \implies Mệnh đề này đúng.

c) Phát biểu này không phải là một mệnh đề toán học.

  • Vì nó không liên quan đến toán học và không xác định được tính đúng/sai.

d) Phát biểu này không phải là một mệnh đề toán học.

  • Vì nó chỉ là một sự kiện lịch.

Kết quả: a, b.

Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:

a) AA: "51.2\frac{5}{1.2} là một phân số".

b) BB: "Phương trình x2+3x+2=0x^2 + 3x + 2 = 0 có nghiệm".

c) CC: "52+32=425^2 + 3^2 = 4^2".

d) DD: "Số 20252025 chia hết cho 1515".

Lời giải:

a) ¬A\neg A: "51.2\frac{5}{1.2} không phải là một phân số".

  • Ta có 51.2=256\frac{5}{1.2} = \frac{25}{6}, đây là một phân số.

  ⟹  \implies ¬A\neg A sai.

b) ¬B\neg B: "Phương trình x2+3x+2=0x^2 + 3x + 2 = 0 vô nghiệm".

  • Phương trình x2+3x+2=0x^2 + 3x + 2 = 0 có nghiệm là x1=−1,x2=−2x_1 = -1, x_2 = -2.

  ⟹  \implies ¬B\neg B sai.

c) ¬C\neg C: "52+32≠425^2 + 3^2 \neq 4^2".

  • Ta có 52+32=25+9=345^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 và 42=164^2 = 16.

  ⟹  \implies ¬C\neg C đúng.

d) ¬D\neg D: "Số 20252025 không chia hết cho 1515".

  • Ta có 2025=15⋅1352025 = 15 \cdot 135.

  ⟹  \implies ¬D\neg D sai.

Kết quả: a) ¬A\neg A sai; b) ¬B\neg B sai; c) ¬C\neg C đúng; d) ¬D\neg D sai.

Bài 3. Cho hai mệnh đề:

PP: "aa là một số nguyên chia hết cho 1616";

QQ: "aa là một số nguyên chia hết cho 88".

a) Phát biểu mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q.

b) Phát biểu mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P.

Lời giải:

a) Mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q phát biểu là:

"Nếu aa là một số nguyên chia hết cho 1616 thì aa là một số nguyên chia hết cho 88".

  • Ta có 16=2⋅816 = 2 \cdot 8, nên nếu aa chia hết cho 1616 thì aa cũng chia hết cho 88.

  ⟹  \implies Mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q đúng.

b) Mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P phát biểu là:

"Nếu aa là một số nguyên chia hết cho 88 thì aa là một số nguyên chia hết cho 1616".

  • Điều này không đúng, ví dụ a=8a = 8 chỉ chia hết cho 88 nhưng không chia hết cho 1616.

  ⟹  \implies Mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P sai.

Kết quả: a) Đúng; b) Sai.

Bài 4. Cho tam giác ABCABC. Xét các mệnh đề:

PP: "Tam giác ABCABC cân";

QQ: "Tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau".

Phát biểu mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q và mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P và xét tính đúng, sai của mỗi mệnh đề.

Lời giải:

  • Mệnh đề P  ⟹  QP \implies Q:

"Nếu tam giác ABCABC cân thì tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau".

  • Mệnh đề này đúng.

  • Mệnh đề Q  ⟹  PQ \implies P:

"Nếu tam giác ABCABC có hai đường cao bằng nhau thì tam giác ABCABC cân".

  • Mệnh đề này cũng đúng.

Kết quả: Cả hai mệnh đề đều đúng.

Bài 5. Dùng kí hiệu ∀\forall hoặc ∃\exists để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Mọi số thực cộng với 00 đều bằng chính nó.

Lời giải:

a) ∃x∈Z,x∤x\exists x \in \mathbb{Z}, x \not| x.

  • Mệnh đề này sai vì ∀x∈Z,x≠0\forall x \in \mathbb{Z}, x \neq 0 thì xx chia hết cho chính nó.

b) ∀x∈R,x+0=x\forall x \in \mathbb{R}, x + 0 = x.

  • Mệnh đề này đúng.

Kết quả: a) Sai; b) Đúng.

Bài 6. Phát biểu các mệnh đề sau:

a) ∀x∈R,x2≥0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0;

b) ∃x∈R,xx2+1>0\exists x \in \mathbb{R}, \frac{x}{x^2 + 1} > 0.

Lời giải:

a) Mệnh đề này phát biểu là:

"Với mọi số thực xx, x2x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 00".

  • Mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề này phát biểu là:

"Có một số thực xx sao cho xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} lớn hơn 00".

  • Mệnh đề này đúng, ví dụ x=1  ⟹  112+1=12>0x = 1 \implies \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} > 0.

Kết quả: Cả hai mệnh đề đều đúng.

Bài 7. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:

a) ∀n∈N,n2+1\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 không chia hết cho 22;

b) ∀x∈R,x2≥2x\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 2x;

c) ∃x∈R,xx2+1≥1\exists x \in \mathbb{R}, \frac{x}{x^2 + 1} \geq 1;

d) ∃x∈R,x2−x+1<0\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 < 0.

Lời giải:

a) ∃n∈N,n2+1\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1 chia hết cho 22.

  • Mệnh đề này sai.

b) ∃x∈R,x2<2x\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 2x.

  • Mệnh đề này đúng.

c) ∀x∈R,xx2+1<1\forall x \in \mathbb{R}, \frac{x}{x^2 + 1} < 1.

  • Mệnh đề này đúng.

d) ∀x∈R,x2−x+1≥0\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 \geq 0.

  • Mệnh đề này đúng.

Kết quả: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Trang 114 — Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài 1. Làm thế nào để diễn đạt để xác định quan hệ giữa tập hợp AA và tập hợp BB?

Lời giải: Tập hợp AA được gọi là tập con của tập hợp BB nếu mọi phần tử của tập hợp AA đều là phần tử của tập hợp BB. Ký hiệu A⊆BA \subseteq B.

Quan hệ giữa tập hợp AA và tập hợp BB có thể được diễn đạt như sau:

  • AA là tập con của BB, ký hiệu A⊆BA \subseteq B.
  • Mọi phần tử của AA đều thuộc BB.

Ví dụ:

  • Tập hợp A={1;2;3}A = \{1; 2; 3\} và tập hợp B={1;2;3;4;5}B = \{1; 2; 3; 4; 5\}. Khi đó, A⊆BA \subseteq B.

Kết quả: A⊆BA \subseteq B

Bài 2. a) Viết tập hợp BB bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải: a) Tập hợp BB gồm các số tự nhiên là bội của 33 và nhỏ hơn 1010.

Các phần tử của tập hợp BB là: 0;3;6;90; 3; 6; 9.

Vậy B={0;3;6;9}B = \{0; 3; 6; 9\}.

Kết quả: B={0;3;6;9}B = \{0; 3; 6; 9\}

b) Nếu phần tử không thuộc tập hợp AA.

Lời giải: b) Nếu phần tử không thuộc tập hợp AA, ta kí hiệu ∉\notin.

Ví dụ: d∉Ad \notin A.

Kết quả: d \notin A

Ví dụ 1. a) Viết tập hợp BB bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải: a) Tập hợp BB gồm các phần tử là 0;3;6;90; 3; 6; 9.

Tập hợp BB được viết theo cách liệt kê các phần tử là:

$$ B = {0; 3; 6; 9}. $$

Tập hợp BB được viết theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử là:

$$ B = {x \in \mathbb{N} | x \vdots 3 \text{ và } x < 10}. $$

Kết quả: B={0;3;6;9}B = \{0; 3; 6; 9\}.

b) Minh hoạ tập hợp BB bằng biểu đồ Ven.

Lời giải: b) Biểu đồ Ven:

  • Vẽ một vòng tròn khép kín, đánh dấu là BB.
  • Trong vòng tròn, đánh dấu các phần tử 0;3;6;90; 3; 6; 9.

Kết quả: [Không có kết quả số]

Ví dụ 2. Cho tập hợp A={x∈N∣x>2}A = \{x \in \mathbb{N} | x > 2\}.

Lời giải:

  • Tập hợp AA gồm các phần tử là các số tự nhiên lớn hơn 22.

  • Minh hoạ tập hợp AA bằng biểu đồ Ven:

  • Vẽ một vòng tròn khép kín, đánh dấu là AA.
  • Đánh dấu phần bên ngoài vòng tròn với các số 0;1;20; 1; 2.

Kết quả: [Không có kết quả số]