Trang 115 — Tập con và tập hợp bằng nhau

Trang này có các phần lý thuyết về tập con và tập hợp bằng nhau, không có bài tập cụ thể cần giải.

Trang 116 — Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Bài 2. Tập hợp bằng nhau

Cho hai tập hợp:

A={n∈N∣n laˋ bội chung của 2 vaˋ 3},B={n∈N∣n laˋ bội của 6}.A = \{n \in \mathbb{N} | n \text{ là bội chung của 2 và 3}\}, B = \{n \in \mathbb{N} | n \text{ là bội của 6}\}.

Các mệnh đề sau đúng hay không?

a) A⊂B.A \subset B.

b) B⊂A.B \subset A.

Lời giải:

Ta có AA là tập hợp các số tự nhiên là bội chung của 22 và 33, nghĩa là AA gồm các số tự nhiên chia hết cho cả 22 và 33.

Các số tự nhiên chia hết cho cả 22 và 33 thì chia hết cho 66.

Do đó A={n∈N∣n laˋ bội của 6}A = \{n \in \mathbb{N} | n \text{ là bội của 6}\}.

Rõ ràng A⊂BA \subset B và B⊂AB \subset A.

Vậy cả hai mệnh đề a) và b) đều đúng.

Kết quả: Đúng

Bài 3. Cho hai tập hợp E={n∈N∣n chia heˆˊt cho 3}E = \{n \in \mathbb{N} | n \text{ chia hết cho 3}\} và G={n∈N∣n chia heˆˊt cho 9}G = \{n \in \mathbb{N} | n \text{ chia hết cho 9}\}. Chứng tỏ rằng E=GE = G.

Lời giải:

Ta có EE là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 33, GG là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 99.

Các số tự nhiên chia hết cho 99 thì cũng chia hết cho 33.

Ngược lại, các số tự nhiên chia hết cho 33 thì có dạng 3k3k với k∈Nk \in \mathbb{N}.

Số 3k3k chia hết cho 99 khi và chỉ khi kk chia hết cho 33, hay k=3tk = 3t với t∈Nt \in \mathbb{N}.

Do đó 3k=3⋅3t=9t3k = 3 \cdot 3t = 9t.

Vậy E=GE = G.

Kết quả: E=GE = G

Bài 4. Tìm giao của hai tập hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) A={x∈N∣x laˋ bội của 16},B={x∈N∣x laˋ bội của 20}A = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 16}\}, B = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 20}\}.

b) C={x∈N∣x laˋ bội của 4},D={x∈N∣x laˋ bội của 5}C = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 4}\}, D = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 5}\}.

Lời giải:

a) Ta có AA là tập hợp các số tự nhiên là bội của 1616, BB là tập hợp các số tự nhiên là bội của 2020.

Các số tự nhiên là bội của cả 1616 và 2020 thì là bội của BCNN(16,20)=80\text{BCNN}(16, 20) = 80.

Do đó A∩B={x∈N∣x laˋ bội của 80}A \cap B = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 80}\}.

b) Ta có CC là tập hợp các số tự nhiên là bội của 44, DD là tập hợp các số tự nhiên là bội của 55.

Các số tự nhiên là bội của cả 44 và 55 thì là bội của BCNN(4,5)=20\text{BCNN}(4, 5) = 20.

Do đó C∩D={x∈N∣x laˋ bội của 20}C \cap D = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 20}\}.

Kết quả: a) A∩B={x∈N∣x laˋ bội của 80}A \cap B = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 80}\}. b) C∩D={x∈N∣x laˋ bội của 20}C \cap D = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của 20}\}.

Trang 117 — Hợp của hai tập hợp

Ví dụ 5. Cho tập hợp AA các số hữu tỉ và tập hợp R\mathbb{R} các số thực. Tìm A∩RA \cap \mathbb{R}.

Lời giải: Ta có: Q\mathbb{Q} là tập hợp các số hữu tỉ, R\mathbb{R} là tập hợp các số thực.

Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

Do đó Q⊂R\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} nên Q∩R=Q.\mathbb{Q} \cap \mathbb{R} = \mathbb{Q}.

Kết quả: Q\mathbb{Q}

Bài tập:

Do đó, kết luận:

Trang 118 — Bài tập về các phép toán trên tập hợp

Bài 1. Cho tập hợp AA là tập các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 1010, BB là tập các số tự nhiên không lớn hơn 55 và là các ước của 1010. Hãy tìm A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, A∖BA \setminus B, B∖AB \setminus A.

Lời giải:

Ta có:

  • Tập AA gồm các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 1010 nên A={0;2;4;6;8;10}A = \{0; 2; 4; 6; 8; 10\}.
  • Tập BB gồm các số tự nhiên không lớn hơn 55 và là các ước của 1010 nên B={1;2;5;10}B = \{1; 2; 5; 10\}.

Ta có:

  • A∩B={2;10}A \cap B = \{2; 10\},
  • A∪B={0;1;2;4;5;6;8;10}A \cup B = \{0; 1; 2; 4; 5; 6; 8; 10\},
  • A∖B={0;4;6;8}A \setminus B = \{0; 4; 6; 8\},
  • B∖A={1;5}B \setminus A = \{1; 5\}.

Kết quả: A∩B={2;10}A \cap B = \{2; 10\}, A∪B={0;1;2;4;5;6;8;10}A \cup B = \{0; 1; 2; 4; 5; 6; 8; 10\}, A∖B={0;4;6;8}A \setminus B = \{0; 4; 6; 8\}, B∖A={1;5}B \setminus A = \{1; 5\}.

Bài 2. Cho tập hợp A={x∈R∣2x2−2x+1=0}A = \{x \in \mathbb{R} | 2x^2 - 2x + 1 = 0\} và tập hợp B={x∈Z∣∣x2−14x+11∣=0}B = \{x \in \mathbb{Z} | |x^2 - 14x + 11| = 0\}. Hãy tìm A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, A∖BA \setminus B, B∖AB \setminus A.

Lời giải:

Ta có:

  • Tập AA là tập nghiệm của phương trình 2x2−2x+1=02x^2 - 2x + 1 = 0. Phương trình này có Δ=(−2)2−4⋅2⋅1=4−8=−4<0\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0, nên phương trình vô nghiệm. Do đó, A=∅A = \emptyset.
  • Tập BB là tập nghiệm của phương trình ∣x2−14x+11∣=0|x^2 - 14x + 11| = 0. Phương trình này tương đương với x2−14x+11=0x^2 - 14x + 11 = 0. Phương trình có Δ=(−14)2−4⋅1⋅11=196−44=152>0\Delta = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 196 - 44 = 152 > 0, nên phương trình có hai nghiệm x=7±38x = 7 \pm \sqrt{38}. Do x∈Zx \in \mathbb{Z} nên B=∅B = \emptyset.

Ta có:

  • A∩B=∅A \cap B = \emptyset,
  • A∪B=∅A \cup B = \emptyset,
  • A∖B=∅A \setminus B = \emptyset,
  • B∖A=∅B \setminus A = \emptyset.

Kết quả: A∩B=∅A \cap B = \emptyset, A∪B=∅A \cup B = \emptyset, A∖B=∅A \setminus B = \emptyset, B∖A=∅B \setminus A = \emptyset.