Giải Toán 10 Tập 1 trang 15-18 - Cánh diều

Trang 15 — Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Trang này có nội dung là lý thuyết về tập con, tập hợp bằng nhau và các kí hiệu liên quan. Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

SKIP

---

Trang 16 — Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Bài 2. Tập hợp bằng nhau

Cho hai tập hợp: $$A = \{ n \in \mathbb{N} \,|\, n \text{ là bội chung của } 2 \text{ và } 3\}, B = \{n \in \mathbb{N} \,|\, n \text{ là bội của } 6\}\,.$$

Các mệnh đề sau đúng hay không? a) $A \subseteq B.$ b) $B \subseteq A.$

Lời giải:

a) Ta có:

• Tập hợp $A$ gồm các phần tử là các số tự nhiên là bội chung của $2$ và $3$, nghĩa là các số tự nhiên chia hết cho cả $2$ và $3$.

• Các số tự nhiên chia hết cho cả $2$ và $3$ thì chia hết cho $6$ (vì $2$ và $3$ là hai số nguyên tố cùng nhau).

• Do đó $A$ gồm các phần tử là các số tự nhiên chia hết cho $6$.

• Tập hợp $B$ gồm các phần tử là các số tự nhiên chia hết cho $6$.

Vậy $A = B$, suy ra $A \subseteq B$ và $B \subseteq A$. Vậy mệnh đề a) đúng.

b) Vì $A = B$ nên $B \subseteq A$ cũng đúng.

Kết quả: Đúng.

Bài 3. Cho hai tập hợp $E = \{ n \in \mathbb{N} \,|\, n \text{ chia hết cho } 3\}$ và $G = \{ n \in \mathbb{N} \,|\, n \text{ chia hết cho } 12\}$. Chứng minh rằng $E = G$.

Lời giải:

Ta có:

• Tập hợp $E$ gồm các phần tử là các số tự nhiên chia hết cho $3$, nghĩa là các số tự nhiên có dạng $3k$ với $k \in \mathbb{N}$.
• Tập hợp $G$ gồm các phần tử là các số tự nhiên chia hết cho $12$, nghĩa là các số tự nhiên có dạng $12m$ với $m \in \mathbb{N}$.

Ta cần chứng minh $E = G$, tức là ta cần chứng minh các số tự nhiên chia hết cho $3$ thì chia hết cho $12$ và ngược lại.

• Nếu $n \in E$ thì $n = 3k$ với $k \in \mathbb{N}$.
  • Nếu $k \vdots 4$ thì $n = 3k \vdots 12$, suy ra $n \in G$.
  • Tuy nhiên, nếu $k$ không chia hết cho $4$, chẳng hạn $k = 2$ thì $n = 6$ không chia hết cho $12$.

Do đó $E \not\subseteq G$.

Vậy $E \ne G$.

Kết quả: $E \ne G$.

Bài 4. Tìm giao của các tập hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) $A = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ là bội của } 16\}, B = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ là bội của } 20\}$.

b) $C = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ chia hết cho } 4\}, D = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ chia hết cho } 5\}$.

Lời giải:

a) Ta có:

• $A$ là tập hợp các số tự nhiên là bội của $16$, nên $A = \{ 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, ... \}$.
• $B$ là tập hợp các số tự nhiên là bội của $20$, nên $B = \{ 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, ... \}$.

Các phần tử chung của $A$ và $B$ là các số tự nhiên là bội của $80$.

Vậy $A \cap B = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ là bội của } 80\}$.

b) Ta có:

• $C$ là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho $4$, nên $C = \{ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... \}$.
• $D$ là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho $5$, nên $D = \{ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ... \}$.

Các phần tử chung của $C$ và $D$ là các số tự nhiên chia hết cho cả $4$ và $5$, tức là chia hết cho $20$.

Vậy $C \cap D = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ chia hết cho } 20\}$.

Kết quả: a) $A \cap B = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ là bội của } 80\}$. b) $C \cap D = \{ x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ chia hết cho } 20\}$.

---

Trang 17 — Hợp của hai tập hợp

Bài tập

VÍ DỤ 5

Cho tập hợp $A$ là tập các số hữu tỉ và tập hợp $I$ là tập các số vô tỉ. Tìm $A \cap I$.

Lời giải: Tập hợp $A$ gồm các số hữu tỉ, tập hợp $I$ gồm các số vô tỉ.

• Tập hợp $A$ và tập hợp $I$ không có phần tử chung vì số hữu tỉ và số vô tỉ không cùng tồn tại trong một số thực.

• Do đó $A \cap I = \emptyset$.

Kết quả: $\emptyset$

VÍ DỤ 6

Cho hai tập hợp: $$ \begin{aligned} A &= {x \in \mathbb{R} ;|; x > 0}, \ B &= {x \in \mathbb{R} ;|; x \geq 0}. \end{aligned} $$

Tìm $A \cup B$.

Lời giải:

• Tập $A$ gồm các số thực $x$ thỏa $x > 0$.

• Tập $B$ gồm các số thực $x$ thỏa $x \geq 0$.

• Mọi số thực $x$ thuộc tập $A$ thì đều thuộc tập $B$, và tập $B$ còn chứa số $0$ không thuộc tập $A$.

• Biểu diễn trên trục số:

  Tập $A$ là nửa khoảng $(0; +\infty)$.

  Tập $B$ là nửa khoảng $[0; +\infty)$.

• Do đó $A \cup B = B = [0; +\infty)$.

Kết quả: $[0; +\infty)$

---

Trang 18 —

Bài tập

Bài 1

Cho tập hợp $A$ là tập các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 10; tập hợp $B$ là tập các số tự nhiên không lớn hơn 5 và chia hết cho 5. Hãy viết tập $A$, tập $B$ bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải: Tập $A$ gồm các số tự nhiên chẵn không lớn hơn $10$ nên $A = \{0; 2; 4; 6; 8; 10\}$.

Tập $B$ gồm các số tự nhiên không lớn hơn $5$ và chia hết cho $5$ nên $B = \{0; 5\}.$

Kết quả: $A = \{0; 2; 4; 6; 8; 10\}$, $B = \{0; 5\}$.

Bài 2

Viết tập hợp $A$ gồm các phần tử $x$ thỏa mãn điều kiện: $$x \in \mathbb{N}, x \le 5.$$

Lời giải: Các phần tử $x$ thỏa mãn $x \in \mathbb{N}, x \le 5$ là các số tự nhiên không vượt quá $5$, gồm: $0; 1; 2; 3; 4; 5.$

Do đó tập hợp $A$ được viết như sau: $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}.$

Kết quả: $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Luyện tập 1

Cho hai tập hợp:

• Tập hợp $A = \{2; 3; 5; 7; 14\}.$
• Tập hợp $B = \{3; 5; 7; 9; 11\}.$

Liệt kê các phần tử thuộc tập $A$ nhưng không thuộc tập $B$.

Lời giải: Các phần tử thuộc tập $A$ nhưng không thuộc tập $B$ là $2$ và $14.$

Kết quả: $\{2; 14\}$.

Luyện tập 2

Cho hai tập hợp:

• Tập hợp $A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}.$
• Tập hợp $B = \{1\}.$

Tìm $A \cap B, A \cup B, A \backslash B, B \backslash A.$

Lời giải:

• $A \cap B = \{1\}$ (vì $1$ là phần tử chung của cả hai tập $A$ và $B$).

• $A \cup B = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ (vì $B$ là tập con của $A$).

• $A \backslash B = \{0; 2; 3; 4; 5\}$ (các phần tử thuộc $A$ mà không thuộc $B$).

• $B \backslash A = \emptyset$ (vì không có phần tử nào thuộc $B$ mà không thuộc $A$).

Kết quả: $A \cap B = \{1\}$, $A \cup B = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$, $A \backslash B = \{0; 2; 3; 4; 5\}$, $B \backslash A = \emptyset$.

Bài 3

Cho $A = \{x \in \mathbb{Z} | -2 \le x \le 3\}$, $B = \{x \in \mathbb{Z} | -7 \le x \le 4\}$. Tìm $A \cap B$.

Lời giải: Ta có:

• $A = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$
• $B = \{-7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\}$.

Các phần tử chung của $A$ và $B$ là: $-2; -1; 0; 1; 2; 3$.

Vậy $A \cap B = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}.$

Kết quả: $A \cap B = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$.

Bài 4

Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} | 3x - 14x + 11 = 0\}$, $B = \{x \in \mathbb{Z} | x^2 - x - 6 = 0\}$. Tìm $A \cap B$ và $B \cap A$.

Lời giải:

• Giải phương trình $3x - 14x + 11 = 0$ ta được: $$ \begin{aligned} 3x - 14x + 11 &= 0\ -11x &= -11\ x &= 1 \end{aligned} $$ Vậy $A = \{1\}$.

• Giải phương trình $x^2 - x - 6 = 0$ ta được: $$ \begin{aligned} x^2 - x - 6 &= 0\ (x - 3)(x + 2) &= 0\ \end{aligned} $$ $\iff x = 3$ hoặc $x = -2$.

  Vậy $B = \{-2; 3\}$.

Do đó $A \cap B = B \cap A = \emptyset$.

Kết quả: $A \cap B = B \cap A = \emptyset$.