Trang 23 — Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1. Chỉ ra cặp số (x;y)(x; y) nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x+3y=−53x + 3y = -5?

a) (2;−1);(2; -1);

b) (−2;0);(-2; 0);

c) (−1;−1).(-1; -1).

Lời giải:

a) Thay x=2,y=−1x = 2, y = -1 vào phương trình 3x+3y=−53x + 3y = -5 ta có: 3.2+3.(−1)=6−3=3≠−53 . 2 + 3 . (-1) = 6 - 3 = 3 \ne -5 Vậy (2;−1)(2; -1) không là nghiệm của phương trình.

b) Thay x=−2,y=0x = -2, y = 0 vào phương trình 3x+3y=−53x + 3y = -5 ta có: 3.(−2)+3.0=−6≠−53 . (-2) + 3 . 0 = -6 \ne -5 Vậy (−2;0)(-2; 0) không là nghiệm của phương trình.

c) Thay x=−1,y=−1x = -1, y = -1 vào phương trình 3x+3y=−53x + 3y = -5 ta có: 3.(−1)+3.(−1)=−3+(−3)=−6=−53 . (-1) + 3 . (-1) = -3 + (-3) = -6 = -5 Vậy (−1;−1)(-1; -1) là nghiệm của phương trình.

Kết quả: a) Không là nghiệm; b) Không là nghiệm; c) Là nghiệm

Bài tập

Không có bài tập trên trang này.

Do đó, toàn bộ nội dung trên trang là phần lý thuyết.

Vậy nên, trả về:

SKIP

Trang 24 — Bài tập về Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, với giá trị nào của aa và bb thì đường thẳng d:ax+by=cd: ax + by = c (với aa và bb không đồng thời bằng 00) có:

a) Phương trình là y=x+a+b=0y = x + a + b = 0?

b) Phương trình là y=−12x+a+b=0y = -\frac{1}{2}x + a + b = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng d:ax+by=cd: ax + by = c có phương trình là y=x+a+b=0y = x + a + b = 0.

Điều này tương đương với ax+by=c  ⟺  by=−ax+c  ⟺  y=−abx+cb=0ax + by = c \iff by = -ax + c \iff y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b} = 0.

Đồng nhất hệ số, ta có: $$ \begin{aligned} -\frac{a}{b} &= 1 \ \frac{c}{b} &= a + b \end{aligned} $$

Từ −ab=1  ⟹  a=−b-\frac{a}{b} = 1 \implies a = -b. Thay vào cb=a+b  ⟹  cb=0  ⟹  c=0\frac{c}{b} = a + b \implies \frac{c}{b} = 0 \implies c = 0.

Vậy c=0c = 0 và a=−ba = -b.

b) Đường thẳng d:ax+by=cd: ax + by = c có phương trình là y=−12x+a+b=0y = -\frac{1}{2}x + a + b = 0.

Điều này tương đương với ax+by=c  ⟺  by=−ax+c  ⟺  y=−abx+cbax + by = c \iff by = -ax + c \iff y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}.

Đồng nhất hệ số, ta có: $$ \begin{aligned} -\frac{a}{b} &= -\frac{1}{2} \ \frac{c}{b} &= a + b \end{aligned} $$

Từ −ab=−12  ⟹  a=b2-\frac{a}{b} = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{b}{2}.

Thay vào cb=a+b  ⟹  cb=b2+b=32b\frac{c}{b} = a + b \implies \frac{c}{b} = \frac{b}{2} + b = \frac{3}{2}b.

Vậy c=32b2,a=b2c = \frac{3}{2}b^2, a = \frac{b}{2}.

Trang 24 — Không có bài tập

Trang này trong SGK Toán lớp 10 không có bài tập mà chỉ có phần lý thuyết và ví dụ minh họa về bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy nên, tôi trả lời là:

SKIP

Trang 25 — Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 2. Nửa mặt phẳng không bị gạch trong Hình 4 (không kể đường thẳng dd) biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hỏi tọa độ điểm M(−1;1)M(-1 ; 1), N(4;−2)N(4 ; -2) có thuộc miền nghiệm không?

Lời giải:

  • Điểm M(−1;1)M(-1 ; 1) thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch nên (−1)–1<0(-1) – 1 < 0 (đúng).

  • Điểm N(4;–2)N(4 ; – 2) thuộc nửa mặt phẳng bị gạch nên 4–(–2)>04 – (– 2) > 0 (sai).

Vậy điểm M(−1;1)M(-1; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình nhưng điểm N(4;−2)N(4; -2) không thuộc miền nghiệm.

Kết quả: MM thuộc miền nghiệm, NN không thuộc miền nghiệm.

Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

  • x+y>−1x + y > -1;
  • x+y≥−1x + y \geq -1.

Lời giải:

  • Bất phương trình x+y>−1x + y > -1.

    • Vẽ đường thẳng dd: x+y=−1x + y = -1.
    • Lấy điểm O(0;0)O(0; 0). Ta có: 0+0>−10 + 0 > -1 (đúng).
    • Vậy miền nghiệm của bất phương trình x+y>−1x + y > -1 là nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể đường thẳng dd) chứa điểm O(0,0)O(0, 0).

  • Bất phương trình x+y≥−1x + y \geq -1.

    • Vẽ đường thẳng dd: x+y=−1x + y = -1.
    • Lấy điểm O(0;0)O(0; 0). Ta có: 0+0≥−10 + 0 \geq -1 (đúng).
    • Vậy miền nghiệm của bất phương trình x+y≥−1x + y \geq -1 là nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng dd) chứa điểm O(0,0)O(0, 0).

Mô tả hình vẽ:

  • Hình vẽ gồm hai phần:
    1. Một đường thẳng dd với mũi tên hướng lên trên.
    2. Phần không bị gạch (hoặc gạch chéo) thể hiện nửa mặt phẳng thỏa mãn điều kiện của bất phương trình.

Kết quả: Miền nghiệm của bất phương trình x+y>−1x + y > -1 không kể đường thẳng dd; miền nghiệm của x+y≥−1x + y \geq -1 kể cả đường thẳng dd.

Trang 26 — Bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Cặp nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 2x−3y−3>02x - 3y - 3 > 0?

  • (0;0);(0; 0);
  • (2;1);(2; 1);
  • (3;1).(3; 1).

Lời giải:

Thay (0;0)(0; 0) vào bất phương trình 2x−3y−3>02x - 3y - 3 > 0 ta có:

2(0)−3(0)−3=−3<0.2(0) - 3(0) - 3 = -3 < 0.

Vậy (0;0)(0; 0) không là nghiệm của bất phương trình.

Thay (2;1)(2; 1) vào bất phương trình 2x−3y−3>02x - 3y - 3 > 0 ta có:

2(2)−3(1)−3=4−3−3=−2<0.2(2) - 3(1) - 3 = 4 - 3 - 3 = -2 < 0.

Vậy (2;1)(2; 1) không là nghiệm của bất phương trình.

Thay (3;1)(3; 1) vào bất phương trình 2x−3y−3>02x - 3y - 3 > 0 ta có:

2(3)−3(1)−3=6−3−3=0>0.2(3) - 3(1) - 3 = 6 - 3 - 3 = 0 > 0.

Vậy (3;1)(3; 1) là nghiệm của bất phương trình.

Kết quả: (3;1).(3; 1).

Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

  • x+2y>3;x + 2y > 3;
  • 3x−2y≤5.3x - 2y \le 5.

Lời giải:

  • x+2y>3x + 2y > 3

Vẽ đường thẳng d:x+2y=3.d: x + 2y = 3.

Lấy điểm M(0;0)M(0; 0) không thuộc đường thẳng d.d.

Thay x=0,y=0x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta có: 0+2(0)=0>30 + 2(0) = 0 > 3 (vô lý).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm M(0;0)M(0; 0) và không kể đường thẳng d.d.

  • 3x−2y≤53x - 2y \le 5

Vẽ đường thẳng d:3x−2y=5.d: 3x - 2y = 5.

Lấy điểm M(0;0)M(0; 0) không thuộc đường thẳng d.d.

Thay x=0,y=0x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta có: 3(0)−2(0)=0≤53(0) - 2(0) = 0 \le 5 (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm M(0;0)M(0; 0) và có kể đường thẳng d.d.

Bài 3. Phần không gạch (không kể a,ba, b) ở Hình 7a, 7b, 7c là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Lời giải:

  • Hình 7a

Đường thẳng aa đi qua hai điểm (0;2)(0; 2) và (−1;0).(-1; 0).

Do đó, đường thẳng aa có phương trình là y−2=0−2−1−0(x−0)  ⟺  2x−y+2=0.y - 2 = \dfrac{0 - 2}{-1 - 0} (x - 0) \iff 2x - y + 2 = 0.

Lấy điểm M(0;0)M(0; 0) không thuộc đường thẳng a.a.

Thay x=0,y=0x = 0, y = 0 vào bất phương trình 2x−y+2>02x - y + 2 > 0 ta có: 2(0)−0+2=2>02(0) - 0 + 2 = 2 > 0 (đúng).

Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x−y+2>0.2x - y + 2 > 0.

  • Hình 7b

Đường thẳng bb đi qua hai điểm (2;0)(2; 0) và (0;1).(0; 1).

Đường thẳng bb có phương trình là x2+y=1  ⟺  x+2y−2=0.\dfrac{x}{2} + y = 1 \iff x + 2y - 2 = 0.

Lấy điểm M(0;0)M(0; 0) không thuộc đường thẳng bb ta có: 0+2(0)−2=−2<0.0 + 2(0) - 2 = -2 < 0.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x+2y−2<0.x + 2y - 2 < 0.

  • Hình 7c

Đường thẳng cc đi qua hai điểm (2;0)(2; 0) và (0;1).(0; 1).

Đường thẳng cc có phương trình là x2+y1=1  ⟺  x+2y−2=0.\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{1} = 1 \iff x + 2y - 2 = 0.

Lấy điểm M(0;0)M(0; 0) không thuộc đường thẳng cc ta có: 0+2(0)−2=−2<0.0 + 2(0) - 2 = -2 < 0.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x+2y−2≤0.x + 2y - 2 \le 0.

Bài 4. Một gian hàng trưng bày bày bán xx chiếc bàn và yy chiếc ghế. Diện tích để mỗi chiếc bàn là 1,2 m21,2 \, \mathrm{m^2} và mỗi chiếc ghế là 0,5 m20,5 \, \mathrm{m^2}. Diện tích tổng cộng không vượt quá 60 m260 \,\mathrm{m^2}. Một chiếc bàn cần có 11 bộ ghế.

  • Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,yx, y để biểu thị số bàn và ghế mà gian hàng có thể trưng bày được.
  • Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình đó.

Lời giải:

Diện tích mỗi chiếc bàn là 1,2 m21,2 \,\mathrm{m^2} và mỗi chiếc ghế là 0,5 m2.0,5 \,\mathrm{m^2}.

Diện tích tổng cộng không vượt quá 60 m2.60 \,\mathrm{m^2}.

Do đó, bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,yx, y để biểu thị số bàn và ghế mà gian hàng có thể trưng bày được là:

1,2x+0,5y≤60.1,2x + 0,5y \le 60.

Ba nghiệm của bất phương trình trên là: (0;0);(0;120);(50;0).(0; 0); (0; 120); (50; 0).

Bài 5. Trong 11 lạng (100 g)(100 \, \mathrm{g}) thịt bò chứa khoảng 26 g26 \, \mathrm{g} protein, 11 lạng cá chép chứa khoảng 20 g20 \, \mathrm{g} protein. Trung bình trong một ngày, một người phụ nữ cần cần tối thiểu 46 g46 \, \mathrm{g} protein.

Gọi xx và yy lần lượt là số lạng thịt bò và cá chép mà người phụ nữ cần ăn trong một ngày. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,yx, y biểu thị số lạng thịt bò và cá chép mà người phụ nữ cần ăn để cung cấp đủ protein cho một ngày.

Lời giải:

11 lạng thịt bò chứa 26 g26 \, \mathrm{g} protein.

xx lạng thịt bò chứa 26x g26x \, \mathrm{g} protein.

11 lạng cá chép chứa 20 g20 \, \mathrm{g} protein.

yy lạng cá chép chứa 20y g20y \, \mathrm{g} protein.

Người phụ nữ cần ăn một ngày số protein là: 26x+20y.26x + 20y.

Mà người phụ nữ cần tối thiểu 46g46g protein.

Do đó, bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,yx, y biểu thị số lạng thịt bò và cá chép mà người phụ nữ cần ăn để cung cấp đủ protein cho một ngày là:

26x+20y≥46.26x + 20y \ge 46.