Giải Toán 10 Tập 1 trang 27-30 - Cánh diều

Trang 27 — Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1. Cho hệ bất phương trình: $$ \begin{cases} 2x - 4y \le 6 \quad (1) \ x + y \ge 2 \quad (2) \end{cases} $$ Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình trên?

$(3; 1), (1; -2), (5; -3)$.

Lời giải:

Để xác định cặp số $(x; y)$ là nghiệm của hệ bất phương trình, ta thay cặp số $(x; y)$ vào cả hai bất phương trình của hệ và kiểm tra xem cả hai bất phương trình đều đúng hay không.

Kiểm tra cặp số $(3; 1)$

• Thay $x = 3, y = 1$ vào bất phương trình $(1)$: $2(3) - 4(1) \le 6 \Rightarrow 6 - 4 \le 6 \Rightarrow 2 \le 6$ (đúng)

• Thay $x = 3, y = 1$ vào bất phương trình $(2)$: $3 + 1 \ge 2 \Rightarrow 4 \ge 2$ (đúng)

Vậy cặp số $(3; 1)$ là nghiệm của hệ bất phương trình.

Kiểm tra cặp số $(1; -2)$

• Thay $x = 1, y = -2$ vào bất phương trình $(1)$: $2(1) - 4(-2) \le 6 \Rightarrow 2 + 8 \le 6 \Rightarrow 10 \le 6$ (sai)

Vậy cặp số $(1; -2)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Kiểm tra cặp số $(5; -3)$

• Thay $x = 5, y = -3$ vào bất phương trình $(1)$: $2(5) - 4(-3) \le 6 \Rightarrow 10 + 12 \le 6 \Rightarrow 22 \le 6$ (sai)

Vậy cặp số $(5; -3)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Kết quả: $(3; 1)$.

---

Trang 28 —

II. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Lý thuyết

• Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài tập

Bài tập. Cho hệ bất phương trình sau: $$ \begin{cases} x - 2y \geq -2 \ 7x + 4y \leq 16 \ 2x + y \geq -4 \end{cases} $$

a) Trong cùng một mặt phẳng tọa độ $Oxy$, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bất phương trình bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

b) Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải:

a)

• Vẽ đường thẳng $d_1: x - 2y = -2$.

• Lấy điểm $O(0; 0)$ (dễ dàng kiểm tra $O(0; 0)$ không nằm trên $d_1$).

• Ta có: $0 - 2 \cdot 0 = 0 > -2$ nên miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \geq -2$ là nửa mặt phẳng chứa $O(0; 0)$, kể cả đường thẳng $d_1$.

• Vẽ đường thẳng $d_2: 7x + 4y = 16$.

• Lấy điểm $O(0; 0)$

• Ta có: $7 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 < 16$ nên miền nghiệm của bất phương trình $7x + 4y \leq 16$ là nửa mặt phẳng không chứa $O(0; 0)$, kể cả đường thẳng $d_2$.

• Vẽ đường thẳng $d_3: 2x + y = -4$.

• Lấy điểm $O(0; 0)$

• Ta có: $2 \cdot 0 + 0 = 0 > -4$ nên miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \geq -4$ là nửa mặt phẳng chứa $O(0; 0)$, kể cả đường thẳng $d_3$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các nửa mặt phẳng đã cho.

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác (kể cả biên) có các đỉnh là các giao điểm của ba đường thẳng $d_1$, $d_2$, $d_3$.

Kết quả: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác (kể cả biên) có các đỉnh là các giao điểm của ba đường thẳng $d_1$, $d_2$, $d_3$.

---

Trang 29 —

Bài 2. Phần không bị gạch (chứa điểm $O(0; 0)$) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Lời giải:

Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng $x=0$ là trục tung

• Đường thẳng $2x + y = 4$ đi qua hai điểm $A(2; 0), B(0;4)$
• Đường thẳng $x + y = 3$ đi qua hai điểm $C(3; 0), D(0; 3)$
• Đường thẳng $y=0$ là trục hoành.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác $ABC$ kể cả miền trong (còn gọi là miền $ABC$) với $A(2; 0), B(0; 4), C(0; 3)$.

Ta có:

• $O(0; 0)$ là một điểm thuộc miền nghiệm và $O(0;0)$ không thuộc các đường thẳng trên.

Xét điểm $O(0;0)$:

• $2 \cdot 0 + 0 = 0 < 4$ nên $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 4$.
• $0 + 0 = 0 < 3$ nên $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 3$.
• $0 \ge 0$ nên $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $y \ge 0$.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x + y \le 4 \\ x + y \le 3 \\ y \ge 0 \end{cases}$ là phần không bị gạch trong hình vẽ.

Vậy hệ bất phương trình cần tìm là: $\begin{cases} 2x + y \le 4 \\ x + y \le 3 \\ y \ge 0 \end{cases}$.

Kết quả: $\begin{cases} 2x + y \le 4 \\ x + y \le 3 \\ y \ge 0 \end{cases}$.

---

Trang 30 — Bài tập

Bài tập.

Mục 1. Bài tập

Trang này có một bài toán thực tế liên quan đến lập hệ bất phương trình và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.

Bài toán.

Bài toán đưa ra dữ liệu về $x$ và $y$ nghiệm của hệ bất phương trình (I) sau cho $T = x + y$ có giá trị lớn nhất.

Từ đó, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền trong và trên các cạnh của tứ giác $ABCD$ với $A(10; 0), B(20; 50),$ $C(10; 50), D(0; 10)$ (Hình 10).

Người ta chứng minh được rằng, giá trị của biểu thức $T = x + y$ trong các miền trên là:

• Tại các đỉnh của tứ giác giá trị của $T$ lần lượt là:

  • Tại $A: T = 10;$
  • Tại $B: T = 70;$
  • Tại $C: T = 60;$
  • Tại $D: T = 10.$

• Biểu thức $T$ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của (I) là tại $B(20; 50).$

Tính giá trị lớn nhất của $T.$

Lời giải: Giá trị lớn nhất của $T$ là giá trị của $T$ tại các đỉnh của miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Tại $A: T = 10$

Tại $B: T = 20 + 50 = 70$

Tại $C: T = 10 + 50 = 60$

Tại $D: T = 0 + 10 = 10$

Ta có: $70 > 60 > 10$

Do đó, giá trị lớn nhất của $T$ là $70.$

Kết quả: $70$

Mục 2. Bài tập

Bài toán.

Một người có số tiền không quá $16 000$ đồng để mua vé số. Vì muốn đi tham quan vào khung giờ $20:30$ nên người đó cần mua $x$ vé vào loại $20$ 000 đồng/vé và $y$ vé loại $50 000$ đồng/vé.

Viết hệ bất phương trình mà ta có thể lập được từ điều kiện của bài toán.

Lời giải: Gọi $x$ là số vé loại $20 000$ đồng mà người đó mua và $y$ là số vé loại $50 000$ đồng mà người đó mua.

Ta có các điều kiện:

• Số vé loại $20 000$ đồng: $0 \le x \le 10$
• Số vé loại $50 000$ đồng: $0 \le y \le 9$
• Tổng số tiền mua vé không quá $16 000$ đồng: $20 000x + 50 000y \le 16 000$

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: $$ \begin{aligned} &0\le x\le 10, 0\le y\le 9; \ &20x + 50y \le 16
\end{aligned} $$

Kết quả: $\begin{aligned} &0\le x\le 10, 0\le y\le 9; \ &20x + 50y \le 16
\end{aligned}$