Giải Toán 10 Tập 1 trang 31-34 - Cánh diều

Trang 31 —

BÀI TẬP

1. Kiểm tra xem mỗi cặp số $(x; y)$ đã cho có là nghiệm của bất phương trình tương ứng không.

a) $x + 2y > 6$; $(0; 2), (1; 0)$.

Lời giải:

• Cặp số $(0; 2)$:

  • Thay $x = 0$, $y = 2$ vào bất phương trình $x + 2y > 6$:$$0 + 2 \cdot 2 > 6 \Leftrightarrow 4 > 6$$ Đây là một bất đẳng thức sai.

• Cặp số $(1; 0)$:

  • Thay $x = 1$, $y = 0$ vào bất phương trình $x + 2y > 6$:$$1 + 2 \cdot 0 > 6 \Leftrightarrow 1 > 6$$ Đây là một bất đẳng thức sai.

Kết quả: Cặp số $(0; 2)$ và $(1; 0)$ không là nghiệm.

b) $4x + 5y < -3$; $(-1; -3), (0; -3)$.

Lời giải:

• Cặp số $(-1; -3)$:

  • Thay $x = -1$, $y = -3$ vào bất phương trình $4x + 5y < -3$:$$4(-1) + 5(-3) < -3 \Leftrightarrow -4 - 15 < -3 \Leftrightarrow -19 < -3$$ Đây là một bất đẳng thức đúng.

• Cặp số $(0; -3)$:

  • Thay $x = 0$, $y = -3$ vào bất phương trình $4x + 5y < -3$:$$4 \cdot 0 + 5(-3) < -3 \Leftrightarrow -15 < -3$$ Đây là một bất đẳng thức đúng.

Kết quả: Cặp số $(-1; -3)$ và $(0; -3)$ là nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

a) $\begin{cases}

x + y < 4 \ x + y > -2 \ x > 0 \end{cases}$

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ các đường thẳng:

  • $d_1: x + y = 4$
  • $d_2: x + y = -2$
  • $d_3: x = 0$ (trục $Oy$).

• Bước 2: Xác định miền nghiệm:

  • Miền nghiệm của $x + y < 4$ là nửa mặt phẳng dưới $d_1$.
  • Miền nghiệm của $x + y > -2$ là nửa mặt phẳng trên $d_2$.
  • Miền nghiệm của $x > 0$ là nửa mặt phẳng bên phải $d_3$.

• Bước 3: Miền giao của các miền nghiệm trên là miền cần tìm.

Kết quả: Miền nghiệm là phần giao của ba nửa mặt phẳng trên.

b) $\begin{cases}

4x - 2y > 8 \ x \geq 0 \ y \leq 0 \end{cases}$

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ các đường thẳng:

  • $d_1: 4x - 2y = 8 \Leftrightarrow 2x - y = 4$
  • $d_2: x = 0$ (trục $Oy$).
  • $d_3: y = 0$ (trục $Ox$).

• Bước 2: Xác định miền nghiệm:

  • Miền nghiệm của $4x - 2y > 8$ là nửa mặt phẳng trên $d_1$.
  • Miền nghiệm của $x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bên phải $d_2$.
  • Miền nghiệm của $y \leq 0$ là nửa mặt phẳng dưới $d_3$.

• Bước 3: Miền giao của các miền nghiệm trên là miền cần tìm.

Kết quả: Miền nghiệm là phần giao của ba nửa mặt phẳng trên.

3. Miền không bị gạch ở mỗi Hình 12a, 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

a)

Mô tả: Hình vẽ gồm các đường $x + y = 2$, $x = -3$, $y = -1$ và miền nghiệm là phần giao của các nửa mặt phẳng.

Lời giải:

• Đường thẳng $x + y = 2$ có miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường này.
• Đường thẳng $x = -3$ có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải đường này.
• Đường thẳng $y = -1$ có miền nghiệm là nửa mặt phẳng trên đường này.

Hệ bất phương trình: $$ \begin{cases} x + y \leq 2 \ x \geq -3 \ y \geq -1 \end{cases} $$

Kết quả: Hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y \leq 2 \\ x \geq -3 \\ y \geq -1 \end{cases}$.

b)

Mô tả: Hình vẽ gồm các đường $y = x$, $y = -x + 1$, $x = 0$ và miền nghiệm là phần giao của các nửa mặt phẳng.

Lời giải:

• Đường thẳng $y = x$ có miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường này.
• Đường thẳng $y = -x + 1$ có miền nghiệm là nửa mặt phẳng trên đường này.
• Đường thẳng $x = 0$ có miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải đường này.

Hệ bất phương trình: $$ \begin{cases} y \leq x \ y \geq -x + 1 \ x \geq 0 \end{cases} $$

Kết quả: Hệ bất phương trình $\begin{cases} y \leq x \\ y \geq -x + 1 \\ x \geq 0 \end{cases}$.

4. Một phân xưởng sản xuất hai loại chi tiết máy.

Lời giải:

Gọi $x$ là số chi tiết máy loại $A$, $y$ là số chi tiết máy loại $B$.

• Số chi tiết máy loại $A$ không vượt quá $60$:

  $$x \leq 60$$

• Số chi tiết máy loại $B$ không vượt quá $80$:

  $$y \leq 80$$

• Thời gian làm ra một chiếc chi tiết máy loại $A$ là $15$ phút $= 0.25$ giờ, loại $B$ là $30$ phút $= 0.5$ giờ. Tổng thời gian không quá $8$ giờ:

  $$0.25x + 0.5y \leq 8$$

• Tổng thu nhập:

  $$T = 10x + 20y$$

Hệ bất phương trình: $$ \begin{cases} 0 \leq x \leq 60 \ 0 \leq y \leq 80 \ 0.25x + 0.5y \leq 8 \end{cases} $$

Kết quả: Hệ bất phương trình $\begin{cases} 0 \leq x \leq 60 \\ 0 \leq y \leq 80 \\ 0.25x + 0.5y \leq 8 \end{cases}$.

---

Trang 32 — Bài tập cuối chương II

Bài 1. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình:

a. $x - y > 3$

b. $x + y \le 4$

c. $y \le 2x - 5$

d. $y \ge 2x + 3$

Lời giải:

a. $x - y > 3$

• Vẽ đường thẳng $d: x - y = 3 \iff y = x - 3$
• Chọn điểm $O(0, 0) \not\in d$, ta có: $0 - 0 > 3$ là sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $O$, bờ $d$ (không kể $d$)

b. $x + y \le 4$

• Vẽ đường thẳng $d: x + y = 4 \iff y = -x + 4$
• Chọn điểm $O(0, 0) \implies 0 + 0 \le 4$ là đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm $O$, bờ $d$ (kể cả $d$)

c. $y \le 2x - 5$

• Vẽ đường thẳng $d: y = 2x - 5$
• Chọn điểm $O(0, 0) \implies 0 \le 2.0 - 5$ là sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $O$, bờ $d$ (kể cả $d$)

d. $y \ge 2x + 3$

• Vẽ đường thẳng $d: y = 2x + 3$
• Chọn điểm $O(0, 0) \implies 0 \ge 2.0 + 3$ là sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $O$, bờ $d$ (kể cả $d$)

Kết quả:

• a. Nửa mặt phẳng không chứa $O$, bờ $d: y = x - 3$ (không kể $d$)
• b. Nửa mặt phẳng chứa $O$, bờ $d: y = -x + 4$ (kể cả $d$)
• c. Nửa mặt phẳng không chứa $O$, bờ $d: y = 2x - 5$ (kể cả $d$)
• d. Nửa mặt phẳng không chứa $O$, bờ $d: y = 2x + 3$ (kể cả $d$)

Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình:

a. $\begin{cases} 2x - 3y < 6 \\ x \ge 0 \\ y \le 0 \end{cases}$

b. $\begin{cases} 4x + 10y \le 20 \\ y \le 4 \\ x \ge -2 \end{cases}$

c. $\begin{cases} x - 2y \le 5 \\ x + y \ge 2 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Lời giải:

a. $\begin{cases} 2x - 3y < 6 \\ x \ge 0 \\ y \le 0 \end{cases}$

• Vẽ các đường thẳng $d_1: 2x - 3y = 6 \iff y = \frac{2}{3}x - 2$, $d_2: x = 0$ và $d_3: y = 0$
• Chọn điểm $O(0, 0) \implies \begin{cases} 2.0 - 3.0 < 6 \\ 0 \ge 0 \\ 0 \le 0 \end{cases}$ là đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm $O$, các bờ $d_2, d_3$ và không kể $d_1$

b. $\begin{cases} 4x + 10y \le 20 \\ y \le 4 \\ x \ge -2 \end{cases}$

• Vẽ các đường thẳng $d_1: 4x + 10y = 20 \iff y = -\frac{2}{5}x + 2$, $d_2: y = 4$ và $d_3: x = -2$
• Chọn điểm $O(0, 0) \implies \begin{cases} 4.0 + 10.0 \le 20 \\ 0 \le 4 \\ 0 \ge -2 \end{cases}$ là đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm $O$, các bờ $d_2, d_3$ và kể cả $d_1$

c. $\begin{cases} x - 2y \le 5 \\ x + y \ge 2 \\ x \ge 0 \end{cases}$

• Vẽ các đường thẳng $d_1: x - 2y = 5 \iff y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$, $d_2: x + y = 2 \iff y = -x + 2$ và $d_3: x = 0$
• Chọn điểm $O(0, 0) \implies \begin{cases} 0 - 2.0 \le 5 \\ 0 + 0 \ge 2 \\ 0 \ge 0 \end{cases}$ là sai.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $O$, bờ $d_3$ và kể cả các bờ $d_1, d_2$

Kết quả:

• a. Nửa mặt phẳng chứa $O$, các bờ $x = 0, y = 0$ và không kể $d: y = \frac{2}{3}x - 2$
• b. Nửa mặt phẳng chứa $O$, các bờ $y = 4, x = -2$ và kể cả $d: y = -\frac{2}{5}x + 2$
• c. Nửa mặt phẳng không chứa $O$, bờ $x = 0$ và kể cả các bờ $d_1: y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}, d_2: y = -x + 2$

---

Trang 33 — §1. Hàm số và đồ thị

Bài 1. a) Với mỗi giá trị của $t = 1, 2,$ tính giá trị tương ứng của $S$.

b) Với mỗi giá trị của $t$ có bao nhiêu giá trị tương ứng của $S$?

Lời giải:

a) Với $g = 9.8 ,m/s^2$

• Khi $t=1$ ta có $S=\frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 1^2=4.9 ,m.$
• Khi $t=2$ ta có $S=\frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 2^2=19.6 ,m.$

b) Với mỗi giá trị của $t$, ta chỉ có một giá trị tương ứng của $S$.

Bài 2. a) Tính $y$ khi $x = -3; x = 10.$

b) Tìm những giá trị của $x$ sao cho $y$ bằng $0; 10; -2.$

Lời giải:

a)

• Thay $x=-3$ vào công thức $y = - 200x^2 + 92 000x - 8 400 000$ ta được:

  $$\begin{aligned} y&= - 200 \cdot (-3)^2 + 92 000 \cdot (-3) - 8 400 000\\ &= - 200 \cdot 9 - 276 000 - 8 400 000\\ &= -1 800 - 276 000 - 8 400 000\\ &= -8 677 800. \end{aligned}$$

• Thay $x=10$ vào công thức $y = - 200x^2 + 92 000x - 8 400 000$ ta được:

  $$\begin{aligned} y&= - 200 \cdot 10^2 + 92 000 \cdot 10 - 8 400 000\\ &= - 200 \cdot 100 + 920 000 - 8 400 000\\ &= -20 000 + 920 000 - 8 400 000\\ &= -7 500 000. \end{aligned}$$

b)

• Để $y=0$ thì

  $$\begin{aligned} & - 200x^2 + 92 000x - 8 400 000 = 0\\ \iff & - 200 \cdot (x^2 - 460x + 42 000) = 0 \\ \iff & x^2 - 460x + 42 000 = 0\\ \iff & x = 230 \pm 10\sqrt{7}. \end{aligned}$$

• Để $y=10$ thì

  $$\begin{aligned} & - 200x^2 + 92 000x - 8 400 000 = 10\\ \iff & - 200 \cdot (x^2 - 460x + 42 005) = 0 \\ \iff & x^2 - 460x + 42 005 = 0\\ \iff & x = 230 \pm \sqrt{5295}. \end{aligned}$$

• Để $y=-2$ thì

  $$\begin{aligned} & - 200x^2 + 92 000x - 8 400 000 = -2\\ \iff & - 200 \cdot (x^2 - 460x + 42 001) = 0 \\ \iff & x^2 - 460x + 42 001 = 0\\ \iff & x = 230 \pm \sqrt{5291}. \end{aligned}$$

Kết quả:

• $y=-8 677 800$ khi $x=-3$
• $y=-7 500 000$ khi $x=10$
• $x = 230 \pm 10\sqrt{7}$ thì $y=0$
• $x = 230 \pm \sqrt{5295}$ thì $y=10$
• $x = 230 \pm \sqrt{5291}$ thì $y=-2$

---

Trang 34 —

Bài tập

Bài 1.

a) Cho hàm số $y = 100x^2 + 20x + 5$. Tính giá trị của $y$ khi: $x = 1$, $x = -1$, $x = 2$.

Lời giải:

• Với $x=1$:

  $$\begin{aligned} y&=100\cdot 1^2+20\cdot1+5\\ &=100+20+5\\ &=125 \end{aligned}$$

• Với $x=-1$:

  $$\begin{aligned} y&=100\cdot (-1)^2+20\cdot(-1)+5\\ &=100-20+5\\ &=85 \end{aligned}$$

• Với $x=2$:

  $$\begin{aligned} y&=100\cdot2^2+20\cdot2+5\\ &=400+40+5\\ &=445 \end{aligned}$$

Kết quả: $y=125; 85; 445.$

---

b) Cho hàm số $y = - 2x^2 + 1$. Với giá trị nào của $x$ thì $y$ nhận giá trị bằng $-1$?

Lời giải:

$$\begin{aligned} -2x^2+1&=-1\\ \iff -2x^2&=-2\\ \iff x^2&=1\\ \iff x&=\pm1 \end{aligned}$$

Kết quả: $x=\pm1$.

---

Bài 2.

Một số hình ảnh của hình tròn trong thực tiễn.

• Hình ảnh: Mô tả các hình tròn trong thực tiễn (bánh xe, đồng hồ, mặt trăng, v.v.)

---

Bài 3.

a) Diện tích $S$ của hình tròn bán kính $r$ được tính theo công thức $S = \pi r^2$. Hỏi $S$ có phải là hàm số của $r$ hay không? Giải thích.

Lời giải:

$S$ là hàm số của $r$ vì với mỗi giá trị của $r$ có đúng một giá trị $S$ tương ứng.

---

b) Cho công thức tính diện tích hình tròn bán kính $r$ là $S = \pi r^2$. Có bao nhiêu giá trị của $r$ sao cho $r$ là một số thực và $S = 64\pi$?

Lời giải:

$$\begin{aligned} S&=\pi r^2=64\pi\\ \iff r^2&=64\\ \iff r&=\pm8 \end{aligned}$$

Vì $r$ là bán kính nên $r>0$.

Kết quả: $r=8$.

---

Bài 4.

Trong bài toán ở phần khởi động, a) Tính độ cao $h$ của quả bóng đá khi nó ở độ cao bằng với độ cao của ban đầu.

Lời giải:

Độ cao $h$ của quả bóng sau $t$ giây (đơn vị mét) được tính theo công thức:

$$h=6t^2$$

Với $h=6$:

$$\begin{aligned} 6t^2&=6\\ \iff t^2&=1\\ \iff t&=\pm 1 \end{aligned}$$

Kết quả: $t=1$.

---

b) Độ cao của quả bóng đá khi nó ở độ cao bằng với độ cao của ban đầu ($h=4$) là:

Lời giải:

$$h=6t^2=4$$ $$\begin{aligned} \iff t^2&=\frac{2}{3}\\ \iff t&=\pm \sqrt{\frac{2}{3}} \end{aligned}$$

Kết quả: $t=\sqrt{\frac{2}{3}}$.

---

Bài 5.

Cho tập hợp $D = \mathbb{R} \backslash \left\{ 2 \right\}$. Nếu $f: D \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{x-2}$ thì $f$ có phải là hàm số không?

Lời giải: $f$ là hàm số vì:

• Tập $D$ không chứa $x=2$ nên $\forall x\in D$ thì $f(x)=\frac{1}{x-2}$ đều có nghĩa.

---

Bài 6.

a) Cho hai hàm số $y=2x+1$ (1) và $y=\sqrt{-2}$ (2).

Lời giải:

• Hàm số (1) xác định $\forall x\in\mathbb{R}$. Tập xác định: $D_1=\mathbb{R}$.

• Hàm số (2) không xác định $\forall x\in\mathbb{R}$ vì $\sqrt{-2}$ không xác định trong tập số thực. Tập xác định: Tập xác định $D_2=\emptyset$.

---

b) Tìm $x$ sao cho mỗi biểu thức sau có nghĩa:

• $y=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$

Lời giải:

$$\begin{aligned} y&=\frac{1}{\sqrt{x+2}}\\ x+2&>0\\ \iff x&>-2 \end{aligned}$$

Kết quả: $x>-2$.

---

• $y=\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}$

Lời giải:

$$\begin{aligned} &\begin{cases} x+2\geq0\\ x-1\geq0 \end{cases}\\ &\iff \begin{cases} x\geq-2\\ x\geq1 \end{cases}\\ &\iff x\geq1 \end{aligned}$$

Kết quả: $x\geq1$.

---

Bài 7.

Tìm tập xác định của mỗi hàm số: a) $y=\frac{x}{x+1}$

Lời giải: Hàm số xác định khi: $$ \begin{aligned} x+1&\ne0\ \iff x&\ne-1 \end{aligned} $$

Kết quả: $\mathbb{R}\backslash\{-1\}$.

---

b) $y=\sqrt{x-2}$

Lời giải: Hàm số xác định khi: $$ \begin{aligned} x-2&\geq 0\ \iff x&\geq2 \end{aligned} $$

Kết quả: $[2;+\infty)$.

---

Bài 8.

Tìm tập xác định của hàm số: $$ y=\frac{\sqrt{x+2}}{x-3} $$

Lời giải: Hàm số xác định khi: $$ \begin{aligned} &\begin{cases} x+2\geq0\ x-3\ne0 \end{cases}\ &\iff \begin{cases} x\geq-2\ x\ne3 \end{cases} \end{aligned} $$

Kết quả: $[-2;+\infty)\backslash\{3\}$.