Giải Toán 10 Tập 1 trang 43-46 - Cánh diều

Trang 43 — Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 1. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số bậc hai sau:

a) $y = 2x^2 + 4x + 3$

b) $y = -3x^2 - 6x + 1$

Lời giải:

Bài 1a

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol

• $a = 2$, $b = 4$, $c = 3$
• $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$
• $y = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$

$\Rightarrow$ Tọa độ đỉnh $I(-1; 1)$

Bước 2: Xác định giao điểm với trục tung và trục hoành (nếu có)

• Giao điểm với trục tung: Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3$ $\Rightarrow$ Giao điểm $(0; 3)$

• Giao điểm với trục hoành: Giải $2x^2 + 4x + 3 = 0$

  • $Δ = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$ $\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm, không có giao điểm với trục hoành.

Bước 3: Vẽ đồ thị

• Parabol có bề lõm hướng lên trên (vì $a = 2 > 0$).
• Trục đối xứng $x = -1$.
• Một số điểm khác:
  • $x = -2 \Rightarrow y = 3$
  • $x = 1 \Rightarrow y = 9$

Bài 1b

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol

• $a = -3$, $b = -6$, $c = 1$
• $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -1$
• $y = -3 \cdot (-1)^2 - 6 \cdot (-1) + 1 = -3 + 6 + 1 = 4$

$\Rightarrow$ Tọa độ đỉnh $I(-1; 4)$

Bước 2: Xác định giao điểm với trục tung và trục hoành (nếu có)

• Giao điểm với trục tung: Cho $x = 0 \Rightarrow y = -3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 1 = 1$ $\Rightarrow$ Giao điểm $(0; 1)$

• Giao điểm với trục hoành: Giải $-3x^2 - 6x + 1 = 0$

  • $Δ = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 36 + 12 = 48 > 0$
  • $x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{48}}{2 \cdot (-3)} = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{-6} = -1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
  • $x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{48}}{2 \cdot (-3)} = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{-6} = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow$ Giao điểm $(-1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$ và $(-1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$

Bước 3: Vẽ đồ thị

• Parabol có bề lõm hướng xuống dưới (vì $a = -3 < 0$).
• Trục đối xứng $x = -1$.
• Một số điểm khác:
  • $x = -2 \Rightarrow y = 1$
  • $x = 1 \Rightarrow y = -8$

Kết quả:

• Đồ thị hàm số $y = 2x^2 + 4x + 3$ có đỉnh $I(-1; 1)$, giao điểm với trục tung $(0; 3)$, không có giao điểm với trục hoành.
• Đồ thị hàm số $y = -3x^2 - 6x + 1$ có đỉnh $I(-1; 4)$, giao điểm với trục tung $(0; 1)$, giao điểm với trục hoành $(-1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$.

---

Trang 44 —

Trang này có nội dung là lý thuyết và ví dụ, không có bài tập cụ thể cần giải. Nội dung chính xoay quanh việc xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai và ứng dụng trong một số vấn đề thực tiễn.

Tuy nhiên, có Ví dụ 3 và Ví dụ 4 được trình bày để minh họa.

Ví dụ 3

Ví dụ 3. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến của mỗi hàm số sau: a) $y = x^2 + 3x - 5$ b) $y = -4x^2 + 6x + 3$

Lời giải: a) Ta có $a = 3 > 0$, $b = 3$, $-\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{2}$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\frac{1}{2}; +\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty; -\frac{1}{2} \right)$.

b) Ta có $a = -4 < 0$, $b = 6$, $-\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-4)} = \frac{3}{4}$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty; \frac{3}{4} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{3}{4}; +\infty \right)$.

Ví dụ 4

Ví dụ 4. Khi một quả bóng được ném lên, chiều cao đạt được trong $t$ giây là $h(t) = -t^2 + 8t$ (đơn vị: mét). Độ cao của quả bóng tại $t = 2$ giây là $8$ m. Sau bao nhiêu giây thì quả bóng chạm đất?

Lời giải: Đồ thị hàm số $h(t) = -t^2 + 8t$ có bề lõm hướng xuống dưới (vì $a = -1 < 0$), đỉnh parabol có tọa độ là $(4; 16)$ (tính toán $t = -\frac{b}{2a} = 4$ và $h(4) = 16$).

Khi $t = 2$ thì $h(2) = -2^2 + 8 \cdot 2 = 12.$

Quả bóng chạm đất khi $h(t) = 0 \iff -t^2 + 8t = 0 \iff t = 0$ hoặc $t = 8$.

Vì $t > 0$ nên $t = 8$.

Vậy quả bóng chạm đất sau $8$ giây.

Kết quả:

• Hàm số $y = x^2 + 3x - 5$: đồng biến trên $\left( -\frac{1}{2}; +\infty \right)$, nghịch biến trên $\left( -\infty; -\frac{1}{2} \right)$.
• Hàm số $y = -4x^2 + 6x + 3$: đồng biến trên $\left( -\infty; \frac{3}{4} \right)$, nghịch biến trên $\left( \frac{3}{4}; +\infty \right)$.
• Quả bóng chạm đất sau $8$ giây.

---

Trang 45 —

Bài 1. Trong các hàm sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định $a$, $b$, $c$ rồi tính $f(-2)$, $f(3)$.

a) $f(x) = 3x + 2$;

b) $f(x) = x^2 - 2x + 5$;

c) $f(x) = 2x^2 + \frac{1}{2}x + \sqrt 3$;

d) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$.

Lời giải:

Hàm số bậc hai là những hàm số có dạng $f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a \ne 0$.

• Hàm số ở câu a) $f(x) = 3x + 2$ không phải là hàm số bậc hai vì không có dạng $f(x) = ax^2 + bx + c$.

• Hàm số ở câu d) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$ không phải là hàm số bậc hai vì có chứa hạng tử $x^3$.

• Hàm số ở câu b) $f(x) = x^2 - 2x + 5$ là hàm số bậc hai với $a = 1$, $b = - 2$, $c = 5$.

Ta có: $f(-2) = {(-2)^2} - 2(-2) + 5 = 4 + 4 + 5 = 13$;

$f(3) = {3^2} - 2(3) + 5 = 9 - 6 + 5 = 8$.

• Hàm số ở câu c) $f(x) = 2x^2 + \frac{1}{2}x + \sqrt 3$ là hàm số bậc hai với $a = 2$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \sqrt 3$.

Ta có: $f(-2) = 2{(-2)^2} + \frac{1}{2}(-2) + \sqrt 3 = 8 - 1 + \sqrt 3 = 7 + \sqrt 3$;

$f(3) = 2(3)^2 + \frac{1}{2}(3) + \sqrt 3 = 18 + \frac{3}{2} + \sqrt 3 = \frac{39}{2} + \sqrt 3$.

Kết quả:

• Hàm số bậc hai: b), c).
• Kết quả tính:
  • $f(-2) = 13$; $f(3) = 8$ với $f(x) = x^2 - 2x + 5$
  • $f(-2) = 7 + \sqrt 3$; $f(3) = \frac{39}{2} + \sqrt 3$ với $f(x) = 2x^2 + \frac{1}{2}x + \sqrt 3$.

Bài 2. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + c$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm $M(1; 2)$, $N(-2; 8)$ và $P(0; 1)$.

b) Đi qua hai điểm $Q(1; 0)$ và $R(-2; 6)$ và có trục đối xứng $x = - 1$.

c) Có đỉnh $I(-1; - 2)$ và đi qua $M(1; - 2)$.

Lời giải:

a) Parabol đi qua $M(1; 2) \Rightarrow 2 = a + b + c$.

Đi qua $N(-2; 8) \Rightarrow 8 = 4a - 2b + c$.

Đi qua $P(0; 1) \Rightarrow 1 = c$.

Thay $c = 1$ vào hai phương trình còn lại, ta có:

$\begin{cases} a + b = 1 \\ 4a - 2b = 7 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 2 \\ b = -1 \end{cases}$.

Vậy parabol cần tìm là: $y = 2x^2 - x + 1$.

b) Parabol đi qua $Q(1; 0) \Rightarrow 0 = a + b + c$.

Đi qua $R(-2; 6) \Rightarrow 6 = 4a - 2b + c$.

Có trục đối xứng $x = - 1 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - 1 \iff 2a = b$.

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} a + b + c = 0 \\ 4a - 2b + c = 6 \\ 2a - b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = -3 \end{cases}$

Vậy parabol cần tìm là: $y = x^2 + 2x - 3$.

c) Parabol có đỉnh $I(-1; - 2) \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = - 1 \iff 2a = b$ và $a - b + c = - 2$.

Đi qua $M(1; - 2) \Rightarrow - 2 = a + b + c$.

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 2a - b = 0 \\ a - b + c = -2 \\ a + b + c = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \\ c = -2 \end{cases}$

Vậy parabol cần tìm là: $y = - 2$.

Kết quả:

• Parabol cần tìm trong mỗi trường hợp là:
  • $y = 2x^2 - x + 1$ với a).
  • $y = x^2 + 2x - 3$ với b).
  • $y = -2$ với c).

Bài 3. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) $y = 2x^2 - 3x + 1$.

b) $y = - 3x^2 + 4x - 1$.

c) $y = 0x^2 + 2x + 1$.

Lời giải:

a) Hàm số $y = 2x^2 - 3x + 1$ có $a = 2 > 0$ nên bề lõm của đồ thị mở lên.

Đỉnh $I(\frac{3}{4}; - \frac{1}{8})$.

Trục đối xứng $x = \frac{3}{4}$.

Bảng giá trị:

$x$ $-1$ $0$ $\frac{3}{4}$ $2$

$y$ $6$ $1$ $- \frac{1}{8}$ $3$

Đồ thị hàm số $y = 2x^2 - 3x + 1$ là parabol có bề lõm mở lên, đỉnh $I(\frac{3}{4}; - \frac{1}{8})$, trục đối xứng $x = \frac{3}{4}$ và đi qua các điểm $(0; 1), ( - 1; 6), (2; 3)$.

b) Hàm số $y = - 3x^2 + 4x - 1$ có $a = - 3 < 0$ nên bề lõm của đồ thị mở xuống.

Đỉnh $I(\frac{2}{3}; \frac{5}{3})$.

Trục đối xứng $x = \frac{2}{3}$.

Bảng giá trị:

$x$ $-1$ $0$ $\frac{2}{3}$ $1$

$y$ $- 8$ $- 1$ $\frac{5}{3}$ $0$

Đồ thị hàm số $y = - 3x^2 + 4x - 1$ là parabol có bề lõm mở xuống, đỉnh $I(\frac{2}{3}; \frac{5}{3})$, trục đối xứng $x = \frac{2}{3}$ và đi qua các điểm $(0; - 1), ( - 1; - 8), (1; 0)$.

c) Hàm số $y = 0x^2 + 2x + 1 = 2x + 1$ là hàm số bậc nhất nên đồ thị là đường thẳng đi qua $(0; 1), (1; 3)$.

Kết quả:

• Mô tả đồ thị:
  • $y = 2x^2 - 3x + 1$: parabol mở lên, đỉnh $I(\frac{3}{4}; - \frac{1}{8})$, trục đối xứng $x = \frac{3}{4}$, qua $(0; 1), ( - 1; 6), (2; 3)$.
  • $y = - 3x^2 + 4x - 1$: parabol mở xuống, đỉnh $I(\frac{2}{3}; \frac{5}{3})$, trục đối xứng $x = \frac{2}{3}$, qua $(0; - 1), ( - 1; - 8), (1; 0)$.
  • $y = 2x + 1$: đường thẳng qua $(0; 1), (1; 3)$.

Bài 4. Cho đồ thị hàm số bậc hai $y = f(x) = x^2 - 6x + 5$ như Hình 15.

a) Xác định trục đối xứng của đồ thị.

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

d) Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số.

Lời giải:

a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = x^2 - 6x + 5$ là $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 6}}{{2.1}} = 3$.

b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(3; + \infty )$ và nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;3)$.

c) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $y = - 4$ tại $x = 3$.

d) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

Tập giá trị: $[ - 4; + \infty )$.

Kết quả:

• Kết quả:
  • Trục đối xứng: $x = 3$.
  • Hàm số đồng biến trên $(3; + \infty )$, nghịch biến trên $( - \infty ;3)$.
  • Giá trị nhỏ nhất $y = - 4$ tại $x = 3$.
  • Tập xác định: $\mathbb{R}$, tập giá trị: $[ - 4; + \infty )$.

Bài 5. Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) $y = x^2 + 2x + 3$;

b) $y = - x^2 + 2x + 1$.

Lời giải:

a) Hàm số $y = x^2 + 2x + 3$ có $a = 1 > 0$ nên:

• Hàm số đồng biến trên $( - 1; + \infty )$.

• Hàm số nghịch biến trên $( - \infty ; - 1)$.

b) Hàm số $y = - x^2 + 2x + 1$ có $a = - 1 < 0$ nên:

• Hàm số đồng biến trên $( - \infty ;1)$.

• Hàm số nghịch biến trên $(1; + \infty )$.

Kết quả:

• Kết quả:
  • $y = x^2 + 2x + 3$: đồng biến $( - 1; + \infty )$, nghịch biến $( - \infty ; - 1)$.
  • $y = - x^2 + 2x + 1$: đồng biến $( - \infty ;1)$, nghịch biến $(1; + \infty )$.

Bài 6. Khi du lịch thành phố Huế, bạn Vinh muốn đi thăm quan một cái cổng đình hình parabol có dạng $y = - \frac{1}{{10}}{(x - 2)^2} + 2$ (đơn vị: mét).

a) Gả sử mỗi mét giá $10\,000$ đồng. Hỏi giá thành (làm tròn đến hàng nghìn) của một cái cổng đình là bao nhiêu?

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{{10}}{(x - 2)^2} + 2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

Lời giải:

a) Chiều cao của cổng là: $y = - \frac{1}{{10}}{(2 - 2)^2} + 2 = 2$(m).

Độ rộng của cổng là: $x_1 - x_2 = 2\sqrt {10} \approx 6,32$(m).

Giá thành của một cái cổng đình là: $10\,000 \times (2 + 6,32) \approx 83\,000$(đồng).

b) Ta có: $y' = f'(x) = \frac{2}{5}(x - 2)$.

Đạo hàm tại $x_0 = 1$ là: $f'(1) = - \frac{2}{5}$.

$f(1) = \frac{{19}}{{10}}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là:

$y = - \frac{2}{5}(x - 1) + \frac{{19}}{{10}} = - \frac{2}{5}x + \frac{3}{2}$.

Kết quả:

• Kết quả:
  • Giá thành: $83\,000$ đồng.
  • Phương trình tiếp tuyến: $y = - \frac{2}{5}x + \frac{3}{2}$.

---

Trang 46 — Dấu của tam thức bậc hai

Bài tập:

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Xét tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$).

Ta đã biết đồ thị hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) là một parabol $(P)$ có bề lõm hướng lên trên nếu $a > 0$, xuống dưới nếu $a < 0$; đỉnh của parabol $(P)$ là $I \left( -\frac{b}{{2a}}; f \left( -\frac{b}{{2a}} \right) \right).$

Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của $f(x)$ với $x \in \mathbb{R}$ nếu $a > 0:$

Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của $f(x)$ với $x \in \mathbb{R}$ nếu $a < 0:$

Từ đó rút ra mối liên hệ giữa dấu của tam thức bậc hai $f(x) = a{x^2} + bx + c$ ($a \ne 0$) với delta $\Delta = {b^2} - 4ac$ trong trường hợp $\Delta < 0.$

Lời giải:

Phân tích Hình 17:

• Hình 17 cho thấy parabol $y = f(x)$ có bề lõm hướng lên trên, tức là $a > 0$.
• Parabol không cắt trục hoành, tức là phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm.
• Điều này cũng có nghĩa là $\Delta < 0.$
• Với mọi giá trị thực của $x,$ điểm trên đồ thị $y = f(x)$ luôn nằm phía trên trục hoành, tức là $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

Phân tích Hình 18:

• Hình 18 cho thấy parabol $y = f(x)$ có bề lõm hướng xuống dưới, tức là $a < 0$.
• Parabol không cắt trục hoành, tức là phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm.
• Điều này cũng có nghĩa là $\Delta < 0.$
• Với mọi giá trị thực của $x,$ điểm trên đồ thị $y = f(x)$ luôn nằm phía dưới trục hoành, tức là $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

Kết luận:

• Nếu $\Delta < 0$ và $a > 0$ thì $f(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}.$
• Nếu $\Delta < 0$ và $a < 0$ thì $f(x) < 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}.$

Kết quả: Nếu $\Delta < 0$ thì dấu của tam thức bậc hai $f(x) = a{x^2} + bx + c$ ($a \ne 0$) là:

• $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nếu $a > 0,$
• $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nếu $a < 0.$