Giải Toán 10 Tập 1 trang 47-50 - Cánh diều

Trang 47 — Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3. a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f(x) = x^2 + 2x + 1$.

Lời giải: Tam thức bậc hai $f(x) = x^2 + 2x + 1$ có hệ số $a = 1 > 0$ và biệt thức $\Delta = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 1 = 0$. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ là parabol có bề lõm hướng lên và tiếp xúc với trục hoành tại điểm $(-1; 0)$. Do đó $f(x) \ge 0$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Kết quả: Dấu của $f(x)$ là dương hoặc bằng $0$ với mọi $x$.

---

Bài 3 (tiếp). b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $g(x) = -x^2 + 4x - 4$.

Lời giải: Tam thức bậc hai $g(x) = -x^2 + 4x - 4$ có hệ số $a = -1 < 0$ và biệt thức $\Delta = 4^2 - 4\cdot (-1) \cdot (-4) = 0$. Đồ thị hàm số $y = g(x)$ là parabol có bề lõm hướng xuống và tiếp xúc với trục hoành tại điểm $(2; 0)$. Do đó $g(x) \le 0$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Kết quả: Dấu của $g(x)$ là âm hoặc bằng $0$ với mọi $x$.

---

Bài 3 (tiếp). c) Từ đồ thị rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) với đồ thị của hệ số $a$ trong trường hợp $\Delta = 0$.

Lời giải: Nếu $\Delta = 0$ thì tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

---

Bài 4. a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $h(x) = -x^2 + 3x + 4$ theo các khoảng của $x$.

Lời giải: Tam thức bậc hai $h(x) = -x^2 + 3x + 4$ có hệ số $a = -1 < 0$ và biệt thức $\Delta = 3^2 - 4\cdot (-1) \cdot 4 = 25 > 0$. Đồ thị hàm số $y = h(x)$ là parabol có bề lõm hướng xuống và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ $x_1 = -1$ và $x_2 = 4$. Do đó $h(x) > 0$ khi $x$ thuộc khoảng $(-1; 4)$ và $h(x) < 0$ khi $x$ thuộc các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(4; +\infty)$.

Kết quả: $h(x) > 0$ khi $x \in (-1; 4)$; $h(x) < 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

---

Bài 4 (tiếp). b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $k(x) = x^2 + 2x - 3$ theo các khoảng của $x$.

Lời giải: Tam thức bậc hai $k(x) = x^2 + 2x - 3$ có hệ số $a = 1 > 0$ và biệt thức $\Delta = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot (-3) = 16 > 0$. Đồ thị hàm số $y = k(x)$ là parabol có bề lõm hướng lên và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ $x_1 = -3$ và $x_2 = 1$. Do đó $k(x) < 0$ khi $x$ thuộc khoảng $(-3; 1)$ và $k(x) > 0$ khi $x$ thuộc các khoảng $(-\infty; -3)$ và $(1; +\infty)$.

Kết quả: $k(x) < 0$ khi $x \in (-3; 1)$; $k(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

---

Bài 4 (tiếp). c) Từ đồ thị rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) với đồ thị của hệ số $a$ trong trường hợp $\Delta > 0$.

Lời giải: Nếu $\Delta > 0$ thì tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$)

• cùng dấu với hệ số $a$ ở ngoài khoảng $(x_1; x_2)$
• trái dấu với hệ số $a$ ở trong khoảng $(x_1; x_2)$, trong đó $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của $f(x)$ và $x_1 < x_2$.

---

Trang 48 —

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) $f(x) = 3x^2 - x + 1;$

b) $f(x) = 4x^2 + 4x + 1;$

c) $f(x) = 2x^2 - 6x + 9.$

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $f(x) = 3x^2 - x + 1$ có $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0$, hệ số $a = 3 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

b) Tam thức bậc hai $f(x) = 4x^2 + 4x + 1$ có $\Delta = 0$, nghiệm kép $x_0 = -\dfrac{1}{2}$ và hệ số $a = 4 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R} \setminus \{ -\dfrac{1}{2} \}.$

c) Tam thức bậc hai $f(x) = 2x^2 - 6x + 9$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 = x_2 = \dfrac{3}{2}$ và hệ số $a = 2 > 0.$

Ta có bảng xét dấu của $f(x)$ như sau:

$x$	$(-\infty, \dfrac{3}{2})$	$\dfrac{3}{2}$	$(\dfrac{3}{2}, +\infty)$
$f(x)$	$+$	$0$	$+$

Kết quả:

• $f(x) = 3x^2 - x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$
• $f(x) = 4x^2 + 4x + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R} \setminus \{ -\dfrac{1}{2} \}.$
• $f(x) = 2x^2 - 6x + 9 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

---

Trang 49 — Bài tập

Bài 5. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f(x)$ được cho trong mỗi hình:

Hình $2a$, $2b$, $2c$.

Lời giải:

a) Từ đồ thị Hình $2a$ ta có tam thức bậc hai có hai nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = 3$. Bảng xét dấu của tam thức $f(x)$ là:

$x$	$(-\infty; 1)$	$1$	$(1; 3)$	$3$	$(3; +\infty)$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

b) Từ đồ thị Hình $2b$ ta có tam thức bậc hai có nghiệm $x = 2$. Bảng xét dấu của tam thức $f(x)$ là:

$x$	$(-\infty; 2)$	$2$	$(2; +\infty)$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$

c) Từ đồ thị Hình $2c$ ta có tam thức bậc hai có hai nghiệm $x_1 = -2$ và $x_2 = 1$. Bảng xét dấu của tam thức $f(x)$ là:

$x$	$(-\infty; -2)$	$-2$	$(-2; 1)$	$1$	$(1; +\infty)$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Kết quả:

• Hình $2a$: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$
• Hình $2b$: $x = 2$
• Hình $2c$: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$

---

Trang 50 — Bài tập

Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) $x^2 - 2x + 3 > 0$ khi và chỉ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

b) $x^2 - 2x - 3 < 0$ khi và chỉ khi $x \in [-1; 3]$.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $f(x) = x^2 - 2x + 3$ có $\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$ và $a = 1 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó phát biểu a) sai.

b) Tam thức bậc hai $g(x) = x^2 - 2x - 3$ có $\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$, $a = 1 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Do đó $g(x) < 0$ khi $x \in (-1; 3)$. Vậy phát biểu b) sai.

Kết quả: a) Sai; b) Sai.

Bài 2. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f(x)$ với đồ thị được cho ở mỗi Hình 24a, 24b, 24c.

Lời giải:

• Hình 24a:
  • Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x = 2$.
  • Parabol có bề lõm hướng lên.
  • Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm $x = 2$.

Bảng xét dấu:

$x$	$(-\infty; 2)$	$2$	$(2; +\infty)$
$f(x)$	$+$	$0$	$+$

• Hình 24b:
  • Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm $x = -2$, $x = 3$.
  • Parabol có bề lõm hướng xuống.
  • Phương trình $f(x) = 0$ có hai nghiệm $x = -2$, $x = 3$.

Bảng xét dấu:

$x$	$(-\infty; -2)$	$-2$	$(-2; 3)$	$3$	$(3; +\infty)$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

• Hình 24c:
  • Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x = \frac{1}{2}$.
  • Parabol có bề lõm hướng lên.
  • Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm $x = \frac{1}{2}$.

Bảng xét dấu:

$x$	$(-\infty; \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	$(\frac{1}{2}; +\infty)$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$

Bài 3. Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$;

b) $f(x) = 9x^2 + 6x + 1$;

c) $f(x) = 2x^2 - 3x + 10$;

d) $f(x) = -5x^2 + 2x + 3$;

e) $f(x) = -4x^2 + 8x - 4$;

f) $f(x) = -3x^2 + 3x - 1$.

Lời giải:

a) $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ có $\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 > 0$, $a = 3 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 1$.

$$f(x) > 0 \text{ khi } x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (1; +\infty).$$

$$f(x) < 0 \text{ khi } x \in (\frac{1}{3}; 1).$$

b) $f(x) = 9x^2 + 6x + 1$ có $\Delta = 6^2 - 4\cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$, $a = 9 > 0$.

$$f(x) > 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}.$$

c) $f(x) = 2x^2 - 3x + 10$ có $\Delta = (-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot 10 = 9 - 80 = -71 < 0$, $a = 2 > 0$.

$$f(x) > 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}.$$

d) $f(x) = -5x^2 + 2x + 3$ có $\Delta = 2^2 - 4\cdot (-5) \cdot 3 = 4 + 60 = 64 > 0$, $a = -5 < 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_1 = - \frac{3}{5}$, $x_2 = 1$.

$$f(x) > 0 \text{ khi } x \in (-\frac{3}{5}; 1).$$

$$f(x) < 0 \text{ khi } x \in (-\infty; -\frac{3}{5}) \cup (1; +\infty).$$

e) $f(x) = -4x^2 + 8x - 4$ có $\Delta = 8^2 - 4\cdot (-4) \cdot (-4) = 64 - 64 = 0$, $a = -4 < 0$.

$$f(x) < 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}.$$

f) $f(x) = -3x^2 + 3x - 1$ có $\Delta = 3^2 - 4\cdot (-3) \cdot (-1) = 9 - 12 = -3 < 0$, $a = -3 < 0$.

$$f(x) < 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}.$$

Bài 4. Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan thực tế dành cho học sinh là $300 000$ đồng/người. Nếu đoàn khách từ $50$ người trở lên thì số tiền mỗi người phải trả giảm $5 000$ đồng cho mỗi khách thêm. Biết rằng chi phí thực tế cho chuyến đi là $15 080 000$ đồng.

a) Gọi $x$ là số khách đoàn có, hãy lập biểu thức tính số tiền một người phải trả theo $x$.

b) Số người của đoàn khách tối đa là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ?

Lời giải:

a) Số tiền giảm khi có thêm $x - 50$ khách: $5 000(x - 50)$.

Số tiền một người phải trả: $300 000 - 5 000(x - 50) = 300 000 - 5 000x + 250 000 = 550 000 - 5 000x$.

b) Công ty không bị lỗ thì số tiền thu được phải lớn hơn hoặc bằng chi phí:

$$x(550 000 - 5 000x) \ge 15 080 000$$

$$\Leftrightarrow -5 000x^2 + 550 000x - 15 080 000 \ge 0$$

$$\Leftrightarrow x^2 - 110x + 3016 \le 0$$

$$\Leftrightarrow 28 \le x \le 108.$$

Vì $x$ là số người nên $x$ là số nguyên.

Số khách tối đa là $108$ người.

Bài 5. Bác Thiệu có một cuộn dây thép dài $Q$ mét, với $Q = L^2 + 180L + 140 000$ (nghìn đồng).

Biết chi phí mua dây thép $100$ mét là $1 200$ nghìn đồng.

a) Viết biểu thức $Q$ xác định số tiền bác Thiệu cần phải trả khi mua dây thép.

b) Hỏi bác Thiệu có bao nhiêu mét dây thép để mua mà không bị thừa?

Lời giải:

a) Chi phí mua $100$ mét dây thép là $1 200$ nghìn đồng.

$\Rightarrow 1$ mét dây thép có giá $\frac{1200}{100} = 12$ (nghìn đồng).

$\Rightarrow L$ mét dây thép có giá $12L$ (nghìn đồng).

$$Q = L^2 + 180L + 140 000.$$

b) Không bị thừa thì số dây thép phải là số nguyên.

$$L^2 + 180L + 140 000 > 0 \text{ với } \forall L > 0.$$

Bác Thiệu có thể mua tối đa $L_{max} = 260$ mét dây thép.