Giải Toán 10 Tập 1 trang 51-54 - Cánh diều

Trang 51 — Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Cho bất phương trình bậc hai một ẩn $x: -x^2 + 4x + 3 > 0$. Trong các giá trị sau của $x$, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình đó?

a) $x = 2$;

b) $x = 3$;

c) $x = 0$;

d) $x = 5$.

Lời giải:

Thay $x = 2$ vào bất phương trình ta có: $-2^2 + 4\cdot2 + 3 = -4 + 8 + 3 = 7 > 0$. Vậy $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình.

Thay $x = 3$ vào bất phương trình ta có: $-3^2 + 4\cdot3 + 3 = -9 + 12 + 3 = 6 > 0$. Vậy $x = 3$ là nghiệm của bất phương trình.

Thay $x = 0$ vào bất phương trình ta có: $-0^2 + 4\cdot0 + 3 = 3 > 0$. Vậy $x = 0$ là nghiệm của bất phương trình.

Thay $x = 5$ vào bất phương trình ta có: $-5^2 + 4\cdot5 + 3 = -25 + 20 + 3 = -2 < 0$. Vậy $x = 5$ không là nghiệm của bất phương trình.

Kết quả: a) $x = 2$; b) $x = 3$; c) $x = 0$.

---

Trang 52 — Giải Bài Tập Phương Trình Bất Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn

Ví dụ 1. Giải bất phương trình bậc hai $x^2 - x - 2 > 0$

Lời giải:

1. Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f(x) = x^2 - x - 2$.

   • Tam thức bậc hai có hai nghiệm là $x_1 = -1$ và $x_2 = 2$.
   • Hệ số $a = 1 > 0$.

2. Bảng xét dấu:

   • Với $x < -1$, chọn $x = -2$ thì $f(-2) = 4 > 0$.
   • Với $-1 < x < 2$, chọn $x = 0$ thì $f(0) = -2 < 0$.
   • Với $x > 2$, chọn $x = 3$ thì $f(3) = 2 > 0$.

   $$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline x & (-\infty; & -1) & 2 & (2; +\infty) \ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \ \hline \end{array} $$

3. Giải bất phương trình:

   • $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Kết quả: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:

a) $2x^2 - 5x + 2 > 0$

Lời giải:

• Tam thức bậc hai $2x^2 - 5x + 2$ có hai nghiệm $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = 2$ và $a = 2 > 0$.

• Lập bảng xét dấu:

  • Với $x < \frac{1}{2}$, chọn $x = 0$ thì $f(0) = 2 > 0$.
  • Với $\frac{1}{2} < x < 2$, chọn $x = 1$ thì $f(1) = -1 < 0$.
  • Với $x > 2$, chọn $x = 3$ thì $f(3) = 5 > 0$.

  $$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline x & (-\infty; & \frac{1}{2}) & 2 & (2; +\infty) \ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \ \hline \end{array} $$

• $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (2; +\infty)$.

Kết quả: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (2; +\infty)$

b) $x^2 - x + 8 > 0$

Lời giải:

• Tam thức $x^2 - x + 8$ có $\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31 < 0$, $a = 1 > 0$.
  $\implies f(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Kết quả: $x \in \mathbb{R}$

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) $2x^2 + 4x + 3 \ge 0$

Lời giải:

• Tam thức $2x^2 + 4x + 3$ có $\Delta = 4^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 16 - 24 = -8 < 0$, $a = 2 > 0$.
  $\implies f(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Kết quả: $x \in \mathbb{R}$

b) $-6x^2 - 7x + 5 \le 0$

Lời giải:

• Tam thức $-6x^2 - 7x + 5$ có hai nghiệm $x_1 = -\frac{5}{2}$, $x_2 = \frac{1}{3}$ và $a = -6 < 0$.

• Bảng xét dấu:

  • Với $x < -\frac{5}{2}$, chọn $x = -3$ thì $f(-3) = 22 > 0$.
  • Với $-\frac{5}{2} < x < \frac{1}{3}$, chọn $x = 0$ thì $f(0) = 5 > 0$.
  • Với $x > \frac{1}{3}$, chọn $x = 1$ thì $f(1) = -18 < 0$.

  $$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline x & (-\infty; & -\frac{5}{2}) & \frac{1}{3} & ( \frac{1}{3}; +\infty) \ f(x) & - & 0 & + & 0 & - \ \hline \end{array} $$

• $f(x) \le 0$ khi $x \in [-\frac{5}{2}; \frac{1}{3}]$.

Kết quả: $x \in [-\frac{5}{2}; \frac{1}{3}]$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2}x^2 + (\sqrt{2} + 1)x + 1 \ge 0$

Lời giải:

• Tam thức $\sqrt{2}x^2 + (\sqrt{2} + 1)x + 1$ có $\Delta = (\sqrt{2} + 1)^2 - 4\sqrt{2} = 0$, $a = \sqrt{2} > 0$.
  $\implies f(x) \ge 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.

Kết quả: $x \in \mathbb{R}$

b) $3x^2 - 2x + 1 \le 0$

Lời giải:

• Tam thức $3x^2 - 2x + 1$ có $\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 3\cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0$, $a = 3 > 0$.
  $\implies f(x) > 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$.
  $\implies$ bất phương trình vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm

---

Trang 53 — Dấu của tam thức bậc hai

Bài tập

Bài 1. Giải các bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị:

a) $x^2 + 2x + 2 > 0$

b) $-3x^2 + 2x - 1 > 0$

Lời giải:

a) Xét hàm số $f(x) = x^2 + 2x + 2$.

• Đây là một parabol với bề lõm hướng lên ($\Delta = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$).

• Parabol cắt trục hoành tại các điểm (nếu có).

• Ta có: $f(x) > 0$ khi $x \in \mathbb{R}$ (vì đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành).

• Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^2 + 2x + 2 > 0$ là $\mathbb{R}$.

b) Xét hàm số $f(x) = -3x^2 + 2x - 1$.

• Đây là một parabol với bề lõm hướng xuống ($a = -3 < 0$).

• Ta có: $\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 - 12 = -8 < 0$.

• Parabol không cắt trục hoành.

• Vì $a = -3 < 0$, đồ thị nằm hoàn toàn dưới trục hoành.

• Vậy $f(x) < 0$ với mọi $x$.

• Bất phương trình $-3x^2 + 2x - 1 > 0$ vô nghiệm.

Kết quả:
a) $\mathbb{R}$
b) $\emptyset$

---

Trang 53 — Dấu của tam thức bậc hai

Bài 2. [Đề bài không xuất hiện thêm trên trang này]

Do nội dung chỉ có 1 bài tập, trang này không có bài tập nào khác ngoài bài 1 đã giải.

Vậy kết quả cuối cùng là bài toán đã được giải ở trên.

Trang này có bài tập cần giải.

---

Trang 54 — Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 4. Giải toán sử dụng bất phương trình bậc hai một ẩn.

Khi chia cây thì độ thanh của phần gốc (tính theo góc vuông quanh Hình 25) đã góp phần rất quan trọng trong việc đảm bảo cây có thể ra hoa đúng thời gian trong khâu điều phối thời điểm thu hoạch.

Chúng ta sẽ làm quen với một số ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn qua ví dụ sau đây.

Ví dụ 4. Giải toán sử dụng bất phương trình bậc hai một ẩn.

Khi chia cây thì độ thanh của phần gốc (tính theo góc vuông quanh Hình 25) đã góp phần rất quan trọng trong việc đảm bảo cây có thể ra hoa đúng thời gian trong khâu điều phối thời điểm thu hoạch.

Ta thấy: Độ thon của một đoạn ngang của cây dẫn nhựa không nên hơn $120$ $\text{cm}$ thì mới đảm bảo cây ra hoa đúng thời gian đã định.

Tam thức $-x^2 + 3x - 120$ có hai nghiệm $x_1 = -10$, $x_2 = 12$ và hệ số $a = -1 < 0$. Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị $x$ sao cho tam thức $-x^2 + 3x - 120$ mang dấu "+" là đoạn $[-10 ; 12]$. Do đó tập nghiệm của bất phương trình $-x^2 + 3x - 120 \le 0$ là $x \in (-\infty ; -10] \cup [12 ; +\infty)$.

Vậy điều kiện về độ thon của phần gốc là $x \le -10$ hoặc $x \ge 12$ $(cm)$.

Ví dụ 5. Tìm giao tập nghiệm của hai bất phương trình sau:

$x^2 + 2x - 8 < 0$ (3) và $x^2 - 9 > 0$ (4).

Ta có: (3) $\Leftrightarrow -4 < x < 2$. Tập nghiệm của bất phương trình (3) là $S_3 = (-4 ; 2)$.

(4) $\Leftrightarrow x < -3$ hoặc $x > 3$. Tập nghiệm của bất phương trình (4) là $S_4 = (-\infty ; -3) \cup (3 ; +\infty)$

Giao các tập nghiệm của hai bất phương trình trên là:

$S = S_3 \cap S_4 = (-4 ; -3) \cup (3 ; 2)$.

Kết quả: $(-4 ; -3) \cup (3 ; 2)$