Trang 63 — Bài tập
5. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) y = x 2 + 2 x − 3 y = x^2 + 2x - 3 y = x 2 + 2 x − 3
b) y = − x 2 + 2 x + 1 y = -x^2 + 2x + 1 y = − x 2 + 2 x + 1
Lời giải:
a) y = x 2 + 2 x − 3 y = x^2 + 2x - 3 y = x 2 + 2 x − 3
Hàm số đã cho có dạng y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c a = 1 a = 1 a = 1 b = 2 b = 2 b = 2 c = − 3 c = -3 c = − 3
Toạ độ đỉnh của parabol là ( − b 2 a ; − Δ 4 a ) = ( − 2 2 ; − 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) 4 ) = ( − 1 ; − 4 ) \left( -\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right) = \left( -\frac{2}{2}; -\frac{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}{4} \right) = (-1; -4) ( − 2 a b ; − 4 a Δ ) = ( − 2 2 ; − 4 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) ) = ( − 1 ; − 4 )
Trục đối xứng: x = − 1 x = -1 x = − 1
Giao điểm với trục O y Oy O y x = 0 x = 0 x = 0 y = − 3 y = -3 y = − 3 O y Oy O y ( 0 ; − 3 ) (0; -3) ( 0 ; − 3 )
Giao điểm với trục O x Ox O x y = 0 y = 0 y = 0 x 2 + 2 x − 3 = 0 x^2 + 2x - 3 = 0 x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ \Rightarrow ⇒ x 1 = 1 ; x 2 = − 3 x_1 = 1; x_2 = -3 x 1 = 1 ; x 2 = − 3 O x Ox O x ( 1 ; 0 ) (1; 0) ( 1 ; 0 ) ( − 3 ; 0 ) (-3; 0) ( − 3 ; 0 )
b) y = − x 2 + 2 x + 1 y = -x^2 + 2x + 1 y = − x 2 + 2 x + 1
Hàm số đã cho có dạng y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c a = − 1 a = -1 a = − 1 b = 2 b = 2 b = 2 c = 1 c = 1 c = 1
Toạ độ đỉnh của parabol là ( − b 2 a ; − Δ 4 a ) = ( − 2 − 2 ; − 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 − 4 ) = ( 1 ; 2 ) \left( -\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right) = \left( -\frac{2}{-2}; -\frac{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 1}{-4} \right) = (1; 2) ( − 2 a b ; − 4 a Δ ) = ( − − 2 2 ; − − 4 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ) = ( 1 ; 2 )
Trục đối xứng: x = 1 x = 1 x = 1
Giao điểm với trục O y Oy O y x = 0 x = 0 x = 0 y = 1 y = 1 y = 1 O y Oy O y ( 0 ; 1 ) (0; 1) ( 0 ; 1 )
Giao điểm với trục O x Ox O x y = 0 y = 0 y = 0 − x 2 + 2 x + 1 = 0 -x^2 + 2x + 1 = 0 − x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇒ \Rightarrow ⇒ x 1 = x 2 = 1 x_1 = x_2 = 1 x 1 = x 2 = 1 O x Ox O x ( 1 ; 0 ) (1; 0) ( 1 ; 0 )
Kết quả:
Vẽ đồ thị cho các hàm số
Đồ thị hàm số y = x 2 + 2 x − 3 y = x^2 + 2x - 3 y = x 2 + 2 x − 3 ( − 1 ; − 4 ) (-1; -4) ( − 1 ; − 4 ) x = − 1 x = -1 x = − 1 ( 0 ; − 3 ) , ( 1 ; 0 ) , ( − 3 ; 0 ) (0; -3), (1; 0), (-3; 0) ( 0 ; − 3 ) , ( 1 ; 0 ) , ( − 3 ; 0 )
Đồ thị hàm số y = − x 2 + 2 x + 1 y = -x^2 + 2x + 1 y = − x 2 + 2 x + 1 ( 1 ; 2 ) (1; 2) ( 1 ; 2 ) x = 1 x = 1 x = 1 ( 0 ; 1 ) , ( 1 ; 0 ) (0; 1), (1; 0) ( 0 ; 1 ) , ( 1 ; 0 )
6. Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 f(x) = x^2 + 2x + 4 f ( x ) = x 2 + 2 x + 4
b) f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 f(x) = x^2 - 4x + 3 f ( x ) = x 2 − 4 x + 3
c) f ( x ) = − 16 x 2 + 8 x − 1 f(x) = -16x^2 + 8x - 1 f ( x ) = − 16 x 2 + 8 x − 1
Lời giải:
a) f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 f(x) = x^2 + 2x + 4 f ( x ) = x 2 + 2 x + 4
Ta có a = 1 > 0 a = 1 > 0 a = 1 > 0 Δ = 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = − 12 < 0 \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 Δ = 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = − 12 < 0
Tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 f(x) = x^2 + 2x + 4 f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 x x x
b) f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 f(x) = x^2 - 4x + 3 f ( x ) = x 2 − 4 x + 3
Ta có a = 1 > 0 a = 1 > 0 a = 1 > 0 Δ = ( − 4 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 4 > 0 \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 > 0 Δ = ( − 4 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 4 > 0
Phương trình x 2 − 4 x + 3 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 x 2 − 4 x + 3 = 0 x 1 = 1 ; x 2 = 3 x_1 = 1; x_2 = 3 x 1 = 1 ; x 2 = 3
x x x ( − ∞ ; 1 ) (-\infty; 1) ( − ∞ ; 1 ) 1 1 1 ( 1 ; 3 ) (1; 3) ( 1 ; 3 ) 3 3 3 ( 3 ; + ∞ ) (3; +\infty) ( 3 ; + ∞ )
x 2 − 4 x + 3 x^2 - 4x + 3 x 2 − 4 x + 3 + + + 0 0 0 − - − 0 0 0 + + +
c) f ( x ) = − 16 x 2 + 8 x − 1 f(x) = -16x^2 + 8x - 1 f ( x ) = − 16 x 2 + 8 x − 1
Ta có a = − 16 < 0 a = -16 < 0 a = − 16 < 0 Δ = 8 2 − 4 ⋅ ( − 16 ) ⋅ ( − 1 ) = 0 \Delta = 8^2 - 4 \cdot (-16) \cdot (-1) = 0 Δ = 8 2 − 4 ⋅ ( − 16 ) ⋅ ( − 1 ) = 0
Phương trình − 16 x 2 + 8 x − 1 = 0 -16x^2 + 8x - 1 = 0 − 16 x 2 + 8 x − 1 = 0 x = 1 4 x = \frac{1}{4} x = 4 1
x x x ( − ∞ ; 1 4 ) (-\infty; \frac{1}{4}) ( − ∞ ; 4 1 ) 1 4 \frac{1}{4} 4 1 ( 1 4 ; + ∞ ) (\frac{1}{4}; +\infty) ( 4 1 ; + ∞ )
− 16 x 2 + 8 x − 1 -16x^2 + 8x - 1 − 16 x 2 + 8 x − 1 − - − 0 0 0 − - −
Kết quả:
Hàm f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 f(x) = x^2 + 2x + 4 f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 > 0 > 0 > 0 x x x
Hàm f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 f(x) = x^2 - 4x + 3 f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 > 0 > 0 > 0 x ∈ ( − ∞ ; 1 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) x ∈ ( − ∞ ; 1 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) < 0 < 0 < 0 x ∈ ( 1 ; 3 ) x \in (1; 3) x ∈ ( 1 ; 3 )
Hàm f ( x ) = − 16 x 2 + 8 x − 1 f(x) = -16x^2 + 8x - 1 f ( x ) = − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0 < 0 < 0 x x x
7. Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0 2x^2 + 3x + 1 \geq 0 2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0
b) − 3 x 2 + x + 1 > 0 -3x^2 + x + 1 > 0 − 3 x 2 + x + 1 > 0
c) 4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0 4x^2 + 4x + 1 \leq 0 4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0
d) − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0 -16x^2 + 8x - 1 < 0 − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0
e) 2 x 2 + x + 3 > 0 2x^2 + x + 3 > 0 2 x 2 + x + 3 > 0
g) − 3 x 2 + 4 x − 5 < 0 -3x^2 + 4x - 5 < 0 − 3 x 2 + 4 x − 5 < 0
Lời giải:
a) 2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0 2x^2 + 3x + 1 \geq 0 2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0
Ta có a = 2 > 0 a = 2 > 0 a = 2 > 0 Δ = 3 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 1 > 0 \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 > 0 Δ = 3 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 1 > 0
Phương trình 2 x 2 + 3 x + 1 = 0 2x^2 + 3x + 1 = 0 2 x 2 + 3 x + 1 = 0 x 1 = − 1 2 ; x 2 = − 1 x_1 = -\frac{1}{2}; x_2 = -1 x 1 = − 2 1 ; x 2 = − 1
x x x ( − ∞ ; − 1 ) (-\infty; -1) ( − ∞ ; − 1 ) − 1 -1 − 1 ( − 1 ; − 1 2 ) (-1; -\frac{1}{2}) ( − 1 ; − 2 1 ) − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 ( − 1 2 ; + ∞ ) (-\frac{1}{2}; +\infty) ( − 2 1 ; + ∞ )
2 x 2 + 3 x + 1 2x^2 + 3x + 1 2 x 2 + 3 x + 1 + + + 0 0 0 − - − 0 0 0 + + +
2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0 2x^2 + 3x + 1 \geq 0 2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0 x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ − 1 2 ; + ∞ ) x \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{2}; +\infty) x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ − 2 1 ; + ∞ )
b) − 3 x 2 + x + 1 > 0 -3x^2 + x + 1 > 0 − 3 x 2 + x + 1 > 0
Ta có a = − 3 < 0 a = -3 < 0 a = − 3 < 0 Δ = 1 2 − 4 ⋅ ( − 3 ) ⋅ 1 = 13 > 0 \Delta = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 13 > 0 Δ = 1 2 − 4 ⋅ ( − 3 ) ⋅ 1 = 13 > 0
Phương trình − 3 x 2 + x + 1 = 0 -3x^2 + x + 1 = 0 − 3 x 2 + x + 1 = 0 x 1 = 1 + 13 − 6 ; x 2 = 1 − 13 − 6 x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{-6}; x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{-6} x 1 = − 6 1 + 13 ; x 2 = − 6 1 − 13
x x x ( − ∞ ; 1 − 13 − 6 ) (-\infty; \frac{1 - \sqrt{13}}{-6}) ( − ∞ ; − 6 1 − 13 ) 1 − 13 − 6 \frac{1 - \sqrt{13}}{-6} − 6 1 − 13 ( 1 − 13 − 6 ; 1 + 13 − 6 ) (\frac{1 - \sqrt{13}}{-6}; \frac{1 + \sqrt{13}}{-6}) ( − 6 1 − 13 ; − 6 1 + 13 ) 1 + 13 − 6 \frac{1 + \sqrt{13}}{-6} − 6 1 + 13 ( 1 + 13 − 6 ; + ∞ ) (\frac{1 + \sqrt{13}}{-6}; +\infty) ( − 6 1 + 13 ; + ∞ )
− 3 x 2 + x + 1 -3x^2 + x + 1 − 3 x 2 + x + 1 − - − 0 0 0 + + + 0 0 0 − - −
− 3 x 2 + x + 1 > 0 -3x^2 + x + 1 > 0 − 3 x 2 + x + 1 > 0 x ∈ ( 1 − 13 − 6 ; 1 + 13 − 6 ) x \in (\frac{1 - \sqrt{13}}{-6};\frac{1 + \sqrt{13}}{-6}) x ∈ ( − 6 1 − 13 ; − 6 1 + 13 )
c) 4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0 4x^2 + 4x + 1 \leq 0 4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0
Ta có a = 4 > 0 a = 4 > 0 a = 4 > 0 Δ = 4 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 0 \Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0 Δ = 4 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 0
Phương trình 4 x 2 + 4 x + 1 = 0 4x^2 + 4x + 1 = 0 4 x 2 + 4 x + 1 = 0 x = − 1 2 x = -\frac{1}{2} x = − 2 1
x x x ( − ∞ ; − 1 2 ) (-\infty; -\frac{1}{2}) ( − ∞ ; − 2 1 ) − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 ( − 1 2 ; + ∞ ) (-\frac{1}{2}; +\infty) ( − 2 1 ; + ∞ )
4 x 2 + 4 x + 1 4x^2 + 4x + 1 4 x 2 + 4 x + 1 + + + 0 0 0 + + +
4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0 4x^2 + 4x + 1 \leq 0 4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0 x = − 1 2 x = -\frac{1}{2} x = − 2 1
d) − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0 -16x^2 + 8x - 1 < 0 − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0
Ta có a = − 16 < 0 a = -16 < 0 a = − 16 < 0 Δ = 8 2 − 4 ⋅ ( − 16 ) ⋅ ( − 1 ) = 0 \Delta = 8^2 - 4 \cdot (-16) \cdot (-1) = 0 Δ = 8 2 − 4 ⋅ ( − 16 ) ⋅ ( − 1 ) = 0
Phương trình − 16 x 2 + 8 x − 1 = 0 -16x^2 + 8x - 1 = 0 − 16 x 2 + 8 x − 1 = 0 x = 1 4 x = \frac{1}{4} x = 4 1
x x x ( − ∞ ; 1 4 ) (-\infty; \frac{1}{4}) ( − ∞ ; 4 1 ) 1 4 \frac{1}{4} 4 1 ( 1 4 ; + ∞ ) (\frac{1}{4}; +\infty) ( 4 1 ; + ∞ )
− 16 x 2 + 8 x − 1 -16x^2 + 8x - 1 − 16 x 2 + 8 x − 1 − - − 0 0 0 − - −
− 16 x 2 + 8 x − 1 < 0 -16x^2 + 8x - 1 < 0 − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0 x x x
e) 2 x 2 + x + 3 > 0 2x^2 + x + 3 > 0 2 x 2 + x + 3 > 0
Ta có a = 2 > 0 a = 2 > 0 a = 2 > 0 Δ = 1 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 23 < 0 \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = -23 < 0 Δ = 1 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 23 < 0
2 x 2 + x + 3 > 0 2x^2 + x + 3 > 0 2 x 2 + x + 3 > 0 x x x
g) − 3 x 2 + 4 x − 5 < 0 -3x^2 + 4x - 5 < 0 − 3 x 2 + 4 x − 5 < 0
Ta có a = − 3 < 0 a = -3 < 0 a = − 3 < 0 Δ = 4 2 − 4 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 5 ) = − 44 < 0 \Delta = 4^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = -44 < 0 Δ = 4 2 − 4 ⋅ ( − 3 ) ⋅ ( − 5 ) = − 44 < 0
− 3 x 2 + 4 x − 5 < 0 -3x^2 + 4x - 5 < 0 − 3 x 2 + 4 x − 5 < 0 x x x
Kết quả:
2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0 2x^2 + 3x + 1 \geq 0 2 x 2 + 3 x + 1 ≥ 0 x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ − 1 2 ; + ∞ ) x \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{2}; +\infty) x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ − 2 1 ; + ∞ ) − 3 x 2 + x + 1 > 0 -3x^2 + x + 1 > 0 − 3 x 2 + x + 1 > 0 x ∈ ( 1 − 13 − 6 ; 1 + 13 − 6 ) x \in (\frac{1 - \sqrt{13}}{-6};\frac{1 + \sqrt{13}}{-6}) x ∈ ( − 6 1 − 13 ; − 6 1 + 13 ) 4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0 4x^2 + 4x + 1 \leq 0 4 x 2 + 4 x + 1 ≤ 0 x = − 1 2 x = -\frac{1}{2} x = − 2 1 − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0 -16x^2 + 8x - 1 < 0 − 16 x 2 + 8 x − 1 < 0 x x x 2 x 2 + x + 3 > 0 2x^2 + x + 3 > 0 2 x 2 + x + 3 > 0 x x x − 3 x 2 + 4 x − 5 < 0 -3x^2 + 4x - 5 < 0 − 3 x 2 + 4 x − 5 < 0 x x x
Trang 64 — Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ
Bài 1. Giải bài toán sau:
Cột Lăng Cô ở xã Lũng Cú, tỉnh Hà Giang, năm 2010 được công nhận là cột mốc xác định cực Bắc của Việt Nam. Từ chân cột Lăng Cô (địa điểm A) đến đinh cột (địa điểm B) phải leo dọc theo 20 bậc thang, mỗi bậc thang có chiều cao khoảng 0 , 15 0,15 0 , 15
Độ cao của cột cờ Quốc kỳ Việt Nam so với mặt đất là khoảng bao nhiêu mét?
Lời giải:
Chiều cao của cột cờ Quốc kỳ Việt Nam so với mặt đất là khoảng:
20 ⋅ 0 , 15 + 12 , 0 = 3 + 12 , 0 = 15 m . 20 \cdot 0,15 + 12,0 = 3 + 12,0 = 15\,\mathrm{m}. 20 ⋅ 0 , 15 + 12 , 0 = 3 + 12 , 0 = 15 m .
Kết quả: 15 15 15
Trang 65 — Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Trang này có nội dung là lý thuyết về giá trị lượng giác của một góc từ 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘
Vậy, chúng ta có kết luận:
SKIP
Trang 66 — Giá trị lượng giác của một góc từ 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘
Bài tập
Bài 1
Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: 0 ∘ , 90 ∘ , 180 ∘ 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ 0 ∘ , 9 0 ∘ , 18 0 ∘
Lời giải:
Với α = 0 ∘ \alpha = 0^\circ α = 0 ∘
Điểm M M M A ( 1 ; 0 ) A(1; 0) A ( 1 ; 0 )
Do đó sin 0 ∘ = 0 \sin 0^\circ = 0 sin 0 ∘ = 0 cos 0 ∘ = 1 \cos 0^\circ = 1 cos 0 ∘ = 1 tan 0 ∘ = 0 \tan 0^\circ = 0 tan 0 ∘ = 0 cot 0 ∘ \cot 0^\circ cot 0 ∘
Với α = 90 ∘ \alpha = 90^\circ α = 9 0 ∘
Điểm M M M B ( 0 ; 1 ) B(0; 1) B ( 0 ; 1 )
Do đó sin 90 ∘ = 1 \sin 90^\circ = 1 sin 9 0 ∘ = 1 cos 90 ∘ = 0 \cos 90^\circ = 0 cos 9 0 ∘ = 0 tan 90 ∘ \tan 90^\circ tan 9 0 ∘ cot 90 ∘ = 0 \cot 90^\circ = 0 cot 9 0 ∘ = 0
Với α = 180 ∘ \alpha = 180^\circ α = 18 0 ∘
Điểm M M M C ( − 1 ; 0 ) C(-1; 0) C ( − 1 ; 0 )
Do đó sin 180 ∘ = 0 \sin 180^\circ = 0 sin 18 0 ∘ = 0 cos 180 ∘ = − 1 \cos 180^\circ = -1 cos 18 0 ∘ = − 1 tan 180 ∘ = 0 \tan 180^\circ = 0 tan 18 0 ∘ = 0 cot 180 ∘ \cot 180^\circ cot 18 0 ∘
Kết quả:
Với α = 0 ∘ \alpha = 0^\circ α = 0 ∘ sin 0 ∘ = 0 \sin 0^\circ = 0 sin 0 ∘ = 0 cos 0 ∘ = 1 \cos 0^\circ = 1 cos 0 ∘ = 1 tan 0 ∘ = 0 \tan 0^\circ = 0 tan 0 ∘ = 0 cot 0 ∘ \cot 0^\circ cot 0 ∘
Với α = 90 ∘ \alpha = 90^\circ α = 9 0 ∘ sin 90 ∘ = 1 \sin 90^\circ = 1 sin 9 0 ∘ = 1 cos 90 ∘ = 0 \cos 90^\circ = 0 cos 9 0 ∘ = 0 tan 90 ∘ \tan 90^\circ tan 9 0 ∘ cot 90 ∘ = 0 \cot 90^\circ = 0 cot 9 0 ∘ = 0
Với α = 180 ∘ \alpha = 180^\circ α = 18 0 ∘ sin 180 ∘ = 0 \sin 180^\circ = 0 sin 18 0 ∘ = 0 cos 180 ∘ = − 1 \cos 180^\circ = -1 cos 18 0 ∘ = − 1 tan 180 ∘ = 0 \tan 180^\circ = 0 tan 18 0 ∘ = 0 cot 180 ∘ \cot 180^\circ cot 18 0 ∘
Bài 2
Cho 0 < α < 90 ∘ 0 < \alpha < 90^\circ 0 < α < 9 0 ∘
sin α = cos ( 90 ∘ − α ) ; \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha); sin α = cos ( 9 0 ∘ − α ) ; cos α = sin ( 90 ∘ − α ) ; \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha); cos α = sin ( 9 0 ∘ − α ) ; tan α = cot ( 90 ∘ − α ) ; \tan \alpha = \cot(90^\circ - \alpha); tan α = cot ( 9 0 ∘ − α ) ; cot α = tan ( 90 ∘ − α ) . \cot \alpha = \tan(90^\circ - \alpha). cot α = tan ( 9 0 ∘ − α ) .
Lời giải:
Gọi điểm M M M x O M ^ = α . \widehat{xOM} = \alpha. x O M = α .
Gọi điểm N N N M M M O y . Oy. O y .
Khi đó x O N ^ = 90 ∘ − α . \widehat{xON} = 90^\circ - \alpha. x O N = 9 0 ∘ − α .
Gọi tọa độ của điểm M M M ( x 0 ; y 0 ) . (x_0; y_0). ( x 0 ; y 0 ) .
Khi đó tọa độ của điểm N N N ( − x 0 ; y 0 ) . (-x_0; y_0). ( − x 0 ; y 0 ) .
Do đósin α = y 0 , \sin \alpha = y_0, sin α = y 0 , cos α = x 0 , \cos \alpha = x_0, cos α = x 0 , tan α = y 0 x 0 , \tan \alpha = \frac{y_0}{x_0}, tan α = x 0 y 0 , cot α = x 0 y 0 . \cot \alpha = \frac{x_0}{y_0}. cot α = y 0 x 0 .
Mặt khácsin ( 90 ∘ − α ) = x 0 = cos α , \sin(90^\circ - \alpha) = x_0 = \cos \alpha, sin ( 9 0 ∘ − α ) = x 0 = cos α , cos ( 90 ∘ − α ) = y 0 = sin α , \cos(90^\circ - \alpha) = y_0 = \sin \alpha, cos ( 9 0 ∘ − α ) = y 0 = sin α , tan ( 90 ∘ − α ) = x 0 y 0 = cot α , \tan(90^\circ - \alpha) = \frac{x_0}{y_0} = \cot \alpha, tan ( 9 0 ∘ − α ) = y 0 x 0 = cot α , cot ( 90 ∘ − α ) = y 0 x 0 = tan α . \cot(90^\circ - \alpha) = \frac{y_0}{x_0} = \tan \alpha. cot ( 9 0 ∘ − α ) = x 0 y 0 = tan α .
Kết quả:
sin α = cos ( 90 ∘ − α ) ; \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha); sin α = cos ( 9 0 ∘ − α ) ; cos α = sin ( 90 ∘ − α ) ; \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha); cos α = sin ( 9 0 ∘ − α ) ; tan α = cot ( 90 ∘ − α ) ; \tan \alpha = \cot(90^\circ - \alpha); tan α = cot ( 9 0 ∘ − α ) ; cot α = tan ( 90 ∘ − α ) . \cot \alpha = \tan(90^\circ - \alpha). cot α = tan ( 9 0 ∘ − α ) .
Bài 3
Tìm góc α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ ) \alpha \; (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) α ( 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ )
a) sin α = 3 2 ; \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}; sin α = 2 3 ; cos α = − 2 2 ; \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}; cos α = − 2 2 ; tan α = 1 3 ; \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}; tan α = 3 1 ;
Lời giải:
a) Với sin α = 3 2 \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} sin α = 2 3 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ α = 60 ∘ . \alpha = 60^\circ. α = 6 0 ∘ .
b) Với cos α = − 2 2 \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} cos α = − 2 2 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ α = 135 ∘ . \alpha = 135^\circ. α = 13 5 ∘ .
c) Với tan α = 1 3 \tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} tan α = 3 1 0 ∘ ≤ α ≤ 180 ∘ 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ 0 ∘ ≤ α ≤ 18 0 ∘ α = 30 ∘ . \alpha = 30^\circ. α = 3 0 ∘ .
Kết quả:
α = 60 ∘ . \alpha = 60^\circ. α = 6 0 ∘ . α = 135 ∘ . \alpha = 135^\circ. α = 13 5 ∘ . α = 30 ∘ . \alpha = 30^\circ. α = 3 0 ∘ .
Bài 4
Cho tan α = − 2. \tan \alpha = -2. tan α = − 2.
a) sin α + 3 cos α cos α + 2 sin α ; \frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\cos \alpha + 2 \sin \alpha}; c o s α + 2 s i n α s i n α + 3 c o s α ; 1 cos α + 1 sin α ; \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}; c o s α 1 + s i n α 1 ;
Lời giải:
a) sin α + 3 cos α cos α + 2 sin α = tan α + 3 1 + 2 tan α = − 2 + 3 1 + 2 ( − 2 ) = − 1. \frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\cos \alpha + 2 \sin \alpha} = \frac{\tan \alpha + 3}{1 + 2 \tan \alpha} = \frac{-2 + 3}{1 + 2(-2)} = -1. c o s α + 2 s i n α s i n α + 3 c o s α = 1 + 2 t a n α t a n α + 3 = 1 + 2 ( − 2 ) − 2 + 3 = − 1.
b) Ta có sin α = tan α 1 + tan 2 α = − 2 5 ; \sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{-2}{\sqrt{5}}; sin α = 1 + t a n 2 α t a n α = 5 − 2 ; cos α = 1 1 + tan 2 α = 1 5 ; \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{5}}; cos α = 1 + t a n 2 α 1 = 5 1 ;
Do đó
1 cos α + 1 sin α = 5 − 5 = 3 5 . \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} = \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3\sqrt{5}. c o s α 1 + s i n α 1 = 5 − 5 = 3 5 .
Kết quả:
sin α + 3 cos α cos α + 2 sin α = − 1. \frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\cos \alpha + 2 \sin \alpha} = -1. c o s α + 2 s i n α s i n α + 3 c o s α = − 1. 1 cos α + 1 sin α = 3 5 . \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{1}{\sin \alpha} = 3\sqrt{5}. c o s α 1 + s i n α 1 = 3 5 .
Bài 5
Cho ∠ x O y = 60 ∘ . \angle xOy = 60^\circ. ∠ x O y = 6 0 ∘ . sin α , cos α \sin \alpha, \cos \alpha sin α , cos α α = ∠ x O y . \alpha = \angle xOy. α = ∠ x O y .
Lời giải:
Ta có sin 60 ∘ = 3 2 ; \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; sin 6 0 ∘ = 2 3 ; cos 60 ∘ = 1 2 . \cos 60^\circ = \frac{1}{2}. cos 6 0 ∘ = 2 1 .
Kết quả:
sin 60 ∘ = 3 2 ; \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; sin 6 0 ∘ = 2 3 ; cos 60 ∘ = 1 2 . \cos 60^\circ = \frac{1}{2}. cos 6 0 ∘ = 2 1 .