Trang 67 — Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác
Bài tập
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
T = cos 15 ∘ + sin 35 ∘ + cos ( 90 ∘ − 35 ∘ ) + cos 180 ∘ − cos ( 180 ∘ − 15 ∘ ) + 1 T = \cos 15^\circ + \sin 35^\circ + \cos (90^\circ - 35^\circ) + \cos 180^\circ - \cos (180^\circ - 15^\circ) + 1 T = cos 1 5 ∘ + sin 3 5 ∘ + cos ( 9 0 ∘ − 3 5 ∘ ) + cos 18 0 ∘ − cos ( 18 0 ∘ − 1 5 ∘ ) + 1 Lời giải:
Ta có:
cos ( 90 ∘ − 35 ∘ ) = sin 35 ∘ , \cos (90^\circ - 35^\circ) = \sin 35^\circ, cos ( 9 0 ∘ − 3 5 ∘ ) = sin 3 5 ∘ , cos ( 180 ∘ − 15 ∘ ) = − cos 15 ∘ , \cos (180^\circ - 15^\circ) = -\cos 15^\circ, cos ( 18 0 ∘ − 1 5 ∘ ) = − cos 1 5 ∘ , cos 180 ∘ = − 1. \cos 180^\circ = -1. cos 18 0 ∘ = − 1.
Do đó:
T = cos 15 ∘ + sin 35 ∘ + sin 35 ∘ + ( − 1 ) − ( − cos 15 ∘ ) + 1 = cos 15 ∘ + sin 35 ∘ + sin 35 ∘ + cos 15 ∘ = 2 ( cos 15 ∘ + sin 35 ∘ ) . \begin{aligned}
T &= \cos 15^\circ + \sin 35^\circ + \sin 35^\circ + (-1) - (-\cos 15^\circ) + 1 \\
&= \cos 15^\circ + \sin 35^\circ + \sin 35^\circ + \cos 15^\circ \\
&= 2(\cos 15^\circ + \sin 35^\circ).
\end{aligned} T = cos 1 5 ∘ + sin 3 5 ∘ + sin 3 5 ∘ + ( − 1 ) − ( − cos 1 5 ∘ ) + 1 = cos 1 5 ∘ + sin 3 5 ∘ + sin 3 5 ∘ + cos 1 5 ∘ = 2 ( cos 1 5 ∘ + sin 3 5 ∘ ) . Để tính giá trị chính xác của T T T cos 15 ∘ \cos 15^\circ cos 1 5 ∘ sin 35 ∘ . \sin 35^\circ. sin 3 5 ∘ .
Kết quả: T = 2 ( cos 15 ∘ + sin 35 ∘ ) . T = 2(\cos 15^\circ + \sin 35^\circ). T = 2 ( cos 1 5 ∘ + sin 3 5 ∘ ) .
Trang 68 — Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lý Côsin và định lý Sin trong tam giác
Bài tập
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin 75 ∘ + sin 15 ∘ ; \sin 75^\circ + \sin 15^\circ; sin 7 5 ∘ + sin 1 5 ∘ ;
b) cos 175 ∘ + cos 75 ∘ ; \cos 175^\circ + \cos 75^\circ; cos 17 5 ∘ + cos 7 5 ∘ ;
c) sin 75 ∘ − sin 64 ∘ . \sin 75^\circ - \sin 64^\circ. sin 7 5 ∘ − sin 6 4 ∘ .
Lời giải:
a) sin 75 ∘ + sin 15 ∘ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ sin 7 5 ∘ + sin 1 5 ∘
Sử dụng công thức: sin A + sin B = 2 sin ( A + B 2 ) cos ( A − B 2 ) \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) sin A + sin B = 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B )
sin 75 ∘ + sin 15 ∘ = 2 sin ( 75 ∘ + 15 ∘ 2 ) cos ( 75 ∘ − 15 ∘ 2 ) \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin \left( \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} \right) sin 7 5 ∘ + sin 1 5 ∘ = 2 sin ( 2 7 5 ∘ + 1 5 ∘ ) cos ( 2 7 5 ∘ − 1 5 ∘ )
= 2 sin 45 ∘ cos 30 ∘ = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ = 2 sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘
= 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 3
= 6 2 = \frac{\sqrt{6}}{2} = 2 6
b) cos 175 ∘ + cos 75 ∘ \cos 175^\circ + \cos 75^\circ cos 17 5 ∘ + cos 7 5 ∘
Sử dụng công thức: cos A + cos B = 2 cos ( A + B 2 ) cos ( A − B 2 ) \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) cos A + cos B = 2 cos ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B )
cos 175 ∘ + cos 75 ∘ = 2 cos ( 175 ∘ + 75 ∘ 2 ) cos ( 175 ∘ − 75 ∘ 2 ) \cos 175^\circ + \cos 75^\circ = 2 \cos \left( \frac{175^\circ + 75^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{175^\circ - 75^\circ}{2} \right) cos 17 5 ∘ + cos 7 5 ∘ = 2 cos ( 2 17 5 ∘ + 7 5 ∘ ) cos ( 2 17 5 ∘ − 7 5 ∘ )
= 2 cos 125 ∘ cos 50 ∘ = 2 \cos 125^\circ \cos 50^\circ = 2 cos 12 5 ∘ cos 5 0 ∘
Sử dụng máy tính:
cos 125 ∘ ≈ − 0.5736 \cos 125^\circ \approx -0.5736 cos 12 5 ∘ ≈ − 0.5736 cos 50 ∘ ≈ 0.6428 \cos 50^\circ \approx 0.6428 cos 5 0 ∘ ≈ 0.6428
⇒ cos 175 ∘ + cos 75 ∘ ≈ 2 ⋅ ( − 0.5736 ) ⋅ 0.6428 ≈ − 0.7373 \Rightarrow \cos 175^\circ + \cos 75^\circ \approx 2 \cdot (-0.5736) \cdot 0.6428 \approx -0.7373 ⇒ cos 17 5 ∘ + cos 7 5 ∘ ≈ 2 ⋅ ( − 0.5736 ) ⋅ 0.6428 ≈ − 0.7373
c) sin 75 ∘ − sin 64 ∘ \sin 75^\circ - \sin 64^\circ sin 7 5 ∘ − sin 6 4 ∘
Sử dụng công thức: sin A − sin B = 2 cos ( A + B 2 ) sin ( A − B 2 ) \sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) sin A − sin B = 2 cos ( 2 A + B ) sin ( 2 A − B )
sin 75 ∘ − sin 64 ∘ = 2 cos ( 75 ∘ + 64 ∘ 2 ) sin ( 75 ∘ − 64 ∘ 2 ) \sin 75^\circ - \sin 64^\circ = 2 \cos \left( \frac{75^\circ + 64^\circ}{2} \right) \sin \left( \frac{75^\circ - 64^\circ}{2} \right) sin 7 5 ∘ − sin 6 4 ∘ = 2 cos ( 2 7 5 ∘ + 6 4 ∘ ) sin ( 2 7 5 ∘ − 6 4 ∘ )
= 2 cos 69.5 ∘ sin 5.5 ∘ = 2 \cos 69.5^\circ \sin 5.5^\circ = 2 cos 69. 5 ∘ sin 5. 5 ∘
Sử dụng máy tính:
cos 69.5 ∘ ≈ 0.3584 \cos 69.5^\circ \approx 0.3584 cos 69. 5 ∘ ≈ 0.3584 sin 5.5 ∘ ≈ 0.0959 \sin 5.5^\circ \approx 0.0959 sin 5. 5 ∘ ≈ 0.0959
⇒ sin 75 ∘ − sin 64 ∘ ≈ 2 ⋅ 0.3584 ⋅ 0.0959 ≈ 0.0687 \Rightarrow \sin 75^\circ - \sin 64^\circ \approx 2 \cdot 0.3584 \cdot 0.0959 \approx 0.0687 ⇒ sin 7 5 ∘ − sin 6 4 ∘ ≈ 2 ⋅ 0.3584 ⋅ 0.0959 ≈ 0.0687
Kết quả: 6 2 ; − 0.7373 ; 0.0687 \frac{\sqrt{6}}{2}; -0.7373; 0.0687 2 6 ; − 0.7373 ; 0.0687
Bài 2. Tìm số đo α \alpha α
a) cos α = − 0.97 ; \cos \alpha = -0.97; cos α = − 0.97 ;
b) tan α = 0.68 ; \tan \alpha = 0.68; tan α = 0.68 ;
c) sin α = 0.45. \sin \alpha = 0.45. sin α = 0.45.
Lời giải:
a) cos α = − 0.97 \cos \alpha = -0.97 cos α = − 0.97
Sử dụng máy tính:
α ≈ 166 ∘ \alpha \approx 166^\circ α ≈ 16 6 ∘
b) tan α = 0.68 \tan \alpha = 0.68 tan α = 0.68
Sử dụng máy tính:
α ≈ 34 ∘ \alpha \approx 34^\circ α ≈ 3 4 ∘
c) sin α = 0.45 \sin \alpha = 0.45 sin α = 0.45
Sử dụng máy tính:
α ≈ 27 ∘ \alpha \approx 27^\circ α ≈ 2 7 ∘ α ≈ 153 ∘ \alpha \approx 153^\circ α ≈ 15 3 ∘
Kết quả: 166 ∘ ; 34 ∘ ; 27 ∘ ; 153 ∘ 166^\circ; 34^\circ; 27^\circ; 153^\circ 16 6 ∘ ; 3 4 ∘ ; 2 7 ∘ ; 15 3 ∘
Trang 69 — Định lý Cosin
Bài tập:
Cho tam giác A B C ABC A B C B C = a , A C = b , A B = c , B A C ^ = α BC = a, AC = b, AB = c, \widehat{BAC} = \alpha B C = a , A C = b , A B = c , B A C = α B H BH B H
1. Cho α \alpha α
a ) a) a ) H C = ∣ A C − A H ∣ HC = |AC - AH| H C = ∣ A C − A H ∣ B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A H . A C ; BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AH . AC; B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A H . A C ;
b ) b) b ) a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α . a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α .
Lời giải:
a ) a) a )
Nếu C C C H H H C C C H C = A C − A H HC = AC - AH H C = A C − A H
Trong mọi trường hợp, ta đều có H C = ∣ A C − A H ∣ HC = |AC - AH| H C = ∣ A C − A H ∣
Áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác vuông B H C BHC B H C A H B AHB A H B
B C 2 = B H 2 + H C 2 = B H 2 + ( A C − A H ) 2 = ( B H 2 + A H 2 ) + A C 2 − 2 A H . A C = A B 2 + A C 2 − 2 A H . A C . \begin{aligned}
BC^2 &= BH^2 + HC^2 \\
&= BH^2 + (AC - AH)^2 \\
&= (BH^2 + AH^2) + AC^2 - 2AH . AC \\
&= AB^2 + AC^2 - 2AH . AC.
\end{aligned} B C 2 = B H 2 + H C 2 = B H 2 + ( A C − A H ) 2 = ( B H 2 + A H 2 ) + A C 2 − 2 A H . A C = A B 2 + A C 2 − 2 A H . A C . b ) b) b ) A B H ABH A B H A H = A B cos A = c cos α . AH = AB \cos A = c \cos \alpha. A H = A B cos A = c cos α .
Do đó B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A H . A C = c 2 + b 2 − 2 b c cos α . BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AH . AC = c^2 + b^2 - 2bc \cos \alpha. B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A H . A C = c 2 + b 2 − 2 b c cos α .
Vậy a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α . a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha. a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α .
2. Cho α \alpha α
a ) a) a ) H C = A C + A H HC = AC + AH H C = A C + A H B C 2 = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C ; BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AH . AC; B C 2 = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C ;
b ) b) b ) a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α . a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos \alpha. a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α .
Lời giải:
a ) a) a ) B H C BHC B H C A H B AHB A H B
B C 2 = B H 2 + H C 2 = B H 2 + ( A C + A H ) 2 = ( B H 2 + A H 2 ) + A C 2 + 2 A H . A C = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C . \begin{aligned}
BC^2 &= BH^2 + HC^2 \\
&= BH^2 + (AC + AH)^2 \\
&= (BH^2 + AH^2) + AC^2 + 2AH . AC \\
&= AB^2 + AC^2 + 2AH . AC.
\end{aligned} B C 2 = B H 2 + H C 2 = B H 2 + ( A C + A H ) 2 = ( B H 2 + A H 2 ) + A C 2 + 2 A H . A C = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C .
Kết quả: H C = A C + A H HC = AC + AH H C = A C + A H B C 2 = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C . BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AH . AC. B C 2 = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C .
b ) b) b ) A B H ABH A B H A H = A B cos ( π − α ) = − c cos α . AH = AB \cos (\pi - \alpha) = -c \cos \alpha. A H = A B cos ( π − α ) = − c cos α .
Do đó B C 2 = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C = c 2 + b 2 + 2 b c cos α . BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AH . AC = c^2 + b^2 + 2bc \cos \alpha. B C 2 = A B 2 + A C 2 + 2 A H . A C = c 2 + b 2 + 2 b c cos α .
Vậy a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α . a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos \alpha. a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α .
Kết quả: a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α . a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos \alpha. a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos α .
Ví dụ 4
Ví dụ 4. Cho tam giác A B C ABC A B C A B = 3 , A C = 5 AB = 3, AC = 5 A B = 3 , A C = 5 A ^ = 120 ∘ \widehat{A} = 120^\circ A = 12 0 ∘
a) Tính cos A \cos A cos A
b) Tính độ dài cạnh B C BC B C
Lời giải:
a) Ta có cos A = cos 120 ∘ = − 1 2 \cos A = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} cos A = cos 12 0 ∘ = − 2 1
b) Áp dụng định lí cosin trong tam giác A B C ABC A B C
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B . A C . cos A . BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB . AC . \cos A. B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B . A C . cos A . Thay số ta có
B C 2 = 3 2 + 5 2 − 2.3.5. ( − 1 2 ) = 9 + 25 + 15 = 49. \begin{aligned}
BC^2 &= 3^2 + 5^2 - 2 . 3 . 5 . \left( -\frac{1}{2} \right) \\
&= 9 + 25 + 15 = 49.
\end{aligned} B C 2 = 3 2 + 5 2 − 2.3.5. ( − 2 1 ) = 9 + 25 + 15 = 49. Do đó B C = 49 = 7 BC = \sqrt{49} = 7 B C = 49 = 7
Kết quả: cos A = − 1 2 ; B C = 7. \cos A = -\frac{1}{2}; BC=7. cos A = − 2 1 ; B C = 7.
Ví dụ 5
Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 900 km/h 900\,\text{km/h} 900 km/h 650 km/h 650\,\text{km/h} 650 km/h
Lời giải:
Sau 2 2 2
900 ⋅ 2 = 1800 km . 900 \cdot 2 = 1800\,\text{km}. 900 ⋅ 2 = 1800 km . Sau 2 2 2
650 ⋅ 2 = 1300 km . 650 \cdot 2 = 1300\,\text{km}. 650 ⋅ 2 = 1300 km . Hai máy bay cách nhau d d d
d 2 = 1800 2 + 1300 2 − 2 ⋅ 1800 ⋅ 1300 ⋅ cos 60 ∘ = 1800 2 + 1300 2 − 1800 ⋅ 1300 = 1800 2 − 1800 ⋅ 1300 + 1300 2 − 1300 ⋅ 1800 = 1800 ( 1800 − 1300 ) + 1300 ( 1300 − 1800 ) = 500 ( 1800 − 1300 ) = 500 ⋅ 500 = 250000. \begin{aligned}
d^2 &= 1800^2 + 1300^2 - 2 \cdot 1800 \cdot 1300 \cdot \cos 60^\circ \\
&= 1800^2 + 1300^2 - 1800 \cdot 1300 \\
&= 1800^2 - 1800 \cdot 1300 + 1300^2 - 1300 \cdot 1800\\
&= 1800(1800 - 1300) + 1300(1300 - 1800) \\
&= 500(1800 - 1300) \\
&= 500 \cdot 500 = 250000.
\end{aligned} d 2 = 180 0 2 + 130 0 2 − 2 ⋅ 1800 ⋅ 1300 ⋅ cos 6 0 ∘ = 180 0 2 + 130 0 2 − 1800 ⋅ 1300 = 180 0 2 − 1800 ⋅ 1300 + 130 0 2 − 1300 ⋅ 1800 = 1800 ( 1800 − 1300 ) + 1300 ( 1300 − 1800 ) = 500 ( 1800 − 1300 ) = 500 ⋅ 500 = 250000. Do đó
d = 250000 ≈ 500 km . d = \sqrt{250000} \approx 500\,\text{km}. d = 250000 ≈ 500 km .
Kết quả: d ≈ 500 km . d \approx 500\,\text{km}. d ≈ 500 km .