Trang 71 — Định lý Sin

Bài tập

Giải

Giải sau 2 giờ, máy bay thứ nhất đến điểm BB, máy bay thứ hai đến điểm CC.

Ta có: AB=2⋅650=1300AB = 2 \cdot 650 = 1 300 (km), AC=2⋅900=1800AC = 2 \cdot 900 = 1 800 (km).

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABCABC, ta có:

BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos⁡BACBC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos BAC

=13002+18002−2⋅1300⋅1800⋅cos⁡60∘=2590000\quad = 1 300^2 + 1 800^2 - 2 \cdot 1 300 \cdot 1 800 \cdot \cos 60^\circ = 2 590 000

Do đó BC=2590000≈1609,35BC = \sqrt{2 590 000} \approx 1 609,35 (km).

Vậy sau 2 giờ máy bay cách nhau không quá 1609,351 609,35 km.

Kết quả: 1609,351 609,35 km.

Định lý Sin

Cho tam giác ABCABC nội tiếp trên tâm OO, bán kính RR và có BC=a,BAC=αBC = a, BAC = \alpha. Kẻ đường kính BCDBCD của đường tròn (O)(O). Thực hiện các hoạt động sau:

a) BDCBDC là góc nhọn. Chứng minh: asin⁡α=2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R

Xét tam giác BDCBDC nội tiếp đường tròn (O)(O). Ta có BCD=90∘BCD = 90^\circ.

Do đó sin⁡D=BCBD\sin D = \frac{BC}{BD}, tức là asin⁡D=BD\frac{a}{\sin D} = BD.

Mà sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha hay asin⁡α=2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

b) Cho α\alpha là góc tù. Chứng minh:

b.1) BDC=180∘−αBDC = 180^\circ - \alpha

Xét tam giác BDCBDC nội tiếp đường tròn (O)(O). Ta có BCD=90∘BCD = 90^\circ.

Do đó sin⁡D=BCBD\sin D = \frac{BC}{BD}, tức là asin⁡D=BD\frac{a}{\sin D} = BD.

Mà sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha hay asin⁡α=2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

b.2) asin⁡α=2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R

Xét tam giác BDCBDC nội tiếp đường tròn (O)(O). Ta có BCD=90∘BCD = 90^\circ.

Do đó sin⁡D=BCBD\sin D = \frac{BC}{BD}, tức là asin⁡D=BD\frac{a}{\sin D} = BD.

Mà sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha hay asin⁡α=2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

Kết quả: asin⁡α=2R\frac{a}{\sin \alpha} = 2R.

Trang 72 —

Trang này có các ví dụ và bài tập cần giải.

Ví dụ 6. Cho tam giác ABCABC có A^=120∘\widehat{A}=120^{\circ}, B^=45∘\widehat{B}=45^{\circ} và CA=20CA=20. Tính:

a) sin⁡A\sin A;

b) Độ dài cạnh BCBC và bán kính RR của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC.

Lời giải:

a) Ta có: sin⁡A=sin⁡120∘=sin⁡60∘=32\sin A = \sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABCABC, ta có: $$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} = 2R. $$

Do đó $$ \begin{aligned} &BC = \frac{CA \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 120^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{6}, \ &R = \frac{CA}{2 \cdot \sin B} = \frac{20}{2 \cdot \sin 45^{\circ}} = \frac{20}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}. \end{aligned} $$

Kết quả: sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}, BC=106BC = 10\sqrt{6}, R=102R = 10\sqrt{2}.

Ví dụ 7. Các nhà khoa học tìm được một mảnh của một chiếc đĩa hình tròn vỡ vào và ⊙(O)\odot (O). Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khoa học đã bố trí một điểm trên vành đĩa và một điểm trên vành đĩa, và một điểm trên vành đĩa sao cho BAC^=120∘; BC=28.5\widehat{BAC}=120^{\circ}; \, BC = 28.5 cm (Hình 15). Tính bán kính của chiếc đĩa đó (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABCABC, ta có: $$ \frac{BC}{\sin A} = 2R \implies R = \frac{BC}{2 \cdot \sin A} = \frac{28.5}{2 \cdot \sin 120^{\circ}} \approx 16.5 , \text{cm}. $$

Kết quả: ≈16.5\approx 16.5 cm.

Trang 73 — Bài tập

Bài 1. Cho tam giác ABCABC có AB=3,5;AC=7,5;A^=135∘.AB = 3,5; AC = 7,5; \widehat A = 135^\circ. Tính độ dài cạnh BCBC và bán kính RR của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Ta có A^=135∘.\widehat A = 135^\circ.

Áp dụng định luật cosin trong tam giác ABCABC, ta có $$ \begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat A \ &= 3,5^2 + 7,5^2 - 2 \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \cos 135^\circ \ &= 12,25 + 56,25 + 2 \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} \ &= 68,5 + 26,25\sqrt 2 \end{aligned} $$

Do đó BC≈68,5+26,252≈9,7.BC \approx \sqrt{68,5 + 26,25\sqrt 2} \approx 9,7.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác $$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}ab\sin C \ &= \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \sin 135^\circ \ &= \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} \ &= \frac{26,25\sqrt 2}{4}. \end{aligned} $$

Mặt khác, S=abc4R⇒R=abc4S=3,5⋅7,5⋅9,726,252≈5,2.S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow R = \frac{abc}{4S} = \frac{3,5 \cdot 7,5 \cdot 9,7}{26,25\sqrt 2} \approx 5,2.

Kết quả: BC≈9,7;R≈5,2.BC \approx 9,7; R \approx 5,2.

Bài 2. Cho tam giác ABCABC có B^=75∘,C^=45∘,BC=50.\widehat B = 75^\circ, \widehat C = 45^\circ, BC = 50. Tính độ dài cạnh ABAB và bán kính RR của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC.

Lời giải:

Ta có $$ \begin{aligned} \widehat A &= 180^\circ - \widehat B - \widehat C \ &= 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ \ &= 60^\circ. \end{aligned} $$

Áp dụng định luật sin trong tam giác ABCABC, ta có $$ \begin{aligned} \frac{AB}{\sin C} &= \frac{BC}{\sin A} \ \Rightarrow AB &= \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} \ &= \frac{50 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \ &= \frac{50 \cdot \frac{\sqrt 2}{2}}{\frac{\sqrt 3}{2}} \ &= \frac{25\sqrt 6}{3} \ &\approx 20,4. \end{aligned} $$

Lại có $$ \begin{aligned} R &= \frac{BC}{2\sin A} \ &= \frac{50}{2\sin 60^\circ} \ &= \frac{50}{\sqrt 3} \ &\approx 28,9. \end{aligned} $$

Kết quả: AB≈20,4;R≈28,9.AB \approx 20,4; R \approx 28,9.

Bài 3. Cho tam giác ABCABC có AB=6,AC=7,BC=8.AB = 6, AC = 7, BC = 8. Tính cos⁡A,sin⁡A\cos A, \sin A và bán kính RR của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC.

Lời giải:

Áp dụng định luật cosin trong tam giác ABCABC, ta có $$ \begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A \ \Rightarrow \cos A &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} \ &= \frac{6^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} \ &= \frac{36 + 49 - 64}{84} \ &= \frac{21}{84} \ &= \frac{1}{4}. \end{aligned} $$

Do cos⁡A=14⇒sin⁡A=1−cos⁡2A=1−116=154.\cos A = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}.

Lại có $$ \begin{aligned} R &= \frac{BC}{2\sin A} \ &= \frac{8}{\sqrt{15}} \ &\approx 2,1. \end{aligned} $$

Kết quả: cos⁡A=14;sin⁡A=154;R≈2,1.\cos A = \frac{1}{4}; \sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}; R \approx 2,1.

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

  • A=cos⁡0∘+cos⁡40∘+cos⁡120∘+cos⁡140∘;A = \cos 0^\circ + \cos 40^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ;
  • B=sin⁡15∘+sin⁡150∘−sin⁡75∘+sin⁡180∘;B = \sin 15^\circ + \sin 150^\circ - \sin 75^\circ + \sin 180^\circ;
  • C=tan⁡25∘⋅tan⁡45∘⋅tan⁡115∘;C = \tan 25^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 115^\circ;
  • D=cot⁡10∘⋅cot⁡30∘⋅cot⁡100∘.D = \cot 10^\circ \cdot \cot 30^\circ \cdot \cot 100^\circ.

Lời giải:

  • Ta có

    A=cos⁡0∘+cos⁡40∘+cos⁡120∘+cos⁡140∘=1+cos⁡40∘−12−cos⁡40∘=12.\begin{aligned} A &= \cos 0^\circ + \cos 40^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ \\ &= 1 + \cos 40^\circ - \frac{1}{2} - \cos 40^\circ \\ &= \frac{1}{2}. \end{aligned}

  • Ta có

    B=sin⁡15∘+sin⁡150∘−sin⁡75∘+sin⁡180∘=sin⁡15∘+12−sin⁡75∘=sin⁡15∘−sin⁡75∘+12=2cos⁡45∘sin⁡(−30∘)+12=−22.\begin{aligned} B &= \sin 15^\circ + \sin 150^\circ - \sin 75^\circ + \sin 180^\circ \\ &= \sin 15^\circ + \frac{1}{2} - \sin 75^\circ \\ &= \sin 15^\circ - \sin 75^\circ + \frac{1}{2} \\ &= 2 \cos 45^\circ \sin(-30^\circ) + \frac{1}{2} \\ &= -\frac{\sqrt 2}{2}. \end{aligned}

  • Ta có

    C=tan⁡25∘⋅tan⁡45∘⋅tan⁡115∘=tan⁡25∘⋅1⋅tan⁡(90∘+25∘)=−tan⁡25∘⋅cot⁡25∘=−1.\begin{aligned} C &= \tan 25^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 115^\circ \\ &= \tan 25^\circ \cdot 1 \cdot \tan (90^\circ + 25^\circ) \\ &= -\tan 25^\circ \cdot \cot 25^\circ \\ &= -1. \end{aligned}

  • Ta có

    D=cot⁡10∘⋅cot⁡30∘⋅cot⁡100∘=cot⁡10∘⋅33⋅cot⁡(90∘+10∘)=−33cot⁡210∘.\begin{aligned} D &= \cot 10^\circ \cdot \cot 30^\circ \cdot \cot 100^\circ \\ &= \cot 10^\circ \cdot \frac{\sqrt 3}{3} \cdot \cot (90^\circ + 10^\circ) \\ &= -\frac{\sqrt 3}{3} \cot^2 10^\circ. \end{aligned}

Kết quả: A=12;B=−22;C=−1;D=−33cot⁡210∘.A = \frac{1}{2}; B = -\frac{\sqrt 2}{2}; C = -1; D = -\frac{\sqrt 3}{3} \cot^2 10^\circ.

Bài 5. Cho tam giác ABC.ABC. Chứng minh:

  • sin⁡B+C2=cos⁡A2;\sin \frac{B + C}{2} = \cos \frac A2;
  • tan⁡B+C2=cot⁡A2.\tan \frac{B + C}{2} = \cot \frac A2.

Lời giải:

  • Ta có

    sin⁡B+C2=sin⁡(90∘−A2)=cos⁡A2.\begin{aligned} \sin \frac{B + C}{2} &= \sin \left( 90^\circ - \frac A2 \right) \\ &= \cos \frac A2. \end{aligned}

  • Ta có

    tan⁡B+C2=tan⁡(90∘−A2)=cot⁡(90∘−A2)=cot⁡A2.\begin{aligned} \tan \frac{B + C}{2} &= \tan \left( 90^\circ - \frac A2 \right) \\ &= \cot \left( 90^\circ - \frac A2 \right) \\ &= \cot \frac A2. \end{aligned}

Kết quả: (đpcm)

Bài 6. Để đo khoảng cách từ vị trí AA đến vị trí BB ở hai bên bờ một hồ nước, anh An cho biết góc tạo bởi các đường thẳng BA,BCABA, BCA và 82∘.82^\circ. Biết khoảng cách từ AA đến CC là 25m,25 m, B^AC=59,95∘;B^CA=82,15∘\widehat BAC = 59,95^\circ; \widehat BCA = 82,15^\circ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí AA đến vị trí BB là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Ta có $$ \begin{aligned} \widehat ABC = 180^\circ - 59,95^\circ - 82,15^\circ = 37,9^\circ. \end{aligned} $$

Áp dụng định luật sin trong tam giác ABCABC, ta có $$ \begin{aligned} \frac{AB}{\sin C} &= \frac{AC}{\sin B} \ \Rightarrow AB &= \frac{25 \cdot \sin 82,15^\circ}{\sin 37,9^\circ} \ &\approx 40,0. \end{aligned} $$

Kết quả: AB≈40,0 m.AB \approx 40,0 \text{ m}.

Bài 7. Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ vị trí AA và đi thẳng đều theo hai đường thẳng tạo với nhau một góc 75∘.75^\circ. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 88 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 1212 hải lí một giờ. Sau 2,52,5 giờ, khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 88 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 1212 hải lí một giờ. Sau 2,52,5 giờ, quãng đường mà hai tàu đi được lần lượt là 8⋅2,5=208 \cdot 2,5 = 20 và 12⋅2,5=3012 \cdot 2,5 = 30 hải lí.

Khoảng cách giữa hai tàu là $$ \begin{aligned} AB^2 &= 20^2 + 30^2 - 2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \cos 75^\circ \ &\approx 1000 - 1200 \cdot 0,2588 \ &\approx 689,5. \end{aligned} $$

Do đó AB≈26,3AB \approx 26,3 hải lí.

Kết quả: 26,326,3 hải lí.

Bài 8. Bạn A đứng ở đỉnh của chiếc tháp và quan sát chiếc cầu dây văng α=35∘,\alpha = 35^\circ, góc nghiêng của tháp so với mặt đất là β=75∘\beta = 75^\circ và khoảng cách từ tháp tới tháp tới chiếc cầu một đoạn là l=1,5ml = 1,5 m (Hình 17). Chiếc cầu dây văng dài bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Ta có $$ \begin{aligned} BD &= 1,5 \cdot \tan 75^\circ \ &\approx 5,8. \end{aligned} $$

Lại có $$ \begin{aligned} CD &= \frac{BD}{\tan \alpha} \ &= \frac{5,8}{\tan 35^\circ} \ &\approx 8,3. \end{aligned} $$

Chiều dài chiếc cầu dây văng là $$ \begin{aligned} BC &= h + CD \ &= 20 + 8,3 \ &= 28,3 \ &\approx 28. \end{aligned} $$

Kết quả: 28 m.28 \text{ m}.

Trang 74 — Giải Tam Giác

Ví dụ 1. Cho tam giác ABCABC có AB=15,AC=35,A^=60∘AB = 15, AC = 35, \widehat{A} = 60^\circ (Hình 19). Tính cạnh BCBC (làm tròn đến kết quả hàng phần mười) và các góc B,CB, C (làm kết quả đến số đo độ).

Lời giải:

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABCABC, ta có $$ \begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \ &= 15^2 + 35^2 - 2 \cdot 15 \cdot 35 \cdot \cos 60^\circ \ &= 225 + 1225 - 1050 \ &= 400. \end{aligned} $$

Do đó BC=400=20BC = \sqrt{400} = 20.

Ta có cos⁡B=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC=152+400−3522⋅15⋅20=−12.\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{15^2 + 400 - 35^2}{2 \cdot 15 \cdot 20} = -\frac{1}{2}.

Do đó B^≈120∘.\widehat{B} \approx 120^\circ.

Ta có C^=180∘−(60∘+120∘)=0∘.\widehat{C} = 180^\circ - \left( 60^\circ + 120^\circ \right) = 0^\circ.

Kết quả: BC≈20BC \approx 20, B^≈120∘\widehat{B} \approx 120^\circ, C^=0∘\widehat{C} = 0^\circ