Trang 71 — Định lý Sin
Bài tập
Giải
Giải sau 2 giờ, máy bay thứ nhất đến điểm B B B C C C
Ta có: A B = 2 ⋅ 650 = 1300 AB = 2 \cdot 650 = 1 300 A B = 2 ⋅ 650 = 1300 A C = 2 ⋅ 900 = 1800 AC = 2 \cdot 900 = 1 800 A C = 2 ⋅ 900 = 1800
Áp dụng định lý côsin trong tam giác A B C ABC A B C
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B ⋅ A C ⋅ cos B A C BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos BAC B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B ⋅ A C ⋅ cos B A C
= 1300 2 + 1800 2 − 2 ⋅ 1300 ⋅ 1800 ⋅ cos 60 ∘ = 2590000 \quad = 1 300^2 + 1 800^2 - 2 \cdot 1 300 \cdot 1 800 \cdot \cos 60^\circ = 2 590 000 = 130 0 2 + 180 0 2 − 2 ⋅ 1300 ⋅ 1800 ⋅ cos 6 0 ∘ = 2590000
Do đó B C = 2590000 ≈ 1609 , 35 BC = \sqrt{2 590 000} \approx 1 609,35 B C = 2590000 ≈ 1609 , 35
Vậy sau 2 giờ máy bay cách nhau không quá 1609 , 35 1 609,35 1609 , 35
Kết quả: 1609 , 35 1 609,35 1609 , 35
Định lý Sin
Cho tam giác A B C ABC A B C O O O R R R B C = a , B A C = α BC = a, BAC = \alpha B C = a , B A C = α B C D BCD B C D ( O ) (O) ( O )
a) B D C BDC B D C a sin α = 2 R \frac{a}{\sin \alpha} = 2R s i n α a = 2 R
Xét tam giác B D C BDC B D C ( O ) (O) ( O ) B C D = 90 ∘ BCD = 90^\circ B C D = 9 0 ∘
Do đó sin D = B C B D \sin D = \frac{BC}{BD} sin D = B D B C a sin D = B D \frac{a}{\sin D} = BD s i n D a = B D
Mà sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α a sin α = 2 R \frac{a}{\sin \alpha} = 2R s i n α a = 2 R
b) Cho α \alpha α
b.1) B D C = 180 ∘ − α BDC = 180^\circ - \alpha B D C = 18 0 ∘ − α
Xét tam giác B D C BDC B D C ( O ) (O) ( O ) B C D = 90 ∘ BCD = 90^\circ B C D = 9 0 ∘
Do đó sin D = B C B D \sin D = \frac{BC}{BD} sin D = B D B C a sin D = B D \frac{a}{\sin D} = BD s i n D a = B D
Mà sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α a sin α = 2 R \frac{a}{\sin \alpha} = 2R s i n α a = 2 R
b.2) a sin α = 2 R \frac{a}{\sin \alpha} = 2R s i n α a = 2 R
Xét tam giác B D C BDC B D C ( O ) (O) ( O ) B C D = 90 ∘ BCD = 90^\circ B C D = 9 0 ∘
Do đó sin D = B C B D \sin D = \frac{BC}{BD} sin D = B D B C a sin D = B D \frac{a}{\sin D} = BD s i n D a = B D
Mà sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α a sin α = 2 R \frac{a}{\sin \alpha} = 2R s i n α a = 2 R
Kết quả: a sin α = 2 R \frac{a}{\sin \alpha} = 2R s i n α a = 2 R
Trang 72 —
Trang này có các ví dụ và bài tập cần giải.
Ví dụ 6. Cho tam giác A B C ABC A B C A ^ = 120 ∘ \widehat{A}=120^{\circ} A = 12 0 ∘ B ^ = 45 ∘ \widehat{B}=45^{\circ} B = 4 5 ∘ C A = 20 CA=20 C A = 20
a) sin A \sin A sin A
b) Độ dài cạnh B C BC B C R R R A B C ABC A B C
Lời giải:
a) Ta có: sin A = sin 120 ∘ = sin 60 ∘ = 3 2 \sin A = \sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} sin A = sin 12 0 ∘ = sin 6 0 ∘ = 2 3
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác A B C ABC A B C
B C sin A = C A sin B = 2 R . \frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} = 2R. sin A B C = sin B C A = 2 R . Do đó
B C = C A ⋅ sin A sin B = 20 ⋅ sin 120 ∘ sin 45 ∘ = 20 ⋅ 3 2 2 2 = 10 6 , R = C A 2 ⋅ sin B = 20 2 ⋅ sin 45 ∘ = 20 2 ⋅ 2 2 = 10 2 . \begin{aligned}
&BC = \frac{CA \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 120^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{6}, \\
&R = \frac{CA}{2 \cdot \sin B} = \frac{20}{2 \cdot \sin 45^{\circ}} = \frac{20}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}.
\end{aligned} B C = sin B C A ⋅ sin A = sin 4 5 ∘ 20 ⋅ sin 12 0 ∘ = 2 2 20 ⋅ 2 3 = 10 6 , R = 2 ⋅ sin B C A = 2 ⋅ sin 4 5 ∘ 20 = 2 ⋅ 2 2 20 = 10 2 .
Kết quả: sin A = 3 2 \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} sin A = 2 3 B C = 10 6 BC = 10\sqrt{6} B C = 10 6 R = 10 2 R = 10\sqrt{2} R = 10 2
Ví dụ 7. Các nhà khoa học tìm được một mảnh của một chiếc đĩa hình tròn vỡ vào và ⊙ ( O ) \odot (O) ⊙ ( O ) B A C ^ = 120 ∘ ; B C = 28.5 \widehat{BAC}=120^{\circ}; \, BC = 28.5 B A C = 12 0 ∘ ; B C = 28.5
Lời giải:
Áp dụng định lí sin trong tam giác A B C ABC A B C
B C sin A = 2 R ⟹ R = B C 2 ⋅ sin A = 28.5 2 ⋅ sin 120 ∘ ≈ 16.5 cm . \frac{BC}{\sin A} = 2R \implies R = \frac{BC}{2 \cdot \sin A} = \frac{28.5}{2 \cdot \sin 120^{\circ}} \approx 16.5 \, \text{cm}. sin A B C = 2 R ⟹ R = 2 ⋅ sin A B C = 2 ⋅ sin 12 0 ∘ 28.5 ≈ 16.5 cm .
Kết quả: ≈ 16.5 \approx 16.5 ≈ 16.5
Trang 73 — Bài tập
Bài 1. Cho tam giác A B C ABC A B C A B = 3 , 5 ; A C = 7 , 5 ; A ^ = 135 ∘ . AB = 3,5; AC = 7,5; \widehat A = 135^\circ. A B = 3 , 5 ; A C = 7 , 5 ; A = 13 5 ∘ . B C BC B C R R R A B C ABC A B C
Lời giải:
Ta có A ^ = 135 ∘ . \widehat A = 135^\circ. A = 13 5 ∘ .
Áp dụng định luật cosin trong tam giác A B C ABC A B C
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B ⋅ A C ⋅ cos A ^ = 3 , 5 2 + 7 , 5 2 − 2 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ cos 135 ∘ = 12 , 25 + 56 , 25 + 2 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ 2 2 = 68 , 5 + 26 , 25 2 \begin{aligned}
BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat A \\
&= 3,5^2 + 7,5^2 - 2 \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \cos 135^\circ \\
&= 12,25 + 56,25 + 2 \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} \\
&= 68,5 + 26,25\sqrt 2
\end{aligned} B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B ⋅ A C ⋅ cos A = 3 , 5 2 + 7 , 5 2 − 2 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ cos 13 5 ∘ = 12 , 25 + 56 , 25 + 2 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ 2 2 = 68 , 5 + 26 , 25 2 Do đó B C ≈ 68 , 5 + 26 , 25 2 ≈ 9 , 7. BC \approx \sqrt{68,5 + 26,25\sqrt 2} \approx 9,7. B C ≈ 68 , 5 + 26 , 25 2 ≈ 9 , 7.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác
S = 1 2 a b sin C = 1 2 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ sin 135 ∘ = 1 2 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ 2 2 = 26 , 25 2 4 . \begin{aligned}
S &= \frac{1}{2}ab\sin C \\
&= \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \sin 135^\circ \\
&= \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot 7,5 \cdot \frac{\sqrt 2}{2} \\
&= \frac{26,25\sqrt 2}{4}.
\end{aligned} S = 2 1 ab sin C = 2 1 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ sin 13 5 ∘ = 2 1 ⋅ 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ 2 2 = 4 26 , 25 2 . Mặt khác, S = a b c 4 R ⇒ R = a b c 4 S = 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ 9 , 7 26 , 25 2 ≈ 5 , 2. S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow R = \frac{abc}{4S} = \frac{3,5 \cdot 7,5 \cdot 9,7}{26,25\sqrt 2} \approx 5,2. S = 4 R ab c ⇒ R = 4 S ab c = 26 , 25 2 3 , 5 ⋅ 7 , 5 ⋅ 9 , 7 ≈ 5 , 2.
Kết quả: B C ≈ 9 , 7 ; R ≈ 5 , 2. BC \approx 9,7; R \approx 5,2. B C ≈ 9 , 7 ; R ≈ 5 , 2.
Bài 2. Cho tam giác A B C ABC A B C B ^ = 75 ∘ , C ^ = 45 ∘ , B C = 50. \widehat B = 75^\circ, \widehat C = 45^\circ, BC = 50. B = 7 5 ∘ , C = 4 5 ∘ , B C = 50. A B AB A B R R R A B C ABC A B C
Lời giải:
Ta có
A ^ = 180 ∘ − B ^ − C ^ = 180 ∘ − 75 ∘ − 45 ∘ = 60 ∘ . \begin{aligned}
\widehat A &= 180^\circ - \widehat B - \widehat C \\
&= 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ \\
&= 60^\circ.
\end{aligned} A = 18 0 ∘ − B − C = 18 0 ∘ − 7 5 ∘ − 4 5 ∘ = 6 0 ∘ . Áp dụng định luật sin trong tam giác A B C ABC A B C
A B sin C = B C sin A ⇒ A B = B C ⋅ sin C sin A = 50 ⋅ sin 45 ∘ sin 60 ∘ = 50 ⋅ 2 2 3 2 = 25 6 3 ≈ 20 , 4. \begin{aligned}
\frac{AB}{\sin C} &= \frac{BC}{\sin A} \\
\Rightarrow AB &= \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} \\
&= \frac{50 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \\
&= \frac{50 \cdot \frac{\sqrt 2}{2}}{\frac{\sqrt 3}{2}} \\
&= \frac{25\sqrt 6}{3} \\
&\approx 20,4.
\end{aligned} sin C A B ⇒ A B = sin A B C = sin A B C ⋅ sin C = sin 6 0 ∘ 50 ⋅ sin 4 5 ∘ = 2 3 50 ⋅ 2 2 = 3 25 6 ≈ 20 , 4. Lại có
R = B C 2 sin A = 50 2 sin 60 ∘ = 50 3 ≈ 28 , 9. \begin{aligned}
R &= \frac{BC}{2\sin A} \\
&= \frac{50}{2\sin 60^\circ} \\
&= \frac{50}{\sqrt 3} \\
&\approx 28,9.
\end{aligned} R = 2 sin A B C = 2 sin 6 0 ∘ 50 = 3 50 ≈ 28 , 9.
Kết quả: A B ≈ 20 , 4 ; R ≈ 28 , 9. AB \approx 20,4; R \approx 28,9. A B ≈ 20 , 4 ; R ≈ 28 , 9.
Bài 3. Cho tam giác A B C ABC A B C A B = 6 , A C = 7 , B C = 8. AB = 6, AC = 7, BC = 8. A B = 6 , A C = 7 , B C = 8. cos A , sin A \cos A, \sin A cos A , sin A R R R A B C ABC A B C
Lời giải:
Áp dụng định luật cosin trong tam giác A B C ABC A B C
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B ⋅ A C ⋅ cos A ⇒ cos A = A B 2 + A C 2 − B C 2 2 A B ⋅ A C = 6 2 + 7 2 − 8 2 2 ⋅ 6 ⋅ 7 = 36 + 49 − 64 84 = 21 84 = 1 4 . \begin{aligned}
BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A \\
\Rightarrow \cos A &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} \\
&= \frac{6^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} \\
&= \frac{36 + 49 - 64}{84} \\
&= \frac{21}{84} \\
&= \frac{1}{4}.
\end{aligned} B C 2 ⇒ cos A = A B 2 + A C 2 − 2 A B ⋅ A C ⋅ cos A = 2 A B ⋅ A C A B 2 + A C 2 − B C 2 = 2 ⋅ 6 ⋅ 7 6 2 + 7 2 − 8 2 = 84 36 + 49 − 64 = 84 21 = 4 1 . Do cos A = 1 4 ⇒ sin A = 1 − cos 2 A = 1 − 1 16 = 15 4 . \cos A = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}. cos A = 4 1 ⇒ sin A = 1 − cos 2 A = 1 − 16 1 = 4 15 .
Lại có
R = B C 2 sin A = 8 15 ≈ 2 , 1. \begin{aligned}
R &= \frac{BC}{2\sin A} \\
&= \frac{8}{\sqrt{15}} \\
&\approx 2,1.
\end{aligned} R = 2 sin A B C = 15 8 ≈ 2 , 1.
Kết quả: cos A = 1 4 ; sin A = 15 4 ; R ≈ 2 , 1. \cos A = \frac{1}{4}; \sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}; R \approx 2,1. cos A = 4 1 ; sin A = 4 15 ; R ≈ 2 , 1.
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):
A = cos 0 ∘ + cos 40 ∘ + cos 120 ∘ + cos 140 ∘ ; A = \cos 0^\circ + \cos 40^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ; A = cos 0 ∘ + cos 4 0 ∘ + cos 12 0 ∘ + cos 14 0 ∘ ; B = sin 15 ∘ + sin 150 ∘ − sin 75 ∘ + sin 180 ∘ ; B = \sin 15^\circ + \sin 150^\circ - \sin 75^\circ + \sin 180^\circ; B = sin 1 5 ∘ + sin 15 0 ∘ − sin 7 5 ∘ + sin 18 0 ∘ ; C = tan 25 ∘ ⋅ tan 45 ∘ ⋅ tan 115 ∘ ; C = \tan 25^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 115^\circ; C = tan 2 5 ∘ ⋅ tan 4 5 ∘ ⋅ tan 11 5 ∘ ; D = cot 10 ∘ ⋅ cot 30 ∘ ⋅ cot 100 ∘ . D = \cot 10^\circ \cdot \cot 30^\circ \cdot \cot 100^\circ. D = cot 1 0 ∘ ⋅ cot 3 0 ∘ ⋅ cot 10 0 ∘ .
Lời giải:
A = cos 0 ∘ + cos 40 ∘ + cos 120 ∘ + cos 140 ∘ = 1 + cos 40 ∘ − 1 2 − cos 40 ∘ = 1 2 . \begin{aligned}
A &= \cos 0^\circ + \cos 40^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ \\
&= 1 + \cos 40^\circ - \frac{1}{2} - \cos 40^\circ \\
&= \frac{1}{2}.
\end{aligned} A = cos 0 ∘ + cos 4 0 ∘ + cos 12 0 ∘ + cos 14 0 ∘ = 1 + cos 4 0 ∘ − 2 1 − cos 4 0 ∘ = 2 1 . B = sin 15 ∘ + sin 150 ∘ − sin 75 ∘ + sin 180 ∘ = sin 15 ∘ + 1 2 − sin 75 ∘ = sin 15 ∘ − sin 75 ∘ + 1 2 = 2 cos 45 ∘ sin ( − 30 ∘ ) + 1 2 = − 2 2 . \begin{aligned}
B &= \sin 15^\circ + \sin 150^\circ - \sin 75^\circ + \sin 180^\circ \\
&= \sin 15^\circ + \frac{1}{2} - \sin 75^\circ \\
&= \sin 15^\circ - \sin 75^\circ + \frac{1}{2} \\
&= 2 \cos 45^\circ \sin(-30^\circ) + \frac{1}{2} \\
&= -\frac{\sqrt 2}{2}.
\end{aligned} B = sin 1 5 ∘ + sin 15 0 ∘ − sin 7 5 ∘ + sin 18 0 ∘ = sin 1 5 ∘ + 2 1 − sin 7 5 ∘ = sin 1 5 ∘ − sin 7 5 ∘ + 2 1 = 2 cos 4 5 ∘ sin ( − 3 0 ∘ ) + 2 1 = − 2 2 . C = tan 25 ∘ ⋅ tan 45 ∘ ⋅ tan 115 ∘ = tan 25 ∘ ⋅ 1 ⋅ tan ( 90 ∘ + 25 ∘ ) = − tan 25 ∘ ⋅ cot 25 ∘ = − 1. \begin{aligned}
C &= \tan 25^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 115^\circ \\
&= \tan 25^\circ \cdot 1 \cdot \tan (90^\circ + 25^\circ) \\
&= -\tan 25^\circ \cdot \cot 25^\circ \\
&= -1.
\end{aligned} C = tan 2 5 ∘ ⋅ tan 4 5 ∘ ⋅ tan 11 5 ∘ = tan 2 5 ∘ ⋅ 1 ⋅ tan ( 9 0 ∘ + 2 5 ∘ ) = − tan 2 5 ∘ ⋅ cot 2 5 ∘ = − 1. D = cot 10 ∘ ⋅ cot 30 ∘ ⋅ cot 100 ∘ = cot 10 ∘ ⋅ 3 3 ⋅ cot ( 90 ∘ + 10 ∘ ) = − 3 3 cot 2 10 ∘ . \begin{aligned}
D &= \cot 10^\circ \cdot \cot 30^\circ \cdot \cot 100^\circ \\
&= \cot 10^\circ \cdot \frac{\sqrt 3}{3} \cdot \cot (90^\circ + 10^\circ) \\
&= -\frac{\sqrt 3}{3} \cot^2 10^\circ.
\end{aligned} D = cot 1 0 ∘ ⋅ cot 3 0 ∘ ⋅ cot 10 0 ∘ = cot 1 0 ∘ ⋅ 3 3 ⋅ cot ( 9 0 ∘ + 1 0 ∘ ) = − 3 3 cot 2 1 0 ∘ .
Kết quả: A = 1 2 ; B = − 2 2 ; C = − 1 ; D = − 3 3 cot 2 10 ∘ . A = \frac{1}{2}; B = -\frac{\sqrt 2}{2}; C = -1; D = -\frac{\sqrt 3}{3} \cot^2 10^\circ. A = 2 1 ; B = − 2 2 ; C = − 1 ; D = − 3 3 cot 2 1 0 ∘ .
Bài 5. Cho tam giác A B C . ABC. A B C .
sin B + C 2 = cos A 2 ; \sin \frac{B + C}{2} = \cos \frac A2; sin 2 B + C = cos 2 A ; tan B + C 2 = cot A 2 . \tan \frac{B + C}{2} = \cot \frac A2. tan 2 B + C = cot 2 A .
Lời giải:
sin B + C 2 = sin ( 90 ∘ − A 2 ) = cos A 2 . \begin{aligned}
\sin \frac{B + C}{2} &= \sin \left( 90^\circ - \frac A2 \right) \\
&= \cos \frac A2.
\end{aligned} sin 2 B + C = sin ( 9 0 ∘ − 2 A ) = cos 2 A . tan B + C 2 = tan ( 90 ∘ − A 2 ) = cot ( 90 ∘ − A 2 ) = cot A 2 . \begin{aligned}
\tan \frac{B + C}{2} &= \tan \left( 90^\circ - \frac A2 \right) \\
&= \cot \left( 90^\circ - \frac A2 \right) \\
&= \cot \frac A2.
\end{aligned} tan 2 B + C = tan ( 9 0 ∘ − 2 A ) = cot ( 9 0 ∘ − 2 A ) = cot 2 A .
Kết quả: (đpcm)
Bài 6. Để đo khoảng cách từ vị trí A A A B B B B A , B C A BA, BCA B A , B C A 82 ∘ . 82^\circ. 8 2 ∘ . A A A C C C 25 m , 25 m, 25 m , B ^ A C = 59 , 95 ∘ ; B ^ C A = 82 , 15 ∘ \widehat BAC = 59,95^\circ; \widehat BCA = 82,15^\circ B A C = 59 , 9 5 ∘ ; B C A = 82 , 1 5 ∘ A A A B B B
Lời giải:
Ta có
A ^ B C = 180 ∘ − 59 , 95 ∘ − 82 , 15 ∘ = 37 , 9 ∘ . \begin{aligned}
\widehat ABC = 180^\circ - 59,95^\circ - 82,15^\circ = 37,9^\circ.
\end{aligned} A B C = 18 0 ∘ − 59 , 9 5 ∘ − 82 , 1 5 ∘ = 37 , 9 ∘ . Áp dụng định luật sin trong tam giác A B C ABC A B C
A B sin C = A C sin B ⇒ A B = 25 ⋅ sin 82 , 15 ∘ sin 37 , 9 ∘ ≈ 40 , 0. \begin{aligned}
\frac{AB}{\sin C} &= \frac{AC}{\sin B} \\
\Rightarrow AB &= \frac{25 \cdot \sin 82,15^\circ}{\sin 37,9^\circ} \\
&\approx 40,0.
\end{aligned} sin C A B ⇒ A B = sin B A C = sin 37 , 9 ∘ 25 ⋅ sin 82 , 1 5 ∘ ≈ 40 , 0.
Kết quả: A B ≈ 40 , 0 m . AB \approx 40,0 \text{ m}. A B ≈ 40 , 0 m .
Bài 7. Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ vị trí A A A 75 ∘ . 75^\circ. 7 5 ∘ . 8 8 8 12 12 12 2 , 5 2,5 2 , 5
Lời giải:
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 8 8 12 12 12 2 , 5 2,5 2 , 5 8 ⋅ 2 , 5 = 20 8 \cdot 2,5 = 20 8 ⋅ 2 , 5 = 20 12 ⋅ 2 , 5 = 30 12 \cdot 2,5 = 30 12 ⋅ 2 , 5 = 30
Khoảng cách giữa hai tàu là
A B 2 = 20 2 + 30 2 − 2 ⋅ 20 ⋅ 30 ⋅ cos 75 ∘ ≈ 1000 − 1200 ⋅ 0 , 2588 ≈ 689 , 5. \begin{aligned}
AB^2 &= 20^2 + 30^2 - 2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \cos 75^\circ \\
&\approx 1000 - 1200 \cdot 0,2588 \\
&\approx 689,5.
\end{aligned} A B 2 = 2 0 2 + 3 0 2 − 2 ⋅ 20 ⋅ 30 ⋅ cos 7 5 ∘ ≈ 1000 − 1200 ⋅ 0 , 2588 ≈ 689 , 5. Do đó A B ≈ 26 , 3 AB \approx 26,3 A B ≈ 26 , 3
Kết quả: 26 , 3 26,3 26 , 3
Bài 8. Bạn A đứng ở đỉnh của chiếc tháp và quan sát chiếc cầu dây văng α = 35 ∘ , \alpha = 35^\circ, α = 3 5 ∘ , β = 75 ∘ \beta = 75^\circ β = 7 5 ∘ l = 1 , 5 m l = 1,5 m l = 1 , 5 m
Lời giải:
Ta có
B D = 1 , 5 ⋅ tan 75 ∘ ≈ 5 , 8. \begin{aligned}
BD &= 1,5 \cdot \tan 75^\circ \\
&\approx 5,8.
\end{aligned} B D = 1 , 5 ⋅ tan 7 5 ∘ ≈ 5 , 8. Lại có
C D = B D tan α = 5 , 8 tan 35 ∘ ≈ 8 , 3. \begin{aligned}
CD &= \frac{BD}{\tan \alpha} \\
&= \frac{5,8}{\tan 35^\circ} \\
&\approx 8,3.
\end{aligned} C D = tan α B D = tan 3 5 ∘ 5 , 8 ≈ 8 , 3. Chiều dài chiếc cầu dây văng là
B C = h + C D = 20 + 8 , 3 = 28 , 3 ≈ 28. \begin{aligned}
BC &= h + CD \\
&= 20 + 8,3 \\
&= 28,3 \\
&\approx 28.
\end{aligned} B C = h + C D = 20 + 8 , 3 = 28 , 3 ≈ 28.
Kết quả: 28 m . 28 \text{ m}. 28 m .
Trang 74 — Giải Tam Giác
Ví dụ 1. Cho tam giác A B C ABC A B C A B = 15 , A C = 35 , A ^ = 60 ∘ AB = 15, AC = 35, \widehat{A} = 60^\circ A B = 15 , A C = 35 , A = 6 0 ∘ B C BC B C B , C B, C B , C
Lời giải:
Áp dụng định lý côsin trong tam giác A B C ABC A B C
B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 ⋅ A B ⋅ A C ⋅ cos A = 15 2 + 35 2 − 2 ⋅ 15 ⋅ 35 ⋅ cos 60 ∘ = 225 + 1225 − 1050 = 400. \begin{aligned}
BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \\
&= 15^2 + 35^2 - 2 \cdot 15 \cdot 35 \cdot \cos 60^\circ \\
&= 225 + 1225 - 1050 \\
&= 400.
\end{aligned} B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 ⋅ A B ⋅ A C ⋅ cos A = 1 5 2 + 3 5 2 − 2 ⋅ 15 ⋅ 35 ⋅ cos 6 0 ∘ = 225 + 1225 − 1050 = 400. Do đó B C = 400 = 20 BC = \sqrt{400} = 20 B C = 400 = 20
Ta có cos B = A B 2 + B C 2 − A C 2 2 ⋅ A B ⋅ B C = 15 2 + 400 − 35 2 2 ⋅ 15 ⋅ 20 = − 1 2 . \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{15^2 + 400 - 35^2}{2 \cdot 15 \cdot 20} = -\frac{1}{2}. cos B = 2 ⋅ A B ⋅ B C A B 2 + B C 2 − A C 2 = 2 ⋅ 15 ⋅ 20 1 5 2 + 400 − 3 5 2 = − 2 1 .
Do đó B ^ ≈ 120 ∘ . \widehat{B} \approx 120^\circ. B ≈ 12 0 ∘ .
Ta có C ^ = 180 ∘ − ( 60 ∘ + 120 ∘ ) = 0 ∘ . \widehat{C} = 180^\circ - \left( 60^\circ + 120^\circ \right) = 0^\circ. C = 18 0 ∘ − ( 6 0 ∘ + 12 0 ∘ ) = 0 ∘ .
Kết quả: B C ≈ 20 BC \approx 20 B C ≈ 20 B ^ ≈ 120 ∘ \widehat{B} \approx 120^\circ B ≈ 12 0 ∘ C ^ = 0 ∘ \widehat{C} = 0^\circ C = 0 ∘