Trang 75 — Giải tam giác

Ví dụ 2. Cho tam giác ABCABC có AB=6AB = 6, BC=10BC = 10, CA=14CA = 14 (Hình 20). Tính số đo góc BB.

Lời giải: Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABCABC, ta có: $$ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = -0.5. $$ Do đó B^=120∘\widehat{B} = 120^\circ.

Kết quả: B^=120∘\widehat{B} = 120^\circ

Ví dụ 3. Cho tam giác ABCABC có BC=100BC = 100, B^=60∘\widehat{B} = 60^\circ, C^=40∘\widehat{C} = 40^\circ (Hình 21). Tính góc AA và các cạnh ABAB, ACAC (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải: Ta có: $$ \widehat{A} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 80^\circ. $$

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABCABC, ta có: $$ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. $$

Do đó: $$ \begin{aligned} AB &= \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{100 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 65.3, \ AC &= \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{100 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 87.9. \end{aligned} $$

Kết quả: A^=80∘\widehat{A} = 80^\circ, AB≈65.3AB \approx 65.3, AC≈87.9AC \approx 87.9

Trang 76 —

Trang này có các ví dụ và bài tập cần giải.

Vídụ 4. Cho tam giác ABCABC có AB=7.5,AC=15.5,A^=75∘AB = 7.5, AC = 15.5, \widehat{A} = 75^\circ (Hình 23). Tính diện tích SS của tam giác ABCABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải: Ta có: S=12AB⋅AC⋅sin⁡AS = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A =12⋅7.5⋅15.5⋅sin⁡75∘= \frac{1}{2} \cdot 7.5 \cdot 15.5 \cdot \sin 75^\circ Sử dụng máy tính, ta có: sin⁡75∘≈0.9659\sin 75^\circ \approx 0.9659 S≈12⋅7.5⋅15.5⋅0.9659≈56.1S \approx \frac{1}{2} \cdot 7.5 \cdot 15.5 \cdot 0.9659 \approx 56.1

Kết quả: 56.156.1

Vídụ 5. Cho tam giác ABCABC có AB=12,B^=60∘,C^=45∘AB = 12, \widehat{B} = 60^\circ, \widehat{C} = 45^\circ. Tính diện tích của tam giác ABCABC.

Lời giải: Ta có: A^=180∘−B^−C^=75∘\widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 75^\circ S=AB2sin⁡Bsin⁡C2sin⁡AS = \frac{AB^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} =122sin⁡60∘sin⁡45∘2sin⁡75∘= \frac{12^2 \sin 60^\circ \sin 45^\circ}{2 \sin 75^\circ} Sử dụng máy tính, ta có: sin⁡60∘≈0.8660\sin 60^\circ \approx 0.8660, sin⁡45∘≈0.7071\sin 45^\circ \approx 0.7071, sin⁡75∘≈0.9659\sin 75^\circ \approx 0.9659 S≈144⋅0.8660⋅0.70712⋅0.9659≈38.2S \approx \frac{144 \cdot 0.8660 \cdot 0.7071}{2 \cdot 0.9659} \approx 38.2

Kết quả: 38.238.2

Vídụ 6. Cho tam giác ABCABC có BC=a,CA=b,AB=cBC = a, CA = b, AB = c và diện tích SS (Hình 24). a) Từ định lí \cosin\cosin, chứng tỏ rằng: sin⁡A=2bp(p−a)(p−b)(p−c)\sin A = \frac{2}{b} \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, do p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}

b) Bằng cách sử dụng công thức S=12bcsin⁡AS = \frac{1}{2}bc \sin A, hãy chứng tỏ rằng: S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

Lời giải: a) Từ định lí \cosin\cosin, ta có: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} Ta có: sin⁡2A=1−cos⁡2A=1−(b2+c2−a22bc)2\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right)^2 =1−(b2+c2−a2)24b2c2=4b2c2−(b2+c2−a2)24b2c2= 1 - \frac{(b^2 + c^2 - a^2)^2}{4b^2c^2} = \frac{4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{4b^2c^2} =(2bc−b2−c2+a2)(2bc+b2+c2−a2)4b2c2= \frac{(2bc - b^2 - c^2 + a^2)(2bc + b^2 + c^2 - a^2)}{4b^2c^2} =−[(−b+c)2+a2][a2−(b−c)2]4b2c2= \frac{-[(-b + c)^2 + a^2][a^2 - (b - c)^2]}{4b^2c^2} =−[a2−(b−c)2][(b+c)2−a2]4b2c2= \frac{-[a^2 - (b - c)^2][(b + c)^2 - a^2]}{4b^2c^2} =(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)(b+c+a)4b2c2= \frac{(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}{4b^2c^2} sin⁡A=2bc(p−b)(p−c)p(p−a)\sin A = \frac{2}{bc} \sqrt{(p - b)(p - c)p(p - a)} sin⁡A=2b(p−b)(p−c)p(p−a)c2\sin A = \frac{2}{b} \sqrt{\frac{(p - b)(p - c)p(p - a)}{c^2}} sin⁡A=2bp(p−a)(p−b)(p−c)\sin A = \frac{2}{b} \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

b) Ta có: S=12bcsin⁡A=12bc⋅2bp(p−a)(p−b)(p−c)S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} bc \cdot \frac{2}{b} \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

Kết quả:

  • a) sin⁡A=2bp(p−a)(p−b)(p−c)\sin A = \frac{2}{b} \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}
  • b) S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

Trang 77 —

Trang này có các ví dụ và bài tập thực tiễn liên quan đến việc áp dụng công thức Heron và định lý sin trong tam giác. Chúng ta sẽ giải các ví dụ này.

Ví dụ 5

Ví dụ 5. Mảnh vườn hình tam giác của gia đình bạn Nam có chiều dài các cạnh là MN=20 mMN = 20\,\text{m}, NP=28 mNP = 28\,\text{m}, MP=32 mMP = 32\,\text{m}. Diện tích mảnh vườn của gia đình bạn Nam là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Ta có: p=20+28+322=40 m.p = \frac{20+28+32}{2} = 40\,\text{m}.

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích SS của mảnh vườn là $$ \begin{aligned} S &= \sqrt{40(40-20)(40-28)(40-32)} \ &= \sqrt{40 \cdot 20 \cdot 12 \cdot 8} \ &= \sqrt{76800} \ &\approx 277,1,\text{m}^2. \end{aligned} $$

Kết quả: 277,1 m2277,1\,\text{m}^2.

Ví dụ 6

Ví dụ 6. Đứng trên đỉnh BB của một ngọn hải đăng, bạn Minh đã đo được khoảng cách từ đỉnh BB đến một hòn đảo là 100 m100\,\text{m} với góc nghiêng 30∘30^\circ. Đặt biển báo an toàn CC trên bãi biển (CC là chân đường cao từ BB xuống AC‾\overline{AC}) cách hòn đảo AA một khoảng 32 m32\,\text{m}.

Tính khoảng cách từ vị trí CC trên đảo đến chân hải đăng BB (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải:

Xét tam giác ABCABC, ta có: B^=180∘−(30∘+40∘)=110∘\widehat{B} = 180^\circ - (30^\circ + 40^\circ) = 110^\circ.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABCABC, ta có $$ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \implies \frac{AC}{\sin 110^\circ} = \frac{100}{\sin 40^\circ} \implies AC = \frac{100 \cdot \sin 110^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 68,4,\text{m}. $$

Xét tam giác vuông AHCAHC, ta có: CH=AC⋅sin⁡30∘=68,4⋅0,5≈34,2 m.CH = AC \cdot \sin 30^\circ = 68,4 \cdot 0,5 \approx 34,2\,\text{m}.

Vậy khoảng cách từ vị trí CC trên đảo đến chân hải đăng BB khoảng 34,2 m.34,2\,\text{m}.

Kết quả: 34,2 m.34,2\,\text{m}.

Trang 78 — Bài tập

Bài 7. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ phát hiện một chiếc dĩa cổ có ghi số 0,1,2,3,…,90, 1, 2, 3, …, 9. Bạn Phương đã lấy đi một trong những chiếc dĩa này để tìm hiểu xem người cổ làm thế nào để ghi các số. Sau khi đem về em thử và phát hiện dĩa bị vỡ chỉ còn lại một vài mảnh. Em hãy giúp bạn Phương tính diện cao hh của tháp Eiffel (được vẽ trong Hình 2727). Biết rằng bạn Phương đã đo được góc CADCAD =50∘= 50^\circ, BD=54BD = 54 m và CD=20CD = 20 m.

Lời giải:

Xét tam giác ABDABD vuông tại DD, sử dụng tính chất tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có:

Áp dụng định lí sin⁡\sin cho tam giác ABDABD, ta có $$ \frac{BD}{\sin \widehat{BAD}} = \frac{AB}{\sin \widehat{ADB}} $$

Do đó $$ BD = \frac{AB \cdot \sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{ADB}} $$

Dựa vào dữ kiện trong đề bài, ta có BAD^=50∘\widehat{BAD} = 50^\circ và ADB^=90∘\widehat{ADB} = 90^\circ.

BD=154⋅sin⁡50∘sin⁡90∘≈118,03≈118(m).BD = \frac{154 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 90^\circ} \approx 118,03 \approx 118 (m).

Vậy chiều cao của ngọn tháp ≈118 m.\approx 118\ \text{m}.

Kết quả: h≈118h \approx 118 m

Bài 8. Để tính đường kính và diện tích của một giếng nước có dạng hình tròn, người ta đo được chiều dài đoạn BC=5BC = 5 m, góc BAC=145∘BAC = 145^\circ (Hình 2828). Tính đường kính và diện tích của giếng đó?

Lời giải:

Áp dụng định lí sin⁡\sin trong tam giác ABCABC có $$ \frac{BC}{\sin A} = 2R $$

Ta có $$ \begin{aligned} R &= \frac{BC}{2 \cdot \sin A}\ &= \frac{5}{2 \cdot \sin 145^\circ}\ &\approx \frac{5}{2 \cdot 0,5736}\ &\approx 4,3588. \end{aligned} $$

Đường kính của giếng nước là $$ \begin{aligned} d &= 2 \cdot R\ &\approx 2 \cdot 4,3588\ &\approx 8,7176\ \text{m}. \end{aligned} $$

Diện tích của giếng nước là $$ \begin{aligned} S &= \pi R^2\ &\approx 3,14 \cdot (4,3588)^2\ &\approx 59,65\ \text{m}^2. \end{aligned} $$

Vậy đường kính của giếng nước ≈8.7\approx 8.7 m, diện tích của giếng nước ≈59,65 m2\approx 59,65\ \text{m}^2.

Kết quả: ≈8,7\approx 8,7 m và diện tích ≈59,65 m2\approx 59,65\ \text{m}^2.