Trang 87 —

Vídụ 5

Bài: Cho bốn điểm A,B,C,D.A, B, C, D. Chứng minh AB→+CD→+BC→=AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.

Lời giải: Ta có: AB→+CD→+BC→=AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.

Kết quả: AB→+CD→+BC→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}

Ví dụ 6

Bài: Cho hình bình hành ABCDABCD và điểm EE tùy ý. Chứng minh AB→+CE→=AE→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}.

Lời giải: Ta có: AB→+CE→=DC→+CE→=DE→=AE→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}.

Kết quả: AB→+CE→=AE→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE}

Trang 88 — Vectơ

Bài tập

Bài 5

Cho tam giác ABCABC có trọng tâm GG. Gọi MM là trung điểm của BCBC và DD là điểm đối xứng với GG qua MM (Hình 55). Chứng minh:

a) GB→+GC→=GD→\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD};

Lời giải:

Ta có MM là trung điểm của BCBC nên GB→+GC→=2GM→\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}.

Vì DD là điểm đối xứng với GG qua MM nên GD→=−GM→⋅2=2MG→\overrightarrow{GD} = -\overrightarrow{GM} \cdot 2 = 2\overrightarrow{MG}.

Do đó, GB→+GC→=GD→\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}.

b) GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.

Lời giải:

Vì GG là trọng tâm tam giác ABCABC nên GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.

Kết quả: GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.

Bài 6

Cho ba vectơ a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b}, c→\overrightarrow{c} và một điểm MM tùy ý (Hình 56).

a) MA→=a→,MB→=b→,MC→=c→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{c};

b) Tổng của hai vectơ a→\overrightarrow{a} và (−b→)(-\overrightarrow{b}) bằng vectơ nào?

Lời giải:

Hiệu của hai vectơ a→\overrightarrow{a} và vectơ b→\overrightarrow{b}, kí hiệu là a→−b→\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}, là tổng của vectơ a→\overrightarrow{a} và vectơ (−b→)(-\overrightarrow{b}), kí hiệu là a→+(−b→)\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b}).

Ví dụ 6

Cho ba điểm AA, BB, OO (Hình 57). Vectơ OB→−OA→\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} là vectơ nào?

Lời giải:

Ta có OB→−OA→=OB→+(−OA→)=OB→+AO→=AO→+OB→=AB→\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + (-\overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}.

Kết quả: AB→\overrightarrow{AB}.

Ví dụ 7

Cho bốn điểm AA, BB, CC, DD. Chứng minh:

AB→−AD→+CD→−CB→=0→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}.

Lời giải:

Ta có AB→−AD→+CD→−CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}

=(AB→−AD→)+(CD→−CB→)= (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB})

=DB→+BD→=DD→=0→= \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{DD} = \overrightarrow{0}.

Kết quả: 0→\overrightarrow{0}.

Bài 7

Cho tam giác ABCABC. MM, NN là trung điểm của ACAC, BCBC. A=aA = a. Tính hiệu của hai vectơ CM→−NB→\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{NB}.

Lời giải:

Vì MM là trung điểm của ACAC nên CM→=12CA→\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}.

Vì NN là trung điểm của BCBC nên NB→=12CB→=−12BC→=−12CB→\overrightarrow{NB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.

Do đó CM→−NB→=12CA→+12BC→=12(CA→+BC→)=12(CA→+AD→)=12CD→=AN→\overrightarrow{CM} - \overrightarrow{NB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AN}.

Kết quả: AN→\overrightarrow{AN}.

Trang 89 — Vectơ

Bài 1. Cho ba điểm M,N,PM, N, P. Vectơ u→=NP→+MN→\overrightarrow{u} = \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN} bằng vectơ nào sau đây?

A. PN→\overrightarrow{PN}
B. PM→\overrightarrow{PM}
C. MP→\overrightarrow{MP}
D. NM→\overrightarrow{NM}

Lời giải:

u→=NP→+MN→=MN→+NP→=MP→.\overrightarrow{u} = \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}.

Kết quả: C

Bài 2. Cho ba điểm D,E,GD, E, G. Vectơ v→=DE→+(−DG→)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{DE} + (-\overrightarrow{DG}) bằng vectơ nào sau đây?

A. EG→\overrightarrow{EG}
B. GE→\overrightarrow{GE}
C. GD→\overrightarrow{GD}
D. ED→\overrightarrow{ED}

Lời giải:

v→=DE→+(−DG→)=DE→−DG→=GE→.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{DE} + (-\overrightarrow{DG}) = \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{GE}.

Kết quả: B

Bài 3. Cho bốn điểm A,B,C,DA, B, C, D. Chứng minh:

a) AB→+CD→=AD→+CB→;\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB};

b) AB→+CD→+BC→+DA→=0→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}.

Lời giải:

a) Ta có:
AB→+CD→=AD→+DB→+CD→=AD→+CB→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.

b) Ta có:
AB→+CD→+BC→+DA→=(AB→+BC→)+(CD→+DA→)=AC→+CA→=0→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.

Kết quả:

Bài 4. Cho hình bình hành ABCDABCD, gọi OO là giao điểm của ACAC và BDBD. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) ∣AB→+AD→∣=∣AC→∣;\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right| = \left| \overrightarrow{AC} \right|;

b) OA→+OB→=CB→;\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CB};

c) OA→+OB→=OC→+OD→.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}.

Lời giải:

a) Đúng.
∣AB→+AD→∣=∣AC→∣=AC.\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right| = \left| \overrightarrow{AC} \right| = AC.

b) Sai.
OA→+OB→=OB→+OA→=OC→≠CB→.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \ne \overrightarrow{CB}.

c) Đúng.
OA→+OB→=OC→+OD→  ⟺  OA→−OC→=OD→−OB→  ⟺  CA→=BD→.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \iff \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} \iff \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BD}.

Kết quả:

Bài 5. Cho đường tròn tâm OO. Giả sử A,BA, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện của hai vectơ OA→\overrightarrow{OA} và OB→\overrightarrow{OB} để ABAB là đường kính của đường tròn.

Lời giải:

Để ABAB là đường kính của đường tròn thì ∠AOB=180∘  ⟹  OA→=−OB→.\angle AOB = 180^\circ \implies \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB}.

Kết quả:

Bài 6. Cho △ABC\triangle ABC là hình bình hành. Chứng minh MB→−MC→=AM→−MD→\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MD} với mọi điểm MM trong mặt phẳng.

Lời giải:

MB→−MC→=CB→\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CB} và AM→−MD→=AD→=CB→.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}.

Kết quả:

Bài 7. Cho hình vuông ABCDABCD có độ dài cạnh bằng aa. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) DA→+DC→;\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC};

b) AB→−AD→;\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD};

c) OA→+OB→.\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.

Lời giải:

a) ∣DA→+DC→∣=∣DB→∣=a2.\left| \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} \right| = \left| \overrightarrow{DB} \right| = a\sqrt{2}.

b) ∣AB→−AD→∣=∣DB→∣=a2.\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} \right| = \left| \overrightarrow{DB} \right| = a\sqrt{2}.

c) ∣OA→+OB→∣=∣OC→+OD→∣=∣BD→∣=a2.\left| \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right| = \left| \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \right| = \left| \overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{2}.

Kết quả:

Bài 8. Cho ba lực F1→=OA→,F2→=OB→\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB} và F3→=OC→\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{OC} cùng tác động vào một vật tại điểm OO và vật đứng yên. Cho biết F1=120 N,AOB^=120∘F_1 = 120\,\mathrm{N}, \widehat{AOB} = 120^\circ. Tìm độ lớn của các lực F2→\overrightarrow{F_2} và F3→.\overrightarrow{F_3}.

Lời giải:

F1→+F2→+F3→=0→  ⟺  F2→+F3→=−F1→.\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = -\overrightarrow{F_1}.
∣F2→+F3→∣=∣F1→∣=120 N.\left| \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} \right| = \left| \overrightarrow{F_1} \right| = 120\,\mathrm{N}.
F2→+F3→=OD→.\overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{OD}.
△AOB\triangle AOB đều   ⟹  △BOD\implies \triangle BOD đều   ⟹  OD=OB=120 N.\implies OD = OB = 120\,\mathrm{N}.

Kết quả: 120 N120\,\mathrm{N}

Bài 9. Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h10\,\mathrm{km}/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h40\,\mathrm{km}/h. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Lời giải:

vca noˆ→\overrightarrow{v_{\text{ca nô}}} là vận tốc của ca nô so với dòng sông.
vdoˋng soˆng→\overrightarrow{v_{\text{dòng sông}}} là vận tốc của dòng sông so với bờ.
vca noˆ so với bờ→=vca noˆ→+vdoˋng soˆng→.\overrightarrow{v_{\text{ca nô so với bờ}}} = \overrightarrow{v_{\text{ca nô}}} + \overrightarrow{v_{\text{dòng sông}}}.
∣vca noˆ so với bờ→∣=102+402=1700≈41,23 km/h.\left| \overrightarrow{v_{\text{ca nô so với bờ}}} \right| = \sqrt{10^2 + 40^2} = \sqrt{1700} \approx 41,23\,\mathrm{km}/h.

Kết quả: 41,23\boxed{41,23}

Trang 90 — Tích của một số với một vectơ

Trang này chỉ chứa phần lý thuyết về tích của một số với một vectơ, không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cụ thể để giải.

SKIP