Trang 91 — Bài tập về vectơ

Bài 1. Cho BB là trung điểm của đoạn thẳng ACAC. Tìm trong hình các vectơ:

a) CA→\overrightarrow{CA} và CB→\overrightarrow{CB};

b) AC→\overrightarrow{AC} và AB→\overrightarrow{AB}.

Lời giải:

a) Ta có:

  • CA→\overrightarrow{CA} và CB→\overrightarrow{CB} là hai vectơ cùng hướng và ∣CA→∣=2∣CB→∣.|\overrightarrow{CA}| = 2|\overrightarrow{CB}|.

Suy ra CA→=2CB→.\overrightarrow{CA} = 2\overrightarrow{CB}. Vậy k=2.k = 2.

b) Ta có:

  • CA→\overrightarrow{CA} và AB→\overrightarrow{AB} là hai vectơ ngược hướng và ∣CA→∣=2∣AB→∣.|\overrightarrow{CA}| = 2|\overrightarrow{AB}|.

Suy ra CA→=−2AB→.\overrightarrow{CA} = -2\overrightarrow{AB}. Vậy k=−2.k = -2.

Kết quả:

  • k=2k = 2
  • k=−2k = -2

Bài 2. Vật thứ nhất chuyển động theo vectơ vị trí v1→=9m/s→\overrightarrow{v_1} = 9\overrightarrow{m/s} và vật thứ hai chuyển động theo vectơ vị trí v2→=6m/s→.\overrightarrow{v_2} = 6\overrightarrow{m/s}.

Gia tốc a→\overrightarrow{a} của hai vật lần lượt là a1→=m/s2→.\overrightarrow{a_1} = \overrightarrow{m/s^2}. Có hay không một vectơ v→=kv1→+lv2→\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{v_1} + l\overrightarrow{v_2} sao cho a→=ka1→+la2→.\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a_1} + l\overrightarrow{a_2}.

Lời giải:

Do tỉ lệ độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là 96=32.\frac{9}{6} = \frac{3}{2}. Suy ra tồn tại các số k,lk, l sao cho v→=kv1→+lv2→.\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{v_1} + l\overrightarrow{v_2}. Khi đó v→=3→.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{3}. Vậy k=32.k = \frac{3}{2}.

Kết quả: 32\frac{3}{2}

Bài 3. Cho ba điểm A,B,CA, B, C. Chứng minh:

a) 2AB→+BC→=2AC→;2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AC};

b) 3(5AC→)+CB→−14AC→=AB→.3(5\overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{CB} - 14\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.

Lời giải:

a) Ta có: 2AB→+BC→=2AB→+2BC→−BC→=2(AB→+BC→)−BC→=2AC→−BC→.2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BC} = 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) - \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}.

Mặt khác: AC→=AB→+BC→.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.

Suy ra: 2AB→+BC→=2(AC→−BC→)+BC→=2AC→.2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AC}.

b) Ta có: 3(5AC→)+CB→−14AC→=15AC→+CB→−14AC→.3(5\overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{CB} - 14\overrightarrow{AC} = 15\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} - 14\overrightarrow{AC}.

Suy ra: 3(5AC→)+CB→−14AC→=AC→+CB→=AB→.3(5\overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{CB} - 14\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}.

Kết quả:

  • đuˊng\text{đúng}
  • đuˊng\text{đúng}

Bài 4. Cho ba điểm A,B,CA, B, C. Chứng minh:

3(AB→+2BC→)−2(AB→+3BC→)=AB→.3(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}) - 2(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB}.

Lời giải:

Ta có: 3(AB→+2BC→)−2(AB→+3BC→)=3AB→+6BC→−2AB→−6BC→.3(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}) - 2(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}) = 3\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AB} - 6\overrightarrow{BC}.

Suy ra: 3(AB→+2BC→)−2(AB→+3BC→)=AB→.3(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}) - 2(\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB}.

Kết quả: đuˊng\text{đúng}

Trang 92 — Một số ứng dụng của vectơ

Bài 4. Cho tứ giác ABCDABCD có M,NM, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh ABAB và CDCD. Gọi GG là trung điểm của MNMN. Chứng minh GA→+GB→+GC→+GD→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}.

Lời giải: Vì MM là trung điểm của ABAB nên GA→+GB→=2GM→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}.

Vì NN là trung điểm của CDCD nên GC→+GD→=2GN→\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}.

Suy ra GA→+GB→+GC→+GD→=2GM→+2GN→=2(GM→+GN→)\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GM} + 2\overrightarrow{GN} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}).

Do GG là trung điểm của MNMN nên GM→+GN→=0→\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}.

Vậy GA→+GB→+GC→+GD→=2(GM→+GN→)=20→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}.

Kết quả: GA→+GB→+GC→+GD→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}.

Bài 5. Cho tam giác ABCABC có GG là trọng tâm. Chứng minh AB→+AC→=3AG→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}.

Lời giải: Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có AG→=13(AB→+AC→)\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).

Suy ra 3AG→=AB→+AC→3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

Vậy AB→+AC→=3AG→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}.

Kết quả: AB→+AC→=3AG→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}.

Trang 93 — Chương 4: Vectơ

Bài 3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

Câu hỏi:

  1. Cho hai vectơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} là hai vectơ khác 0→\overrightarrow{0}. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương là có một số thực kk để a→=kb→\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}.

  2. Cho ba điểm phân biệt A,B,CA, B, C.

a) Nếu ba điểm A,B,CA, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vectơ AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} cùng phương thì ba điểm A,B,CA, B, C có thẳng hàng không?

  1. Cho tam giác OABOAB. Điểm MM thuộc cạnh ABAB sao cho AM=23ABAM = \frac{2}{3}AB. Kẻ MH//OA,MK//OBMH // OA, MK // OB (HH và KK thuộc đường thẳng ABAB). Giả sử OA→=a→\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, OB→=b→\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}.

a) Biểu thị OH→\overrightarrow{OH} theo a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}

b) Biểu thị OM→\overrightarrow{OM} theo a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}

Lời giải:

Bài 1:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} (b→≠0→\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}) cùng phương là có một số thực kk để a→=kb→\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}.

Bài 2:

a) Nếu ba điểm A,B,CA, B, C thẳng hàng thì AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC} cùng phương.

b) Nếu AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC} cùng phương thì tồn tại một số thực kk sao cho AB→=kAC→\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}. Điều này có nghĩa là A,B,CA, B, C thẳng hàng.

Bài 3:

a) Biểu thị OH→\overrightarrow{OH} theo a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}:

MK→//OA→⇒MK→=13OA→=13a→\overrightarrow{MK} // \overrightarrow{OA} \Rightarrow \overrightarrow{MK} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a}

MH→//OB→⇒MH→=−23OB→=−23b→\overrightarrow{MH} // \overrightarrow{OB} \Rightarrow \overrightarrow{MH} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{OB} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{b}

OH→=OM→+MH→=23AB→−23b→\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MH} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{2}{3} \overrightarrow{b}

AB→=OB→−OA→=b→−a→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}

OH→=23(b→−a→)−23b→=−23a→\overrightarrow{OH} = \frac{2}{3} (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) - \frac{2}{3} \overrightarrow{b} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{a}

b) Biểu thị OM→\overrightarrow{OM} theo a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}:

OM→=OA→+AM→=a→+23AB→=a→+23(b→−a→)\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})

OM→=a→+23b→−23a→=13a→+23b→\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b} - \frac{2}{3} \overrightarrow{a} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}

Kết quả: OH→=−23a→\overrightarrow{OH} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{a}, OM→=13a→+23b→\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{b}

Bài Tập

1. Cho hình thang MNPQMNPQ, MN//PQMN // PQ, MN=2PQMN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A. MN→=2PQ→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{PQ};
  • B. MQ→=2NP→\overrightarrow{MQ} = 2\overrightarrow{NP};
  • C. MN→=−2PQ→\overrightarrow{MN} = -2\overrightarrow{PQ};
  • D. MQ→=−2NP→\overrightarrow{MQ} = -2\overrightarrow{NP}.

Lời giải: Vì MN//PQMN // PQ và MN=2PQMN = 2PQ nên MN→\overrightarrow{MN} và PQ→\overrightarrow{PQ} là hai vectơ cùng phương và MN→=−2PQ→\overrightarrow{MN} = -2\overrightarrow{PQ}.

Kết quả: C

2. Cho đoạn thẳng AB=6AB = 6 cm.

a) Xác định điểm CC thoả mãn AC→=13AB→\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.

b) Xác định điểm DD thoả mãn AD→=−12AB→\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.

Lời giải: a) Ta có AC→=13AB→\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}.

  • Điểm CC nằm trên đường thẳng ABAB sao cho AC=13AB=2AC = \frac{1}{3}AB = 2 cm.

b) Ta có AD→=−12AB→\overrightarrow{AD} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.

  • Điểm DD nằm trên đường thẳng ABAB sao cho AD=12AB=3AD = \frac{1}{2}AB = 3 cm và DD nằm giữa AA và BB.

3. Cho tam giác ABCABC. Các điểm M,N,PM, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA,ABBC, CA, AB.

Chứng minh:

a) AP→+12AC→=AN→\overrightarrow{AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AN};

b) BC→+2MP→=BA→\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BA}.

Lời giải: a) Ta có AP→+12AC→=12(AB→+AC→)=AN→\overrightarrow{AP} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) = \overrightarrow{AN}.

b) Ta có BC→+2MP→=BC→+MA→+CP→=BA→\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{BA}.

4. Cho tam giác ABCABC. Các điểm D,ED, E thuộc cạnh BCBC sao cho BD=DE=ECBD = DE = EC. Gọi II là trung điểm của ADAD. Biểu diễn các vecto BD→,BE→,AD→,AE→\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BE}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} theo hai vecto AB→,AC→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}.

Lời giải: Đặt AB→=a,AC→=b\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}, \overrightarrow{AC} = \mathbf{b}. Ta có:

  • BC→=b−a\overrightarrow{BC} = \mathbf{b} - \mathbf{a}.

  • BD→=13BC→=13(b−a)\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3} (\mathbf{b} - \mathbf{a}).

  • BE→=23BC→=23(b−a)\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{3} (\mathbf{b} - \mathbf{a}).

  • AD→=AB→+BD→=a+13(b−a)=23a+13b\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \mathbf{a} + \frac{1}{3} (\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{2}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{b}.

  • AE→=AB→+BE→=a+23(b−a)=13a+23b\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \mathbf{a} + \frac{2}{3} (\mathbf{b} - \mathbf{a}) = \frac{1}{3} \mathbf{a} + \frac{2}{3} \mathbf{b}.

5. Cho tứ giác ABCDABCD. M,NM, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CDAB, CD. Gọi GG là trung điểm của đoạn thẳng MNMN. Chứng minh:

a) EA→+EB→+EC→+ED→=4EG→\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 4\overrightarrow{EG};

b) EA→=4EG→\overrightarrow{EA} = 4\overrightarrow{EG};

c) Điểm GG thuộc đoạn thẳng AEAE và AG→=34AE→\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AE}.

Lời giải: a) Ta có EA→+EB→+EC→+ED→=4EG→\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 4\overrightarrow{EG}.

b) Ta có EA→+EB→+EC→+ED→=4EG→⇒EA→=4EG→\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = 4\overrightarrow{EG} \Rightarrow \overrightarrow{EA} = 4\overrightarrow{EG}.

c) Ta có AG→=34AE→\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AE}.

6. Cho hình bình hành ABCDABCD. Đặt AB→=a,AD→=b\overrightarrow{AB} = \mathbf{a}, \overrightarrow{AD} = \mathbf{b}. Gọi GG là trọng tâm của tam giác ABCABC. Biểu thị các vecto AG→,CG→\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{CG} theo hai vecto a,b\mathbf{a}, \mathbf{b}.

Lời giải: Ta có:

  • AG→=13(AB→+AC→)=13(a+a+b)=23a+13b\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) = \frac{1}{3} \left( \mathbf{a} + \mathbf{a} + \mathbf{b} \right) = \frac{2}{3} \mathbf{a} + \frac{1}{3} \mathbf{b}.

  • CG→=13(CA→+CB→)=13(−a−b+a)=−13b\overrightarrow{CG} = \frac{1}{3} \left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} \right) = \frac{1}{3} \left( -\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{a} \right) = -\frac{1}{3} \mathbf{b}.

7. Cho tam giác ABCABC. Các điểm D,E,HD, E, H thoả mãn

DB→=13BC→\overrightarrow{DB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}, AE→=13AC→\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, AH→=23AB→\overrightarrow{AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.

a) Biểu thị mỗi vecto AD→,DH→,HE→\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{DH}, \overrightarrow{HE} theo hai vecto AB→,AC→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}.

b) Chứng minh D,E,HD, E, H thẳng hàng.

Lời giải: a) Ta có:

  • AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→=AB→+13(AC→−AB→)=23AB→+13AC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}.

  • DH→=DA→+AH→=−AD→+23AB→=−23AB→−13AC→+23AB→=−13AC→\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AH} = -\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC}.

  • HE→=HA→+AE→=−23AB→+13AC→\overrightarrow{HE} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AE} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}.

b) Ta có DH→=−13AC→,HE→=−23AB→+13AC→=−2DH→\overrightarrow{DH} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{HE} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} = -2 \overrightarrow{DH}.

Vậy D,E,HD, E, H thẳng hàng.