Trang 99 — Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Bài tập 1. Nếu hai điểm M,NM, N thỏa mãn MN→⋅NM→=−4\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{NM} = -4 thì độ dài đoạn thẳng MNMN bằng bao nhiêu?

Lời giải:

MN→⋅NM→=−4\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{NM} = -4

⇔∣MN→∣.∣NM→∣.cos⁡180∘=−4\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MN} \right| . \left| \overrightarrow{NM} \right| . \cos 180^\circ = -4

⇔∣MN→∣.∣NM→∣.(−1)=−4\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MN} \right| . \left| \overrightarrow{NM} \right| . (-1) = -4

⇔∣MN→∣.∣NM→∣=4\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MN} \right| . \left| \overrightarrow{NM} \right| = 4

⇔∣MN→∣2=4\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MN} \right| ^2 = 4

⇔∣MN→∣=2\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MN} \right| = 2 (do độ dài đoạn thẳng không âm)

Vậy ∣MN→∣=2\left| \overrightarrow{MN} \right| = 2

Kết quả: B. MN=2MN=2.

Trang 100 —

Bài 2. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→,b→)<90∘(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 90^\circ thì a→⋅b→<0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0.

B. Nếu a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→,b→)>90∘(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) > 90^\circ thì a→⋅b→>0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0.

C. Nếu a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→,b→)<90∘(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 90^\circ thì a→⋅b→>0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0.

D. Nếu a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→,b→)>90∘(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) > 90^\circ thì a→⋅b→<0\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0.

Lời giải:

Ta có

a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)⋅Neˆˊu (a→,b→)<90∘⇒cos⁡(a→,b→)>0⇒a→⋅b→>0.⋅Neˆˊu (a→,b→)>90∘⇒cos⁡(a→,b→)<0⇒a→⋅b→<0.\begin{aligned} &\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\\ &\quad \cdot \text{Nếu } (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 90^\circ \Rightarrow \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) > 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0.\\ &\quad \cdot \text{Nếu } (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) > 90^\circ \Rightarrow \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) < 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0.\\ \end{aligned}

Kết quả: C

Bài 3. Tính ∣a→∣\left| \overrightarrow{a} \right| trong mỗi trường hợp sau:

a) ∣a→∣=3\left| \overrightarrow{a} \right| = 3, ∣b→∣=4\left| \overrightarrow{b} \right| = 4, (a→,b→)=30∘(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 30^\circ;

b) ∣a→∣=5\left| \overrightarrow{a} \right| = 5, ∣b→∣=6\left| \overrightarrow{b} \right| = 6, (a→,b→)=120∘(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 120^\circ;

c) ∣a→∣=2\left| \overrightarrow{a} \right| = 2, ∣b→∣=3\left| \overrightarrow{b} \right| = 3 và a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng;

d) ∣a→∣=2\left| \overrightarrow{a} \right| = 2, ∣b→∣=3\left| \overrightarrow{b} \right| = 3 và a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} ngược hướng.

Lời giải:

a)

a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)=3⋅4⋅cos⁡30∘=12⋅32=63.\begin{aligned} &\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\\ &= 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ\\ &= 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}. \end{aligned}

b)

a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)=5⋅6⋅cos⁡120∘=30⋅(−12)=−15.\begin{aligned} &\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\\ &= 5 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ\\ &= 30 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -15. \end{aligned}

c)

a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)=2⋅3⋅cos⁡0∘=6⋅1=6.\begin{aligned} &\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\\ &= 2 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ\\ &= 6 \cdot 1 = 6. \end{aligned}

d)

a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)=2⋅3⋅cos⁡180∘=6⋅(−1)=−6.\begin{aligned} &\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\\ &= 2 \cdot 3 \cdot \cos 180^\circ\\ &= 6 \cdot (-1) = -6. \end{aligned}

Bài 4. Cho hình vuông ABCDABCD cạnh aa. Tính các tích vô hướng sau:

a) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC};

b) AC→⋅AD→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}.

Lời giải:

Ta có

  • ∣AB→∣=a;∣AC→∣=a2+a2=a2;(AB→,AC→)=45∘.\left| \overrightarrow{AB} \right| = a; \left| \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}; (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 45^\circ.

a)

AB→⋅AC→=∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅cos⁡(AB→,AC→)=a⋅a2⋅cos⁡45∘=a22⋅22=a2.\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left| \overrightarrow{AB} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AC} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\\ &= a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ\\ &= a^2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2. \end{aligned}

b)

AC→⋅AD→=∣AC→∣⋅∣AD→∣⋅cos⁡(AC→,AD→)=a2⋅a⋅cos⁡90∘=a22⋅0=0.\begin{aligned} &\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \left| \overrightarrow{AC} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AD} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\\ &= a\sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 90^\circ\\ &= a^2 \sqrt{2} \cdot 0 = 0. \end{aligned}

Bài 5. Cho tam giác ABCABC. Chứng minh:

AB→+BC→+CA→=0→.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.

Lời giải:

Ta có

AB→+BC→+CA→=AB→+BC→+(−AC→)=AB→+BC→−AC→=AC→−AC→=0→.\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\\ &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + (-\overrightarrow{AC})\\ &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} \\ &= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}. \end{aligned}

Bài 6. Cho tam giác nhọn ABCABC, kẻ đường cao AHAH. Chứng minh rằng:

a) AB→⋅AH→=AC→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AH}.

b) AB→⋅BC→=HB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{BC}.

Lời giải:

a)

AB→⋅AH→−AC→⋅AH→=(AB→−AC→)⋅AH→=CB→⋅AH→=0vıˋ CB→⊥AH→.\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AH} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AH}\\ &= \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AH} = 0 \quad \text{vì } \overrightarrow{CB} \perp \overrightarrow{AH}. \end{aligned}

b)

AB→⋅BC→−HB→⋅BC→=(AB→−HB→)⋅BC→=AH→⋅BC→=0vıˋ AH→⊥BC→.\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{HB}) \cdot \overrightarrow{BC}\\ &= \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \quad \text{vì } \overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}. \end{aligned}

Bài 7. Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ bay 700700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng tây sang hướng đông với tốc độ 4040 km/h (Hình 68). Máy bay sẽ bay với tốc độ bao nhiêu khi có gió?

Lời giải:

Gọi v1→\overrightarrow{v_1} là vận tốc của máy bay.

v2→\overrightarrow{v_2} là vận tốc của luồng gió.

Khi đó, ∣v1→∣=700\left| \overrightarrow{v_1} \right| = 700 km/h và ∣v2→∣=40\left| \overrightarrow{v_2} \right| = 40 km/h.

Tốc độ của máy bay khi có gió là:

∣v→∣=∣v1→−v2→∣=∣v1→∣2+∣v2→∣2=7002+402≈700.06 km/h.\begin{aligned} &\left| \overrightarrow{v} \right| = \left| \overrightarrow{v_1} - \overrightarrow{v_2} \right|\\ &= \sqrt{\left| \overrightarrow{v_1} \right|^2 + \left| \overrightarrow{v_2} \right|^2}\\ &= \sqrt{700^2 + 40^2}\\ & \approx 700.06 \text{ km/h}. \end{aligned}

Bài 8. Cho tam giác ABCABC có AB=2AB = 2, AC=3AC = 3, RAC=60∘RAC = 60^\circ. Gọi MM là trung điểm của đoạn thẳng BCBC. Điểm DD thoả mãn AD→=712AC→\overrightarrow{AD} = \frac{7}{12} \overrightarrow{AC}.

a) Tính AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

b) Biểu diễn AM→\overrightarrow{AM}, BD→\overrightarrow{BD} theo AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}.

c) Chứng minh AM⊥BDAM \perp BD.

Lời giải:

a)

AB→⋅AC→=∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅cos⁡(AB→,AC→)=2⋅3⋅cos⁡60∘=6⋅12=3.\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left| \overrightarrow{AB} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AC} \right| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\\ &= 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ\\ &= 6 \cdot \frac{1}{2} = 3. \end{aligned}

b)

  • AM→=12(AB→+AC→).\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).

  • BD→=AD→−AB→=712AC→−AB→.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \frac{7}{12} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}.

c)

AM→⋅BD→=12(AB→+AC→)⋅(712AC→−AB→)=12[712(AB→⋅AC→)−∣AB→∣2+712∣AC→∣2−(AB→⋅AC→)]=12[712⋅3−4+712⋅9−3]=0.\begin{aligned} &\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \cdot (\frac{7}{12} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{7}{12} (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) - \left| \overrightarrow{AB} \right|^2 + \frac{7}{12} \left| \overrightarrow{AC} \right|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) \right]\\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{7}{12} \cdot 3 - 4 + \frac{7}{12} \cdot 9 - 3 \right]\\ &= 0. \end{aligned}

Trang 101 — Bài tập cuối chương IV

Bài 1. Cho tam giác ABCABC có AB=3AB = 3, AC=4AC = 4, BAC^=120∘\widehat{BAC} = 120^\circ. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BCBC và số đo góc BB;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;

c) Diện tích của tam giác;

d) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, AM→⋅BC→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC}, trong đó MM là trung điểm của BCBC.

Lời giải:

a) Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ABCABC, ta có:

BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos⁡BAC^=32+42−2⋅3⋅4⋅cos⁡120∘=9+16−24⋅(−12)=9+16+12=37BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC} = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 9 + 16 - 24 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 9 + 16 + 12 = 37

BC=37≈6BC = \sqrt{37} \approx 6

Áp dụng định lý Sin vào tam giác ABCABC, ta có:

BCsin⁡BAC^=ABsin⁡C⇒sin⁡C=AB⋅sin⁡BAC^BC=3⋅sin⁡120∘37≈3⋅326≈0,433\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow \sin C = \frac{AB \cdot \sin \widehat{BAC}}{BC} = \frac{3 \cdot \sin 120^\circ}{\sqrt{37}} \approx \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} \approx 0,433

⇒C^≈arcsin⁡0,433≈26∘\Rightarrow \widehat{C} \approx \arcsin 0,433 \approx 26^\circ

B^=180∘−A^−C^≈180∘−120∘−26∘=34∘\widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C} \approx 180^\circ - 120^\circ - 26^\circ = 34^\circ

Kết quả: BC≈6BC \approx 6, B^≈34∘\widehat{B} \approx 34^\circ

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R=BC2sin⁡BAC^=372sin⁡120∘=372⋅32=373≈61,73≈3R = \frac{BC}{2 \sin \widehat{BAC}} = \frac{\sqrt{37}}{2 \sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{37}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}} \approx \frac{6}{1,73} \approx 3

Kết quả: R≈3R \approx 3

c) Diện tích của tam giác S=12AB⋅AC⋅sin⁡BAC^=12⋅3⋅4⋅sin⁡120∘=6⋅32=33≈5S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5

Kết quả: S≈5S \approx 5

d) AB→⋅AC→=AB⋅AC⋅cos⁡BAC^=3⋅4⋅cos⁡120∘=12⋅(−12)=−6\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 12 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -6

MM là trung điểm của BCBC nên AM→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right)

AM→⋅BC→=12(AB→+AC→)⋅(AC→−AB→)=12(AC→2−AB→2)=12(AC2−AB2)=12(42−32)=72\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) \cdot \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \right) = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AC}^2 - \overrightarrow{AB}^2 \right) = \frac{1}{2} \left( AC^2 - AB^2 \right) = \frac{1}{2} \left( 4^2 - 3^2 \right) = \frac{7}{2}

Kết quả: AB→⋅AC→=−6\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6, AM→⋅BC→=72\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{7}{2}

Bài 2. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A=(sin⁡20∘+sin⁡70∘)+(cos⁡20∘+cos⁡110∘)A = \left( \sin 20^\circ + \sin 70^\circ \right) + \left( \cos 20^\circ + \cos 110^\circ \right)

B=tan⁡20∘+tan⁡40∘+tan⁡20∘tan⁡40∘B = \tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 20^\circ \tan 40^\circ

Lời giải:

A=(sin⁡20∘+sin⁡70∘)+(cos⁡20∘+cos⁡110∘)A = \left( \sin 20^\circ + \sin 70^\circ \right) + \left( \cos 20^\circ + \cos 110^\circ \right)

=2sin⁡20∘+70∘2cos⁡20∘−70∘2+2cos⁡20∘+110∘2cos⁡20∘−110∘2= 2 \sin \frac{20^\circ + 70^\circ}{2} \cos \frac{20^\circ - 70^\circ}{2} + 2 \cos \frac{20^\circ + 110^\circ}{2} \cos \frac{20^\circ - 110^\circ}{2}

=2sin⁡45∘cos⁡(−25∘)+2cos⁡65∘cos⁡(−45∘)= 2 \sin 45^\circ \cos \left( -25^\circ \right) + 2 \cos 65^\circ \cos \left( -45^\circ \right)

=2⋅22⋅cos⁡25∘+2cos⁡65∘⋅22= 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 25^\circ + 2 \cos 65^\circ \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

=2cos⁡25∘+2cos⁡65∘= \sqrt{2} \cos 25^\circ + \sqrt{2} \cos 65^\circ

=2(cos⁡25∘+cos⁡65∘)= \sqrt{2} \left( \cos 25^\circ + \cos 65^\circ \right)

=2⋅2cos⁡25∘+65∘2cos⁡25∘−65∘2= \sqrt{2} \cdot 2 \cos \frac{25^\circ + 65^\circ}{2} \cos \frac{25^\circ - 65^\circ}{2}

=22cos⁡45∘cos⁡(−20∘)=22⋅22cos⁡20∘=2cos⁡20∘= 2 \sqrt{2} \cos 45^\circ \cos \left( -20^\circ \right) = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 20^\circ = 2 \cos 20^\circ

B=tan⁡20∘+tan⁡40∘+tan⁡20∘tan⁡40∘B = \tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 20^\circ \tan 40^\circ

=sin⁡20∘cos⁡20∘+sin⁡40∘cos⁡40∘+sin⁡20∘sin⁡40∘cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

=sin⁡20∘cos⁡40∘+sin⁡40∘cos⁡20∘+sin⁡20∘sin⁡40∘cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\sin 20^\circ \cos 40^\circ + \sin 40^\circ \cos 20^\circ + \sin 20^\circ \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

=sin⁡(20∘+40∘)+sin⁡20∘sin⁡40∘cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\sin \left( 20^\circ + 40^\circ \right) + \sin 20^\circ \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

=sin⁡60∘+sin⁡20∘sin⁡40∘cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\sin 60^\circ + \sin 20^\circ \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

=32+sin⁡20∘sin⁡40∘cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 20^\circ \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

Sử dụng công thức sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \alpha - \beta \right) - \cos \left( \alpha + \beta \right) \right]

=32+12[cos⁡20∘−cos⁡60∘]cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \left[ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \right]}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

=32+12cos⁡20∘−14cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{4}}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

=23+2cos⁡20∘−12cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{\frac{2 \sqrt{3} + 2 \cos 20^\circ - 1}{2}}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ}

=23+2cos⁡20∘−12cos⁡20∘cos⁡40∘= \frac{2 \sqrt{3} + 2 \cos 20^\circ - 1}{2 \cos 20^\circ \cos 40^\circ}

Sử dụng công thức cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha - \beta \right) \right]

=23+2cos⁡20∘−1cos⁡60∘+cos⁡20∘= \frac{2 \sqrt{3} + 2 \cos 20^\circ - 1}{\cos 60^\circ + \cos 20^\circ}

=23+2cos⁡20∘−112+cos⁡20∘= \frac{2 \sqrt{3} + 2 \cos 20^\circ - 1}{\frac{1}{2} + \cos 20^\circ}

=43+4cos⁡20∘−21+2cos⁡20∘= \frac{4 \sqrt{3} + 4 \cos 20^\circ - 2}{1 + 2 \cos 20^\circ}

=4(3+cos⁡20∘)−22cos⁡20∘+1= \frac{4 \left( \sqrt{3} + \cos 20^\circ \right) - 2}{2 \cos 20^\circ + 1}

Kết quả: A=2cos⁡20∘A = 2 \cos 20^\circ, B=3B = \sqrt{3}

Bài 3. Không dùng thước góc, làm thế nào để biết được góc của một nhọn hay tù? Bạn Hoài giải như sau:

  • Chọn hai điểm AA, BB lần lượt thuộc các tia OxOx và OyOy sao cho OA=OB=2OA = OB = 2 cm

  • Dùng dây đo ABAB và thấy AB=3,1AB = 3,1 cm. Từ đó tính góc xOyxOy.

Bạn làm như vậy có đúng không? Nếu không đúng, hãy trình bày cách làm đúng.

Lời giải:

Cách làm của bạn Hoài không đúng.

Để tính góc xOyxOy, ta làm như sau:

  • Chọn hai điểm AA, BB lần lượt thuộc các tia OxOx và OyOy sao cho OA=OB=2OA = OB = 2 cm.

  • Dùng dây đo ABAB và thấy AB=3,1AB = 3,1 cm.

Áp dụng định lý Cosin vào tam giác OABOAB, ta có:

AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cos⁡xOy^AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cdot \cos \widehat{xOy}

3,12=22+22−2⋅2⋅2⋅cos⁡xOy^3,1^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos \widehat{xOy}

cos⁡xOy^=22+22−3,122⋅2⋅2=4+4−9,618=−1,618=−0,20125\cos \widehat{xOy} = \frac{2^2 + 2^2 - 3,1^2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{4 + 4 - 9,61}{8} = \frac{-1,61}{8} = -0,20125

xOy^=arccos⁡(−0,20125)≈101,5∘>90∘\widehat{xOy} = \arccos \left( -0,20125 \right) \approx 101,5^\circ > 90^\circ

Vậy góc xOyxOy là góc tù.

Bài 4. Có hai trạm quan sát AA và BB ven hồ và một trạm quan sát CC giữa hồ. Để tính khoảng cách ABAB, người ta đo được:

  • Góc BACBAC 60∘60^\circ, góc ABCABC 45∘45^\circ;

  • Khoảng cách AC=1200AC = 1200 m.

Khoảng cách giữa hai trạm AA và BB bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

ACB^=180∘−BAC^−ABC^=180∘−60∘−45∘=75∘\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ

Áp dụng định lý Sin vào tam giác ABCABC, ta có:

ABsin⁡ACB^=ACsin⁡ABC^\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}

AB=AC⋅sin⁡ACB^sin⁡ABC^=1200⋅sin⁡75∘sin⁡45∘≈1200⋅0,96590,7071≈1639,9≈1640AB = \frac{AC \cdot \sin \widehat{ACB}}{\sin \widehat{ABC}} = \frac{1200 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \frac{1200 \cdot 0,9659}{0,7071} \approx 1639,9 \approx 1640

Kết quả: AB≈1640AB \approx 1640 m

Bài 5. Một người đứng ở vị trí AA trên mặt đất, nhìn thẳng đỉnh của một cái tháp bóng chày (hình vẽ) và người này cũng quan sát thấy chân tháp dưới góc 35∘35^\circ (CD=50CD = 50 m).

Từ vị trí AA, người đó đi thẳng đến BB và quan sát thấy đỉnh tháp dưới góc a=75∘a = 75^\circ (AB=70AB = 70 m).

Lời giải:

Đặt h=CD=CE=50h = CD = CE = 50 m.

Trong tam giác ACEACE, ta có:

tan⁡CAE^=CEAE⇒AE=CEtan⁡35∘=50tan⁡35∘≈500,70≈71,4\tan \widehat{CAE} = \frac{CE}{AE} \Rightarrow AE = \frac{CE}{\tan 35^\circ} = \frac{50}{\tan 35^\circ} \approx \frac{50}{0,70} \approx 71,4

Trong tam giác BCEBCE, ta có:

tan⁡CBE^=CEBE⇒BE=CEtan⁡75∘=50tan⁡75∘≈503,73≈13,4\tan \widehat{CBE} = \frac{CE}{BE} \Rightarrow BE = \frac{CE}{\tan 75^\circ} = \frac{50}{\tan 75^\circ} \approx \frac{50}{3,73} \approx 13,4

AB=AE−BE≈71,4−13,4=58AB = AE - BE \approx 71,4 - 13,4 = 58

Ta lại có:

tan⁡35∘=hAC⇒AC=htan⁡35∘\tan 35^\circ = \frac{h}{AC} \Rightarrow AC = \frac{h}{\tan 35^\circ}

tan⁡75∘=hBC⇒BC=htan⁡75∘\tan 75^\circ = \frac{h}{BC} \Rightarrow BC = \frac{h}{\tan 75^\circ}

AB=AC−BC=h(1tan⁡35∘−1tan⁡75∘)=50(10,7−13,73)≈58AB = AC - BC = h \left( \frac{1}{\tan 35^\circ} - \frac{1}{\tan 75^\circ} \right) = 50 \left( \frac{1}{0,7} - \frac{1}{3,73} \right) \approx 58

Kết quả: AB≈58AB \approx 58 m

Trang 102 —

Bài 6. Để đo khoảng cách giữa hai điểm AA và NN ở hai phía bên kia sông, sao cho OO không thuộc đường dao ANAN (Hình 72), các khoảng cách OMOM, ONON và góc MONMON đã được biết. Sau đó, nếu OM=200 mOM = 200\,\text{m}, ON=500 mON = 500\,\text{m}, MON^=135∘\widehat{MON} = 135^{\circ} thì khoảng cách giữa hai điểm AA và NN bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Trước hết, ta cần xác định vị trí điểm AA, BB sao cho OA⊥OMOA \perp OM, OB⊥ONOB \perp ON.

Với các dữ kiện đã cho:

  • OM=200 mOM = 200\,\text{m}
  • ON=500 mON = 500\,\text{m}
  • MON^=135∘\widehat{MON} = 135^{\circ}

Ta có thể tính khoảng cách ANAN như sau:

Sử dụng công thức tính độ dài vectơ AN→\overrightarrow{AN}:

∣AN→∣=∣OM→∣2+∣ON→∣2−2∣OM→∣⋅∣ON→∣⋅cos⁡(MON^)=2002+5002−2⋅200⋅500⋅cos⁡135∘=2002+5002−2⋅200⋅500⋅(−22)=40 000+250 000+100 0002≈40 000+250 000+141 421.36≈431 421.36≈656.85 m.\begin{aligned} |\overrightarrow{AN}| &= \sqrt{|\overrightarrow{OM}|^2 + |\overrightarrow{ON}|^2 - 2|\overrightarrow{OM}|\cdot |\overrightarrow{ON}|\cdot \cos(\widehat{MON})} \\ &= \sqrt{200^2 + 500^2 - 2 \cdot 200 \cdot 500 \cdot \cos 135^{\circ}}\\ &= \sqrt{200^2 + 500^2 - 2 \cdot 200 \cdot 500 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\\ &= \sqrt{40\,000 + 250\,000 + 100\,000 \sqrt{2}}\\ &\approx \sqrt{40\,000 + 250\,000 + 141\,421.36}\\ &\approx \sqrt{431\,421.36}\\ &\approx 656.85\,\text{m}. \end{aligned}

Kết quả: 657 m657\,\text{m}

Bài 7. Chứng minh:

a) Nếu AB→+AD→+CD→=AE→−DE→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{DE} thì AB→=CE→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}.

b) Nếu MA→+MB→+2MN→=0→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{0} thì MM, NN là hai điểm phân biệt.

c) Nếu GG là trọng tâm tam giác ABCABC thì MA→+MB→+MC→−3MN→=3NG→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} - 3\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{NG} với MM, NN là hai điểm phân biệt.

Lời giải:

a) Ta có:

AB→+AD→+CD→=AE→−DE→⇔AB→+AD→+CD→+DE→=AE→⇔AB→+AE→=AE→⇔AB→=CE→.\begin{aligned} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} &= \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{DE}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} &= \overrightarrow{AE}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} &= \overrightarrow{AE}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{CE}. \end{aligned}

b) Ta có:

MA→+MB→+2MN→=0→⇔MA→+MB→=−2MN→⇔MA→+MB→=2NM→.\begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} &= -2\overrightarrow{MN}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} &= 2\overrightarrow{NM}. \end{aligned}

Giả sử MA→+MB→=2MN→=0→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{0} thì MM là trung điểm ABAB. Điều này không đúng vì khi đó NM→=0→\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{0} hay NN trùng với MM. Vậy MM, NN là hai điểm phân biệt.

c) Ta có:

MA→+MB→+MC→−3MN→=3NG→⇔MA→+MB→+MC→=3MN→+3NG→=3(MN→+NG→)=3(MG→).\begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} - 3\overrightarrow{MN} &= 3\overrightarrow{NG}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} &= 3\overrightarrow{MN} + 3\overrightarrow{NG}\\ &= 3(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NG})\\ &= 3(\overrightarrow{MG}). \end{aligned}

Vì GG là trọng tâm △ABC\triangle ABC nên:

MG→=13(MA→+MB→+MC→).\overrightarrow{MG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}).

Do đó:

MA→+MB→+MC→=3MG→=3NG→.\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} = 3\overrightarrow{NG}.

Bài 8. Cho hình bình hành ABCDABCD có AB=4AB = 4, AD=6AD = 6, BAD^=60∘\widehat{BAD} = 60^{\circ} (Hình 73).

a) Biểu diễn các vectơ BD→,AC→\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{AC} theo AB→,AD→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}.

b) Tính các tích vô hướng AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}, AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, BD→⋅AC→\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC}.

c) Tính độ dài các đường chéo BDBD, ACAC.

Lời giải:

a) Ta có:

  • BD→=AD→−AB→\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}
  • AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

b) Ta có:

  • AB→⋅AD→=∣AB→∣⋅∣AD→∣⋅cos⁡(BAD^)=4⋅6⋅cos⁡60∘=4⋅6⋅12=12\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot \cos(\widehat{BAD}) = 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^{\circ} = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 12
  • AB→⋅AC→=AB→⋅(AB→+AD→)=AB→2+AB→⋅AD→=42+12=28\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 4^2 + 12 = 28
  • Ta lại có: BD→⋅AC→=(AD→−AB→)⋅(AB→+AD→)=AD→2−AB→2=62−42=20\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AD}^2 - \overrightarrow{AB}^2 = 6^2 - 4^2 = 20

c) Ta có:

  • BD=∣BD→∣=∣AD→−AB→∣=AD→2+AB→2−2AD→⋅AB→BD = \sqrt{|\overrightarrow{BD}|} = \sqrt{|\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}|} = \sqrt{\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AB}^2 - 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}}
  • =62+42−2⋅12=52=213= \sqrt{6^2 + 4^2 - 2 \cdot 12} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
  • AC=∣AC→∣=∣AB→+AD→∣=AB→2+AD→2+2AB→⋅AD→AC = \sqrt{|\overrightarrow{AC}|} = \sqrt{|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|} = \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{AD}^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}
  • =42+62+2⋅12=76=219= \sqrt{4^2 + 6^2 + 2 \cdot 12} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}

Bài 9. Hai lực F1→\overrightarrow{F_1}, F2→\overrightarrow{F_2} cho tác dụng lên một vật tại điểm OO và tạo với nhau một góc α=60∘\alpha = 60^{\circ} (Hình 74). Tìm độ lớn của hợp lực F→\overrightarrow{F} làm cho vật di chuyển theo hướng từ OO đến CC. Biết F1→\overrightarrow{F_1}, F2→\overrightarrow{F_2} đều có độ lớn là 30 N30\,\text{N}.

Lời giải:

Ta có:

  • ∣F1→∣=30 N|\overrightarrow{F_1}| = 30\,\text{N}
  • ∣F2→∣=30 N|\overrightarrow{F_2}| = 30\,\text{N}
  • α=(F1→,F2→)=60∘\alpha = (\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}) = 60^{\circ}

Độ lớn của hợp lực F→\overrightarrow{F} là:

∣F→∣=∣F1→∣2+∣F2→∣2+2∣F1→∣⋅∣F2→∣⋅cos⁡(α)=302+302+2⋅30⋅30⋅cos⁡60∘=900+900+1800⋅12=900+900+900=2700=303 N.\begin{aligned} |\overrightarrow{F}| &= \sqrt{|\overrightarrow{F_1}|^2 + |\overrightarrow{F_2}|^2 + 2|\overrightarrow{F_1}|\cdot |\overrightarrow{F_2}|\cdot \cos(\alpha)}\\ &= \sqrt{30^2 + 30^2 + 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot \cos 60^{\circ}}\\ &= \sqrt{900 + 900 + 1800 \cdot \frac{1}{2}}\\ &= \sqrt{900 + 900 + 900}\\ &= \sqrt{2700}\\ &= 30\sqrt{3}\,\text{N}. \end{aligned}

Vậy độ lớn của hợp lực F→\overrightarrow{F} là 303 N30\sqrt{3}\,\text{N}.