Trang 100 — Parabol

Trang này chỉ có lý thuyết về định nghĩa đường parabol và phương trình chính tắc của parabol. Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

SKIP

Trang 101 — Bài tập Parabol

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?

a) y2=−2xy^2 = -2x
b) y2=2xy^2 = 2x
c) x2=2yx^2 = 2y
d) x2=6yx^2 = 6y

Lời giải: Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2=2pxy^2 = 2px với p>0p > 0.

  • Phương trình ở đáp án a) có y2=−2xy^2 = -2x với p=−1<0p = -1 < 0, không thỏa mãn p>0p > 0 nên không là phương trình chính tắc của parabol.
  • Phương trình ở đáp án b) có y2=2xy^2 = 2x với p=1>0p = 1 > 0, thỏa mãn dạng phương trình chính tắc của parabol.
  • Phương trình ở đáp án c) có x2=2yx^2 = 2y, không đúng dạng y2=2pxy^2 = 2px nên không là phương trình chính tắc của parabol.
  • Phương trình ở đáp án d) có x2=6yx^2 = 6y, không đúng dạng y2=2pxy^2 = 2px nên không là phương trình chính tắc của parabol.

Kết quả: b)

Bài 2. Viết phương trình chính tắc của parabol (P)(P) biết:

a) (P)(P) có tiêu điểm F(5;0)F(5; 0);

b) (P)(P) đi qua điểm M(2;1)M(2; 1).

Lời giải: a) Parabol (P)(P) có tiêu điểm F(5;0)F(5; 0) nên p2=5⇒p=10\frac{p}{2} = 5 \Rightarrow p = 10.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P)(P) là y2=20xy^2 = 20x.

b) Parabol (P)(P) đi qua điểm M(2;1)M(2; 1) nên 12=2p⋅2⇒2p=12⇒p=141^2 = 2p \cdot 2 \Rightarrow 2p = \frac{1}{2} \Rightarrow p = \frac{1}{4}.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P)(P) là y2=12xy^2 = \frac{1}{2}x.

Bài 3. Viết phương trình các đường chuẩn của các parabol chính tắc sau:

a) y2=10xy^2 = 10x

b) x2=6yx^2 = 6y

Lời giải: a) Parabol y2=10xy^2 = 10x có p=5p = 5 nên đường chuẩn là x=−p2=−52.x = -\frac{p}{2} = -\frac{5}{2}.

b) Parabol x2=6yx^2 = 6y có p=3p = 3 nên đường chuẩn là y=−p2=−32.y = -\frac{p}{2} = -\frac{3}{2}.

Kết quả: a) x=−52x = -\frac{5}{2}; b) y=−32y = -\frac{3}{2}

Trang 102 — IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TIẾN CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập, ví dụ trên trang này. Toàn bộ nội dung là lý thuyết.

SKIP

Trang 103 — Bài tập

Bài 1. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

a) x264+y24=1.\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{4} = 1.

b) x264+y26=1.\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{6} = 1.

c) x225+y264=1.\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{64} = 1.

d) x264+y225=1.\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 với a>b>0a > b > 0.

  • a) x264+y24=1\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{4} = 1 có a2=64a^2 = 64 và b2=4b^2 = 4, suy ra a>b>0a > b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của elip.

  • b) x264+y26=1\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{6} = 1 có a2=64a^2 = 64 và b2=6b^2 = 6, suy ra a>b>0a > b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của elip.

  • c) x225+y264=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{64} = 1 có a2=64a^2 = 64 và b2=25b^2 = 25, suy ra a>b>0a > b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của elip.

  • d) x264+y225=1\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1 có a2=64a^2 = 64 và b2=25b^2 = 25, suy ra a>b>0a > b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của elip.

Kết quả: Các phương trình chính tắc của elip là: a, b, c, d.

Bài 2. Cho elip (E)(E) có phương trình chính tắc x2100+y236=1\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1. Tìm tọa độ hai tiêu điểm của (E)(E) và BB.

Lời giải:

Ta có: a2=100a^2 = 100, b2=36b^2 = 36

  ⟹  c2=a2−b2=100−36=64\implies c^2 = a^2 - b^2 = 100 - 36 = 64

  ⟹  c=8\implies c = 8

Vậy tọa độ hai tiêu điểm của (E)(E) là F1(−8;0)F_1 (-8; 0) và F2(8;0)F_2 (8; 0).

Kết quả: F1(−8;0)F_1 (-8; 0), F2(8;0)F_2 (8; 0).

Bài 3. Viết phương trình chính tắc của elip (E)(E), biết tiêu cự là 66 và điểm M(5;0)M (5; 0) nằm trên (E)(E).

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

  • Tiêu cự là 6  ⟹  2c=6  ⟹  c=36 \implies 2c = 6 \implies c = 3.

  • Điểm M(5;0)M (5; 0) nằm trên (E)  ⟹  25a2=1  ⟹  a2=25(E) \implies \frac{25}{a^2} = 1 \implies a^2 = 25.

  ⟹  b2=a2−c2=25−9=16\implies b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16.

Vậy phương trình chính tắc của elip là x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.

Kết quả: x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.

Bài 4. Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà tâm của Trái Đất là một tiêu điểm. Elip có độ dài trục lớn A1A2=768800A_1 A_2 = 768 800 km và độ dài trục nhỏ B1B2=767610B_1 B_2 = 767 610 km. (Nguồn: Rawan Lenton, Proclus Real Mathematics). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

  • Độ dài trục lớn A1A2=768800  ⟹  2a=768800  ⟹  a=384400A_1 A_2 = 768 800 \implies 2a = 768 800 \implies a = 384 400.

  • Độ dài trục nhỏ B1B2=767610  ⟹  2b=767610  ⟹  b=383805B_1 B_2 = 767 610 \implies 2b = 767 610 \implies b = 383 805.

Vậy phương trình chính tắc của elip là x2(384400)2+y2(383805)2=1\frac{x^2}{(384 400)^2} + \frac{y^2}{(383 805)^2} = 1.

Kết quả: x2(384400)2+y2(383805)2=1\frac{x^2}{(384 400)^2} + \frac{y^2}{(383 805)^2} = 1.

Bài 5. Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?

a) x264−y24=1.\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{4} = 1.

b) x24−y264=1.\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{64} = 1.

c) x264−y264=1.\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{64} = 1.

d) y264−x24=1.\frac{y^2}{64} - \frac{x^2}{4} = 1.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 hoặc y2a2−x2b2=1\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1.

  • a) x264−y24=1\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{4} = 1 có a2=64a^2 = 64 và b2=4b^2 = 4, suy ra a>0a > 0, b>0b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của hypebol.

  • b) x24−y264=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{64} = 1 có a2=4a^2 = 4 và b2=64b^2 = 64, suy ra a>0a > 0, b>0b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của hypebol.

  • c) x264−y264=1\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{64} = 1 có a2=64a^2 = 64 và b2=64b^2 = 64, suy ra a>0a > 0, b>0b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của hypebol.

  • d) y264−x24=1\frac{y^2}{64} - \frac{x^2}{4} = 1 có a2=64a^2 = 64 và b2=4b^2 = 4, suy ra a>0a > 0, b>0b > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của hypebol.

Kết quả: Các phương trình chính tắc của hypebol là: a, b, c, d.

Bài 6. Tìm tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của các hypebol trong trường hợp sau:

a) x216−y29=1.\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.

b) x24−y225=1.\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{25} = 1.

Lời giải:

a) x216−y29=1\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1   ⟹  a2=16\implies a^2 = 16 và b2=9b^2 = 9.

  ⟹  a=4\implies a = 4, b=3b = 3 và c=a2+b2=5c = \sqrt{a^2 + b^2} = 5.

Tọa độ các đỉnh là A1(−4;0)A_1 (-4; 0) và A2(4;0)A_2 (4; 0).

Tọa độ các tiêu điểm là F1(−5;0)F_1 (-5; 0) và F2(5;0)F_2 (5; 0).

b) x24−y225=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{25} = 1   ⟹  a2=4\implies a^2 = 4 và b2=25b^2 = 25.

  ⟹  a=2\implies a = 2, b=5b = 5 và c=a2+b2=29c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{29}.

Tọa độ các đỉnh là A1(−2;0)A_1 (-2; 0) và A2(2;0)A_2 (2; 0).

Tọa độ các tiêu điểm là F1(−29;0)F_1 (-\sqrt{29}; 0) và F2(29;0)F_2 (\sqrt{29}; 0).

Kết quả: a) A1(−4;0)A_1 (-4; 0), A2(4;0)A_2 (4; 0), F1(−5;0)F_1 (-5; 0), F2(5;0)F_2 (5; 0).

b) A1(−2;0)A_1 (-2; 0), A2(2;0)A_2 (2; 0), F1(−29;0)F_1 (-\sqrt{29}; 0), F2(29;0)F_2 (\sqrt{29}; 0).

Bài 7. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H)(H), biết N(10;2)N(\sqrt{10}; 2) nằm trên (H)(H) và một giao điểm của (H)(H) và (H)(H) và trục OxOx bằng 33.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

  • Một giao điểm của (H)(H) và trục OxOx bằng 3  ⟹  a=33 \implies a = 3.

  • Điểm N(10;2)N(\sqrt{10}; 2) nằm trên (H)  ⟹  109−4b2=1  ⟹  b2=365(H) \implies \frac{10}{9} - \frac{4}{b^2} = 1 \implies b^2 = \frac{36}{5}.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là x29−5y236=1\frac{x^2}{9} - \frac{5y^2}{36} = 1.

Kết quả: x29−5y236=1\frac{x^2}{9} - \frac{5y^2}{36} = 1.

Bài 8. Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?

a) y2=−2x.y^2 = -2x.

b) y2=2x.y^2 = 2x.

c) y2=−2x.y^2 = -2x.

d) y2=5x.y^2 = \sqrt{5}x.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2=2pxy^2 = 2px.

  • a) y2=−2xy^2 = -2x có 2p=−2  ⟹  p=−1<02p = -2 \implies p = -1 < 0. Vậy đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.

  • b) y2=2xy^2 = 2x có 2p=2  ⟹  p=1>02p = 2 \implies p = 1 > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của parabol.

  • c) y2=−2xy^2 = -2x có 2p=−2  ⟹  p=−1<02p = -2 \implies p = -1 < 0. Vậy đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.

  • d) y2=5xy^2 = \sqrt{5}x có 2p=5>02p = \sqrt{5} > 0. Vậy đây là phương trình chính tắc của parabol.

Kết quả: Các phương trình chính tắc của parabol là: b, d.

Bài 9. Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của các parabol trong trường hợp sau:

a) y2=5x.y^2 = 5x.

b) y2=22x.y^2 = 2\sqrt{2}x.

Lời giải:

a) y2=5x  ⟹  2p=5  ⟹  p=52y^2 = 5x \implies 2p = 5 \implies p = \frac{5}{2}.

Tọa độ tiêu điểm là F(54;0)F(\frac{5}{4}; 0).

Phương trình đường chuẩn là x=−54x = -\frac{5}{4}.

b) y2=22x  ⟹  2p=22  ⟹  p=2y^2 = 2\sqrt{2}x \implies 2p = 2\sqrt{2} \implies p = \sqrt{2}.

Tọa độ tiêu điểm là F(22;0)F(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0).

Phương trình đường chuẩn là x=−22x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Kết quả: a) F(54;0)F(\frac{5}{4}; 0), x=−54x = -\frac{5}{4}.

b) F(22;0)F(\frac{\sqrt{2}}{2}; 0), x=−22x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Bài 10. Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm là F(6;0)F(6; 0).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y2=2pxy^2 = 2px.

  • Tiêu điểm là F(6;0)  ⟹  p2=6  ⟹  p=12F(6; 0) \implies \frac{p}{2} = 6 \implies p = 12.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là y2=24xy^2 = 24x.

Kết quả: y2=24xy^2 = 24x.

Bài 11. Một chiếc đền có mặt cắt ngang là hình parabol y2=4xy^2 = 4x (H.62)(H.62). Cây thước kẻ ABAB có chiều dài 4040 cm và có hai đầu chạm đất ở hai điểm AA và BB. Bóng của thước kẻ trên mặt đê không vượt quá 1010 cm và không tính bề dày của thước kẻ.

Bỏ qua kích thước của thước kẻ, viết phương trình chính tắc của parabol.

Lời giải:

Gọi M(x;y)M(x; y) là điểm trên parabol.

  • AB=40  ⟹  A(x−20;−y)AB = 40 \implies A(x - 20; -y) và B(x+20;y)B(x + 20; y).

  • Bóng của thước kẻ trên mặt đê không vượt quá 10  ⟹  y=1010 \implies y = 10.

Thay y=10y = 10 vào phương trình y2=4x  ⟹  100=4x  ⟹  x=25y^2 = 4x \implies 100 = 4x \implies x = 25.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là y2=4xy^2 = 4x.

Kết quả: y2=4xy^2 = 4x.