Giải Toán 10 Tập 2 trang 104-107 - Cánh diều

Trang 104 — BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

Bài 1. Cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$ (t là tham số) với $a, b$ không đồng thời bằng $0$.

a) Chỉ ra một vectơ chỉ phương của $d$.

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $d$.

c) Chỉ ra một điểm thuộc đường thẳng $d$ mà điểm đó khác $\left( x_0; \, y_0 \right)$ và được đường thẳng $d$.

Lời giải:

a) Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (a; \, b)$.

b) Một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n} = (b; \, -a)$.

c) Một điểm thuộc đường thẳng $d$ mà điểm đó khác $\left( x_0; \, y_0 \right)$ và được đường thẳng $d$ là $\left( x_0 + a; \, y_0 + b \right)$.

Kết quả: $\vec{u} = (a; \, b)$, $\vec{n} = (b; \, -a)$, $\left( x_0 + a; \, y_0 + b \right)$.

Bài 2. Cho đường thẳng $d: ax + by + c = 0$, với $a, b, c$ không đồng thời bằng $0$.

a) Chứng minh rằng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (a; \, b)$.

b) Chỉ ra một vectơ chỉ phương của $d$.

c) Nếu $a \ne 0$ thì $b \ne 0$. Nếu $a = 0$ thì $b \ne 0$.

Lời giải:

a) $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (a; \, b)$ vì $\vec{n}$ vuông góc với đường thẳng $d$.

b) Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (b; \, -a)$.

c) Nếu $a \ne 0$ thì phương trình $d$ được viết dưới dạng $y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$. Đây là phương trình đường thẳng có hệ số góc $k = -\dfrac{a}{b} \ne 0$. Do đó, $d$ không song song với trục $Ox$ và không vuông góc với trục $Oy$ nên $d$ cắt cả hai trục tọa độ.

Kết quả: $\vec{n} = (a; \, b)$, $\vec{u} = (b; \, -a)$.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $MNP$ có $M(2; \, 1), \, N(-1; \, 3), \, P(4; \, 2)$.

a) Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{OM}, \, \overrightarrow{MN}, \, \overrightarrow{MP}$.

b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP}$.

c) Tính độ dài đoạn thẳng $MN, \, MP$.

d) Tính $\cos \widehat{NMP}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{OM} = (2; \, 1)$, $\overrightarrow{MN} = (-3; \, 2)$, $\overrightarrow{MP} = (2; \, 1)$.

b) $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = (-3) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = -4$.

c) Độ dài đoạn thẳng $MN$ là $\sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13}$. Độ dài đoạn thẳng $MP$ là $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

d) $\cos \widehat{NMP} = \dfrac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{MP}|} = \dfrac{-4}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{-4}{\sqrt{65}}$.

Kết quả: $\overrightarrow{OM} = (2; \, 1)$, $\overrightarrow{MN} = (-3; \, 2)$, $\overrightarrow{MP} = (2; \, 1)$, $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = -4$, $MN = \sqrt{13}$, $MP = \sqrt{5}$, $\cos \widehat{NMP} = \dfrac{-4}{\sqrt{65}}$.

Bài 4. Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng $d$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d$ đi qua điểm $A(-3; \, 2)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; \, -3)$.

b) $d$ đi qua điểm $B(-5; \, -2)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-7; \, 6)$.

c) $d$ đi qua điểm $C(4; \, 3)$ và $D(-5; \, 2)$.

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của $d$ là $2(x + 3) - 3(y - 2) = 0 \iff 2x - 3y + 12 = 0$. Phương trình tham số của $d$ là $\begin{cases} x = -3 + 3t \\ y = 2 - 2t \end{cases}$.

b) Phương trình tổng quát của $d$ là $6(x + 5) - (-7)(y + 2) = 0 \iff 6x + 7y + 44 = 0$. Phương trình tham số của $d$ là $\begin{cases} x = -5 - 7t \\ y = -2 + 6t \end{cases}$.

c) Ta có $\vec{CD} = (-9; \, -1)$. Phương trình tổng quát của $d$ là $-1(x - 4) - (-9)(y - 3) = 0 \iff x - 9y + 23 = 0$. Phương trình tham số của $d$ là $\begin{cases} x = 4 - t \\ y = 3 - t \end{cases}$.

Kết quả: $2x - 3y + 12 = 0$, $\begin{cases} x = -3 + 3t \\ y = 2 - 2t \end{cases}$, $6x + 7y + 44 = 0$, $\begin{cases} x = -5 - 7t \\ y = -2 + 6t \end{cases}$, $x - 9y + 23 = 0$, $\begin{cases} x = 4 - t \\ y = 3 - t \end{cases}$.

Bài 5. Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I(-4; \, 2)$ và bán kính $R = 3$.

b) $(C)$ có tâm $P(3; \, -2)$ và đi qua điểm $E(1; \, 4)$.

c) $(C)$ có tâm $Q(5; \, -1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 1 = 0$.

d) $(C)$ đi qua $A(-2; \, 3)$, $B(-4; \, 5)$ và có tâm thuộc đường thẳng $\Delta: 3x + y - 1 = 0$.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn $(C)$ là $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$.

b) Bán kính $R = \sqrt{(1 - 3)^2 + (4 + 2)^2} = \sqrt{40}$. Phương trình đường tròn $(C)$ là $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 40$.

c) Bán kính $R = d(Q, \, \Delta) = \dfrac{|3 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$. Phương trình đường tròn $(C)$ là $(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 4$.

d) Gọi tâm $I$ của $(C)$ là $I(a; \, 1 - 3a)$. Ta có $IA^2 = IB^2 \iff (a + 2)^2 + (1 - 3a - 3)^2 = (a + 4)^2 + (1 - 3a - 5)^2$. Giải phương trình ta được $a = -\dfrac{1}{2}$. Do đó, $I \left( - \dfrac{1}{2}; \, \dfrac{5}{2} \right)$. Bán kính $R = \sqrt{\left( -\dfrac{1}{2} + 2 \right)^2 + \left( \dfrac{5}{2} - 3 \right)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$. Phương trình đường tròn $(C)$ là $\left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \dfrac{5}{2} \right)^2 = \dfrac{10}{4}$.

Kết quả: $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$, $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 40$, $(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 4$, $\left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \dfrac{5}{2} \right)^2 = \dfrac{10}{4}$.

---

Trang 105 — Bài tập

Bài 6. Quan sát Hình 64 và thực hiện các hoạt động sau:

a) Lập phương trình đường thẳng $d$;

b) Lập phương trình đường tròn $(C)$;

c) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M(2 + \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$.

Lời giải:

a) Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(0; 2)$ và $(2; 0)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2, -2)$. Do đó, phương trình đường thẳng $d$ là: $$ \begin{aligned} y - 2 &= -1(x - 0)\ \iff y &= -x + 2. \end{aligned} $$

b) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 1)$ và bán kính $R = \sqrt{2}$ nên phương trình là: $$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2. $$

c) Tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M(2 + \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1)$. Do đó, phương trình tiếp tuyến là: $$ \begin{aligned} (1)(x - (2 + \sqrt{2})) + (1)(y - (1 + \sqrt{2})) &= 0 \ \iff x + y - 3 - 2\sqrt{2} &= 0. \end{aligned} $$

Kết quả: $x + y - 3 - 2\sqrt{2} = 0$.

Bài 7. Cho hai đường thẳng $\Delta_1: \sqrt{3}x + y - 4 = 0$, $\Delta_2: x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0$.

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta_1; \Delta_2$.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1; \Delta_2$.

Lời giải:

a) Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases} \sqrt{3}x + y - 4 = 0\ x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0 \end{cases} $$

Từ phương trình đầu tiên, ta có $y = 4 - \sqrt{3}x$. Thay vào phương trình thứ hai: $$ \begin{aligned} x + \sqrt{3}(4 - \sqrt{3}x) - 2\sqrt{3} &= 0 \ \iff x + 4\sqrt{3} - 3x - 2\sqrt{3} &= 0 \ \iff -2x + 2\sqrt{3} &= 0 \ \iff x &= \sqrt{3}. \end{aligned} $$

Thay $x = \sqrt{3}$ vào $y = 4 - \sqrt{3}x$: $$ \begin{aligned} y &= 4 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \ &= 4 - 3 \ &= 1. \end{aligned} $$

Vậy tọa độ giao điểm là $(\sqrt{3}; 1)$.

b) Ta có $\vec{n_1} = (\sqrt{3}, 1)$ và $\vec{n_2} = (1, \sqrt{3})$.

Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là: $$ \begin{aligned} \cos \theta &= \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \ &= \frac{|\sqrt{3} \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} \ &= \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{4}} \ &= \frac{2\sqrt{3}}{4} \ &= \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned} $$

Do đó $\theta = 30^\circ$.

Kết quả: $(\sqrt{3}; 1)$, $30^\circ$.

Bài 8. Cho biết mỗi đường conic có phương trình dưới đây là đường conic dạng nào (elip, hypebol, parabol) và tìm tọa độ các tiêu điểm của đường conic đó:

a) $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$;

b) $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1$;

c) $y^2 = 18x$.

Lời giải:

a) Phương trình $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ là phương trình elip.

Ta có $a^2 = 25$, $b^2 = 16$, nên $c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 16 = 9$.

Do đó, tọa độ các tiêu điểm là $(0; \pm 3)$.

b) Phương trình $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1$ là phương trình hypebol.

Ta có $a^2 = 16$, $b^2 = 25$, nên $c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 25 = 41$.

Do đó, tọa độ các tiêu điểm là $(\pm \sqrt{41}; 0)$.

c) Phương trình $y^2 = 18x$ là phương trình parabol.

Ta có $2p = 18 \implies p = 9$.

Do đó, tọa độ tiêu điểm là $(\frac{9}{2}; 0)$.

Kết quả: a) Elip, $(0; \pm 3)$; b) Hypebol, $(\pm \sqrt{41}; 0)$; c) Parabol, $(\frac{9}{2}; 0)$.

Bài 9. Cho tam giác $AF_1F_2$ trong đó $A(0; 4); F_1(-3; 0), F_2(3; 0)$.

a) Lập phương trình quỹ tích các điểm $M$ sao cho $|MA| + |MF_1| = 10$.

b) Lập phương trình chính tắc của elip $(E)$ có hai tiêu điểm $F_1, F_2$ sao cho $(E)$ đi qua $A$.

Lời giải:

a) Gọi $M(x; y)$.

Ta có $|MA| = \sqrt{x^2 + (y - 4)^2}$, $|MF_1| = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}$.

Từ điều kiện $|MA| + |MF_1| = 10$: $$ \begin{aligned} \sqrt{x^2 + (y - 4)^2} + \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} &= 10 \ \iff \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 4)^2} &= 10 - \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}. \end{aligned} $$

Bình phương hai vế: $$ \begin{aligned} x^2 + (y - 4)^2 &= 100 - 20\sqrt{(x + 3)^2 + y^2} + (x + 3)^2 + y^2 \ \iff 6x + 8y - 28 &= -20\sqrt{(x + 3)^2 + y^2} \ \iff (3x + 4y - 14)^2 &= 100[(x + 3)^2 + y^2]. \end{aligned} $$

Đây là phương trình đường conic.

b) Ta có $F_1(-3; 0), F_2(3; 0)$ nên $c = 3$.

Điểm $A(0; 4)$ nằm trên elip nên $\frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1 \implies b = 4$.

Mà $b^2 = a^2 - c^2 \implies a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25$.

Phương trình chính tắc của elip $(E)$: $$ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1. $$

Kết quả: a) $(3x + 4y - 14)^2 = 100[(x + 3)^2 + y^2]$; b) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Bài 10. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (Hình 65), trong các nhóm điểm có tọa độ $(x; y)$, mô tả của điểm $M_0(x_0; y_0)$ sao cho $x_0 > 0, y_0 > 0$; $M(x; y)$ thay đổi sao cho $MF_1 + MF_2 = 8$ ($\star$).

Một máy bay khởi hành từ một vị trí $B$ lúc 14 giờ. Sau $t$ giờ, máy bay được mô tả bằng vị trí $M$ có tọa độ $(x; y)$ với $$ \begin{aligned} x &= \frac{1600}{3} t; \ y &= \frac{1900}{1400} t. \end{aligned} $$

a) Tìm vị trí máy bay lúc 14 giờ 30 phút. Thời điểm máy bay xuất hiện lại trên mặt biển?

b) Lúc máy bay duy trì tốc độ không thay đổi thì khoảng cách giữa máy bay và điểm kiểm soát không đổi khi nào? Tính khoảng cách giữa máy bay và điểm kiểm soát không lúc ấy.

c) Máy bay ra khỏi mặt biển vào thời gian nào?

Lời giải:

a) Lúc 14 giờ 30 phút, tức $t = 0.5$ giờ.

Tọa độ máy bay: $$ \begin{aligned} x &= \frac{1600}{3} \cdot 0.5 = \frac{800}{3}; \ y &= \frac{1900}{1400} \cdot 0.5 = \frac{19}{28}. \end{aligned} $$

b) Nếu điểm $M$ là vị trí máy bay thì: $$ \begin{aligned} MF_1 + MF_2 &= 8 \ \iff \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + y^2} &= 8. \end{aligned} $$

Với $$ \begin{aligned} x &= \frac{1600}{3} t; \ y &= \frac{1900}{1400} t. \end{aligned} $$

Khoảng cách từ máy bay đến hai điểm cố định không đổi khi: $$ \begin{aligned} \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} &= 4 \ \iff (x + 3)^2 + y^2 &= 16. \end{aligned} $$

Thay $x, y$: $$ \begin{aligned} (\frac{1600}{3} t + 3)^2 + (\frac{1900}{1400} t)^2 &= 16. \end{aligned} $$

Giải phương trình: $$ \begin{aligned} (\frac{1600}{3} t + 3)^2 + (\frac{19}{14} t)^2 &= 16 \ \iff \frac{2560000}{9} t^2 + \frac{9600}{3} t + 9 + \frac{361}{196} t^2 &= 16 \ \iff \frac{2560000 \cdot 196 + 9 \cdot 361}{1764} t^2 + \frac{9600 \cdot 588}{1764} t - 7 &= 0 \ \iff 2847361 t^2 + 3200 t - 12.348 &= 0. \end{aligned} $$

Sử dụng công thức nghiệm: $$ t = \frac{-3200 \pm \sqrt{3200^2 - 4 \cdot 2847361 \cdot (-12.348)}}{2 \cdot 2847361}. $$

$c)$ Máy bay ra khỏi mặt biển khi $y = 0$: $$ \begin{aligned} \frac{1900}{1400} t &= 0 \ \iff t &= 0. \end{aligned} $$

Vậy thời gian máy bay ra khỏi mặt biển là $14$ giờ.

Kết quả: a) $(\frac{800}{3}, \frac{19}{28})$; b) $0$; c) $14$ giờ.

---

Trang 106 — Thực hành phần mềm Geogebra

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải. Nội dung trang này chủ yếu là phần lý thuyết và hướng dẫn sử dụng phần mềm Geogebra, không có bài tập cụ thể.

Trả lời: SKIP

---

Trang 107 —

Trang này có nội dung hướng dẫn sử dụng phần mềm GeoGebra để vẽ đồ thị và thực hiện các bài toán liên quan đến bất phương trình và các đường conic, nhưng không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

Kết quả: SKIP