Trang 13 — Chỉnh hợp

Bài tập:

Ví dụ 2

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 55 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ số 1,2,31, 2, 3 và chữ số 1,2,31, 2, 3 luôn ở các vị trí đầu tiên (tức là ta cố định ba chữ số 1,2,31, 2, 3)?

Lời giải: Vì ba chữ số 1, 2, 31,\, 2,\, 3 luôn ở các vị trí đầu tiên, nên ta chỉ cần xếp 33 chữ số còn lại khác nhau trong 33 vị trí ở giữa và cuối.

Ta có 33 cách xếp chữ số vào vị trí thứ tư.

Ta có 22 cách xếp chữ số vào vị trí thứ năm.

Ta có 11 cách xếp chữ số vào vị trí thứ sáu.

Theo quy tắc nhân, ta có 3⋅2⋅1=63 \cdot 2 \cdot 1 = 6 cách.

Kết quả: 6

Luyện tập 2

Cho tập hợp AA gồm nn phần tử (n≥2)(n \ge 2) và một số nguyên kk với 1≤k≤n1 \le k \le n. Kết quả của việc chọn kk phần tử từ tập hợp AA theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập kk của nn phần tử cho.

Không có bài tập nào khác ngoài ví dụ và luyện tập trên. Do đó không có thêm bài tập nào cần giải.

Trang 14 — Tổ hợp

Bài 1. Hãy liệt kê các chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử của tập A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}.

Lời giải:

Các chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử của tập AA là:

  • (1,2,3),(1,2,5),(1,3,2),(1,3,5),(1,4,2),(1,4,5),(1,5,2),(1,5,4),(1, 2, 3), (1, 2, 5), (1, 3, 2), (1, 3, 5), (1, 4, 2), (1, 4, 5), (1, 5, 2), (1, 5, 4),
  • (2,1,3),(2,1,5),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,5),(2,5,1),(2,5,4),(2, 1, 3), (2, 1, 5), (2, 3, 1), (2, 3, 4), (2, 4, 1), (2, 4, 5), (2, 5, 1), (2, 5, 4),
  • (3,1,2),(3,1,4),(3,1,5),(3,2,1),(3,2,4),(3,2,5),(3,4,1),(3,4,5),(3, 1, 2), (3, 1, 4), (3, 1, 5), (3, 2, 1), (3, 2, 4), (3, 2, 5), (3, 4, 1), (3, 4, 5),
  • (3,5,1),(3,5,2),(3,5,4),(3, 5, 1), (3, 5, 2), (3, 5, 4),
  • (4,1,2),(4,1,3),(4,1,5),(4,2,1),(4,2,3),(4,2,5),(4,3,1),(4,3,2),(4, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 1, 5), (4, 2, 1), (4, 2, 3), (4, 2, 5), (4, 3, 1), (4, 3, 2),
  • (4,3,5),(4,5,1),(4,5,2),(4,5,3),(4, 3, 5), (4, 5, 1), (4, 5, 2), (4, 5, 3),
  • (5,1,2),(5,1,3),(5,1,4),(5,2,1),(5,2,3),(5,2,4),(5,3,1),(5,3,2),(5, 1, 2), (5, 1, 3), (5, 1, 4), (5, 2, 1), (5, 2, 3), (5, 2, 4), (5, 3, 1), (5, 3, 2),
  • (5,3,4),(5,4,1),(5,4,2),(5,4,3).(5, 3, 4), (5, 4, 1), (5, 4, 2), (5, 4, 3).

Kết quả: Có 6060 chỉnh hợp chập 33 của 55 phần tử.

Bài 2.

a) Một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cần thành lập một nhóm học sinh tham gia hoạt động thực tế. Sau khi các học sinh được huấn luyện riêng, giáo viên có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong 5 học sinh và nam nữ không phân biệt?

b) Sau khi chọn nhóm học sinh tham gia trình diễn, bạn học hiệu trưởng yêu cầu phải bố trí cách chọn nhóm trình bày và thứ tự?

c) Sau khi chọn nhóm trình diễn và thứ tự, bao nhiêu cách chọn nhóm trải qua và thứ tự?

d) Với cách chọn nhóm trả lời, giáo viên tạo ra một chỉnh hợp chấp 3 của 5 phần tử. Tính số các chỉnh hợp được tạo ra.

Lời giải:

a) Số cách chọn 33 học sinh trong 55 học sinh không phân biệt nam nữ là: $$ A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60. $$

b) Có 6060 cách chọn nhóm trình bày và thứ tự.

c) Có 6060 cách chọn nhóm trải qua và thứ tự.

d) Số chỉnh hợp được tạo ra là 6060.

Kết quả: 60.60.

Bài 3.

Mỗi mã cài đặt của một chiếc điện thoại di động có dạng 66 chữ số, mỗi chữ số là một trong các số 0,1,2,…,8,9.0,1,2,\dots,8,9.

Giả định bạn Linh đặt mật khẩu để bảo vệ nhưng quên hai chữ số. Bạn ấy đặt ngẫu nhiên 2 số từ 1010 số để tạo mật khẩu.

Lời giải:

Mỗi mật khẩu của bạn Linh là một chỉnh hợp chập 66 của 1010 số.

Vậy có: $$ A_{10}^6 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151;200 $$ (cách tạo mật khẩu).

Kết quả: 151  200151\;200.

Trang 15 — Tổ hợp

Bài 1. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Gồm 8 chữ số đôi một khác nhau?

b) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

a) Để lập được số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau, ta có 88 lựa chọn cho chữ số đầu tiên, 77 lựa chọn cho chữ số thứ hai, 66 lựa chọn cho chữ số thứ ba, và tiếp tục đến 11 lựa chọn cho chữ số cuối cùng.

Do đó, số các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau là: $$ 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 8! = 40,320. $$

Kết quả: 40 320.40\,320.

b) Để lập được số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, ta có 88 lựa chọn cho chữ số đầu tiên, 77 lựa chọn cho chữ số thứ hai, 66 lựa chọn cho chữ số thứ ba, 55 lựa chọn cho chữ số thứ tư, 44 lựa chọn cho chữ số thứ năm, và 33 lựa chọn cho chữ số cuối cùng.

Do đó, số các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau là: $$ 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \frac{8!}{2!} = 6! \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 6! \times 28 = 20,160. $$

Kết quả: 20 160.20\,160.

Bài 2. Trong chương trình giáo khoa hiện đại, 60 học sinh được chọn ra để tham gia khối lượng tố C5C_5 của một chương. Các em chọn các ghế rap được sắp thành hàng ghế. Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách xếp 20 ghế dựa vào hàng ghế?

b) Sau khi xếp xong hàng ghế, có bao nhiêu cách xếp 20 bạn để ngồi vào hàng ghế?

c) Sau khi xếp xong hàng ghế song hai hàng ghế, có bao nhiêu cách xếp 20 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ hai?

Lời giải:

a) Để xếp 20 ghế dựa vào hàng ghế, ta có 20!20! cách xếp.

Kết quả: 20!.20!.

b) Sau khi xếp xong hàng ghế, có 6060 lựa chọn cho vị trí đầu tiên, 5959 lựa chọn cho vị trí thứ hai, và tiếp tục đến 4141 lựa chọn cho vị trí cuối cùng.

Do đó, số cách xếp 20 bạn để ngồi vào hàng ghế là: $$ P(60, 20) = \frac{60!}{(60-20)!} = \frac{60!}{40!}. $$

Kết quả: 60!40!.\frac{60!}{40!}.

c) Sau khi xếp xong hàng ghế song hai hàng ghế, có 4040 lựa chọn cho vị trí đầu tiên, 3939 lựa chọn cho vị trí thứ hai, và tiếp tục đến 2121 lựa chọn cho vị trí cuối cùng.

Do đó, số cách xếp 20 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ hai là: $$ P(40, 20) = \frac{40!}{(40-20)!} = \frac{40!}{20!}. $$

Kết quả: 40!20!.\frac{40!}{20!}.

Bài 3. Bạn Việt chọn màu kí hiệu cho email của mình gồm 8 kí tự, trong đó 3 kí hiệu đầu là chữ cái in hoa của bảng chữ cái 26 chữ cái, 5 kí tự kế tiếp là các chữ số từ 00 đến 99, và 3 kí tự cuối là các chữ cái in thường của bảng chữ cái 26 chữ cái. Hỏi bạn Việt có tất cả bao nhiêu cách để tạo ra màu kí hiệu?

Lời giải:

  • Số cách chọn 3 kí hiệu đầu là: 26326^3

  • Số cách chọn 5 kí hiệu tiếp theo là: 10510^5

  • Số cách chọn 3 kí hiệu cuối là: 26326^3

Do đó, số cách để tạo ra màu kí hiệu là: $$ 26^3 \times 10^5 \times 26^3. $$

Kết quả: 263×105×263.26^3 \times 10^5 \times 26^3.

Bài 4. Mỗi máy tính tham gia vào mạng phải có một địa chỉ IP, gọi là địa chỉ IP. Xét tập hợp AA gồm các địa chỉ IP có dạng 192.168.abc.deg192.168.abc.deg, trong đó a,b,ca, b, c là các chữ số từ 00 đến 99, dd là chữ số từ 11 đến 99 (địa chỉ IP chỉ có 1 kí tự dd).

a) Tính số địa chỉ IP có trong tập hợp AA.

b) Xét tập hợp XX gồm các địa chỉ IP với d=2d = 2. Tính số địa chỉ IP có trong tập hợp XX.

Lời giải:

a) Ta có:

  • a,b,ca, b, c có 1010 cách chọn mỗi số.
  • dd có 99 cách chọn.

Do đó, số địa chỉ IP có trong tập hợp AA là: $$ 10 \times 10 \times 10 \times 9 = 9000. $$

Kết quả: 9000.9000.

b) Với d=2d = 2, ta có:

  • a,b,c,e,ga, b, c, e, g có 1010 cách chọn mỗi số.

Do đó, số địa chỉ IP có trong tập hợp XX là: $$ 10 \times 10 \times 10 \times 1 \times 10 \times 10 = 10^5. $$

Kết quả: 105.10^5.

Bài 5. Một nhóm 22 bạn đi tham quan. Nhóm trưởng trong 15 bạn và mỗi bạn đều có số ghế C72C_7^2. Có bao nhiêu cách xếp chọn 77 bạn vào chỗ ngồi?

Lời giải:

Số cách chọn 77 bạn vào chỗ ngồi là: $$ C_{22}^7 = 114,406,6. $$

Kết quả: 177 100.177\,100.

Trang 16 — Tổ hợp

Ví dụ 1. Ban Quân có 44 chiếc áo sơ mi khác màu là: áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo đen. Ban muốn chọn 22 chiếc áo để mặc khi đi du lịch.

Các tổ hợp chập 22 của 44 chiếc áo là:

  • áo vàng và áo xanh;
  • áo vàng và áo trắng;
  • áo vàng và áo đen;
  • áo xanh và áo trắng;
  • áo xanh và áo đen;
  • áo trắng và áo đen.

Lời giải: Các tổ hợp chập 22 của 44 phần tử được lấy ra từ một phần tử của 44 được gọi là một tổ hợp chập 22 của 4.4.

$$ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 $$

Kết quả: 6

Ví dụ 2. Cho tập hợp A={a;b;c;d;e}.A = \{a; b; c; d; e\}. a) Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 33 của 55 phần tử trong A.A. b) Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 33 của 55 phần tử trong A.A. c) So sánh cách lấy ra một tổ hợp chập 33 của 55 phần tử trong A.A.

Lời giải: a) Một tổ hợp chập 33 của 55 phần tử trong AA là {a;c;e}.\{a; c; e\}.

Cách lấy ra một tổ hợp chập 33 của 55 phần tử trong AA là lấy 33 phần tử bất kì từ 55 phần tử trong A.A.

b) Một chỉnh hợp chập 33 của 55 phần tử trong AA là (a;b;c).(a; b; c).

Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 33 của 55 phần tử trong AA là lấy 33 phần tử bất kì từ 55 phần tử trong A,A, rồi xếp theo một thứ tự nào đó.

c) Cách lấy ra một tổ hợp chập 33 của 55 phần tử trong AA là lấy 33 phần tử bất kì từ 55 phần tử trong A,A, không xét đến thứ tự.

Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 33 của 55 phần tử trong AA là lấy 33 phần tử bất kì từ 55 phần tử trong A,A, rồi xếp theo một thứ tự nào đó.

Do đó, cách lấy ở câu b) cũng là cách lấy ở câu a) nhưng xếp theo một thứ tự.

Bài 1. Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 44 bạn Mạnh, Phong, Cương, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 22 bạn để huấn luyện thi đấu cặp đôi nam.

a) Nêu 33 cách chọn cặp đôi.

b) Mỗi cặp đấu gồm 22 bạn với vị trí: bạn thứ nhất và bạn thứ hai.

  • Có bao nhiêu cách chọn cặp đấu bóng bàn nam thi đấu đấu cặp đôi nam.

Lời giải: a) Ba cách chọn cặp đôi là:

  • Mạnh - Phong
  • Mạnh - Cương
  • Phong - Tiến

b) Số cách chọn cặp đấu là số chỉnh hợp chập 22 của 44 phần tử.

$$ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 12 $$

Kết quả: 12