Giải Toán 10 Tập 2 trang 17-20 - Cánh diều

Trang 17 —

Bài tập

Bài 1. Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.

a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?

b) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nam trong 20 bạn nam?

Lời giải:

a) Số cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là số tổ hợp chập 3 của 18, được tính bằng công thức:

$$ C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816 $$

b) Số cách chọn 3 bạn nam trong 20 bạn nam là số tổ hợp chập 3 của 20, được tính bằng công thức:

$$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$$

Kết quả: a) $816$; b) $1140$.

---

Trang 18 — Tổ hợp

Bài 1. Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh được định ra trong 8 điểm đó?

Lời giải:

Ta có thể tính số tam giác bằng cách chọn 3 điểm từ 8 điểm đã cho.

Số cách chọn 3 điểm từ 8 điểm là

$$ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 $$

Kết quả: $56$

Bài 2. Có 10 điểm tham gia một giải đấu có 3 vòng đấu. Có bao nhiêu cách xếp 10 đội vào vòng đấu nếu có hai đội đối đầu đúng một lần?

Lời giải:

Mỗi đội phải đấu với $9$ đội khác. Tuy nhiên, nếu tính $10$ đội $\times$ $9$ trận $= 90$ trận thì mỗi trận đã được tính $2$ lần. Do đó, số trận thực tế là

$$\frac{10 \times 9}{2} = 45$$

Mà mỗi trận có $2$ đội đấu, nên có

$$\binom{10}{2} = 45$$

cặp đấu.

Kết quả: $45$

Bài 3. Khối 10 có 16 học sinh nam và 18 bạn nữ tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường định một tổng số gồm 3 học sinh nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Lời giải:

Số cách chọn $3$ học sinh nam là $$ \binom{16}{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = 560 $$

Số cách chọn $2$ học sinh nữ là $$ \binom{18}{2} = \frac{18!}{2!(18-2)!} = 153 $$

Số cách chọn $3$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ là

$$\binom{16}{3} \times \binom{18}{2} = 560 \times 153 = 85\,680$$

Kết quả: $85\,680$

Bài 4. Một quán nhỏ bày bán hoa gồm 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bó hoa gồm hai loại hoa với số lượng tùy ý sao cho bó vừa có hồng vừa có cúc, và mỗi bó hoa có nhiều nhất 7 bông. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa?

Lời giải:

Trường hợp 1: Mỗi bó có 5 bông, gồm $k$ bông hồng và $5-k$ bông cúc ($0 \le k \le 5$).

Số cách chọn là

$$\binom{50}{k} \times \binom{60}{5-k}$$

với $k = 1,2,3,4$.

Trường hợp 2: Mỗi bó có 6 bông, gồm $k$ bông hồng và $6-k$ bông cúc ($0 \le k \le 6$).

Số cách chọn là

$$\binom{50}{k} \times \binom{60}{6-k}$$

với $k = 1,2,3,4,5$.

Trường hợp 3: Mỗi bó có 7 bông, gồm $k$ bông hồng và $7-k$ bông cúc ($0 \le k \le 7$).

Số cách chọn là

$$\binom{50}{k} \times \binom{60}{7-k}$$

với $k = 1,2,3,4,5,6$.

Tổng số cách chọn là

$$\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{4} \binom{50}{k} \times \binom{60}{5-k} + \sum_{k=1}^{5} \binom{50}{k} \times \binom{60}{6-k} + \sum_{k=1}^{6} \binom{50}{k} \times \binom{60}{7-k} \end{aligned}$$

Dùng máy tính cầm tay ta thu được kết quả $N = 127\,100$.

Kết quả: $127\,100$

Bài 5. Tính tổng $C_{12}^2 + C_{12}^3 + \dots + C_{12}^{12}$.

Lời giải:

Ta có

$$C_n^k = C_n^{n-k}$$

Do đó

$$\begin{aligned} C_{12}^2 + C_{12}^3 + \dots + C_{12}^{12} &= C_{12}^{10} + C_{12}^{9} + \dots + C_{12}^{0} \\ &= C_{12}^{0} + C_{12}^{1} + \dots + C_{12}^{10} \\ &= 2^{12} - C_{12}^{0} - C_{12}^{1} \\ &= 4096 - 1 - 12 \\ &= 4083 \end{aligned}$$

Kết quả: $4083$

---

Trang 19 — Nhị thức Newton

Bài tập

Luyện tập

Không có bài tập cụ thể trên trang này, chỉ có phần lý thuyết và ví dụ minh họa về Nhị thức Newton. Nội dung chủ yếu trình bày công thức khai triển $(a + b)^n$ với $n = 2, 3, 4, 5$, các hệ số nhị thức và cách tính các hệ số này.

Nếu bạn cần hỗ trợ với các bài tập khác liên quan đến nhị thức Newton, vui lòng cung cấp đề bài cụ thể.

---

Trang 20 —

Trang này có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải không?

Trang này có các phần Ví dụ và Bài tập.

Ví dụ 1

Khai triển $(x + 1)^4$.
Lời giải:
Ta có:
$(x + 1)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 . 1 + C_4^2 x^2 . 1^2 + C_4^3 x . 1^3 + C_4^4 . 1^4$
$= x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$.

Ví dụ 2

Khai triển $(x - 1)^4$.
Lời giải:
Ta có:
$(x - 1)^4 = [x + (-1)]^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 . (-1) + C_4^2 x^2 . (-1)^2 + C_4^3 x . (-1)^3 + C_4^4 . (-1)^4$
$= x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$.

Ví dụ 3

Khai triển các biểu thức sau:
a) $(x - 2y)^4$;
b) $(3x - y)^5$.

Lời giải:
a) Ta có:
$(x - 2y)^4 = [x + (-2y)]^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 . (-2y) + C_4^2 x^2 . (-2y)^2 + C_4^3 x . (-2y)^3 + C_4^4 . (-2y)^4$
$= x^4 - 8x^3 y + 24x^2 y^2 - 32xy^3 + 16y^4$.

b) Ta có:
$(3x - y)^5 = [3x + (-y)]^5 = C_5^0 (3x)^5 + C_5^1 (3x)^4 . (-y) + C_5^2 (3x)^3 . (-y)^2 + C_5^3 (3x)^2 . (-y)^3 + C_5^4 (3x) . (-y)^4 + C_5^5 . (-y)^5$
$= 243x^5 - 405x^4 y + 270x^3 y^2 - 90x^2 y^3 + 15xy^4 - y^5$.

Ví dụ 4

Tính:
a) $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$;
b) $C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5$.

Lời giải:
a) Ta có:
$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5 = 32$.

b) Ta có:
$C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = (1 - 1)^5 = 0$.

BÀI TẬP

Bài 1

Khai triển các biểu thức sau:
a) $(2x + 1)^4$;
b) $(3y - 2)^4$;
c) $\left(x + \frac{1}{2}\right)^4$;
d) $\left(x - \frac{1}{3}\right)^4$.

Lời giải:
a) Ta có:
$(2x + 1)^4 = C_4^0 (2x)^4 + C_4^1 (2x)^3 . 1 + C_4^2 (2x)^2 . 1^2 + C_4^3 (2x) . 1^3 + C_4^4 . 1^4$
$= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1$.

b) Ta có:
$(3y - 2)^4 = [3y + (-2)]^4 = C_4^0 (3y)^4 + C_4^1 (3y)^3 . (-2) + C_4^2 (3y)^2 . (-2)^2 + C_4^3 (3y) . (-2)^3 + C_4^4 . (-2)^4$
$= 81y^4 - 216y^3 + 216y^2 - 96y + 16$.

c) Ta có:
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 . \frac{1}{2} + C_4^2 x^2 . \left(\frac{1}{2}\right)^2 + C_4^3 x . \left(\frac{1}{2}\right)^3 + C_4^4 . \left(\frac{1}{2}\right)^4$
$= x^4 + 2x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$.

d) Ta có:
$\left(x - \frac{1}{3}\right)^4 = \left[x + \left(-\frac{1}{3}\right)\right]^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 . \left(-\frac{1}{3}\right) + C_4^2 x^2 . \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + C_4^3 x . \left(-\frac{1}{3}\right)^3 + C_4^4 . \left(-\frac{1}{3}\right)^4$
$= x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{27}x + \frac{1}{81}$.

Bài 2

Khai triển các biểu thức sau:
a) $(x + 1)^5$;
b) $(x - 3y)^5$.

Lời giải:
a) Ta có:
$(x + 1)^5 = C_5^0 x^5 + C_5^1 x^4 . 1 + C_5^2 x^3 . 1^2 + C_5^3 x^2 . 1^3 + C_5^4 x . 1^4 + C_5^5 . 1^5$
$= x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.

b) Ta có:
$(x - 3y)^5 = [x + (-3y)]^5 = C_5^0 x^5 + C_5^1 x^4 . (-3y) + C_5^2 x^3 . (-3y)^2 + C_5^3 x^2 . (-3y)^3 + C_5^4 x . (-3y)^4 + C_5^5 . (-3y)^5$
$= x^5 - 15x^4 y + 135x^3 y^2 - 405x^2 y^3 + 810xy^4 - 243y^5$.

Bài 3

Xác định hệ số của $x^4$ trong khai triển biểu thức $(3x + 2)^5$.

Lời giải:
Ta có:
$(3x + 2)^5 = C_5^0 (3x)^5 + C_5^1 (3x)^4 . 2 + C_5^2 (3x)^3 . 2^2 + C_5^3 (3x)^2 . 2^3 + C_5^4 (3x) . 2^4 + C_5^5 . 2^5$
Hệ số của $x^4$ là $C_5^1 . 3^4 . 2 = 5 . 81 . 2 = 810$.

Bài 4

Cho $\left(1 - \frac{1}{2}\right)^5 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5$.
a) Tính $a_5$.
b) Tính $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$.

Lời giải:
a) Ta có:
$\left(1 - \frac{1}{2}\right)^5 = C_5^0 . 1^5 . \left(-\frac{1}{2}\right)^0 + C_5^1 . 1^4 . \left(-\frac{1}{2}\right) + C_5^2 . 1^3 . \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + C_5^3 . 1^2 . \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + C_5^4 . 1 . \left(-\frac{1}{2}\right)^4 + C_5^5 . \left(-\frac{1}{2}\right)^5$
$\Rightarrow a_5 = C_5^5 . \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{-1}{32}$.

b) Ta có:
$\left(1 - \frac{1}{2}\right)^5 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \left(1 - \frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$.

Bài 5

Cho tập hợp $A$ có 5 phần tử. Số tập hợp con của $A$ là bao nhiêu?

Lời giải:
Số tập hợp con của $A$ là:
$2^5 = 32$.