Trang 21 — Bài tập cuối chương V

Bài 1. Bạn Dương có 22 chiếc quần gồm: một quần màu xanh và một quần màu đen; 33 chiếc áo gồm: một áo màu xanh, một áo màu đỏ và một áo màu vàng; 22 đôi giày gồm: một đôi giày thể thao màu đen và một đôi giày da màu brown. Các món đồ đều khác nhau.

a) Bạn Dương có bao nhiêu cách chọn một chiếc quần?

b) Bạn Dương có bao nhiêu cách chọn một chiếc áo?

c) Bạn Dương có bao nhiêu cách chọn một đôi giày?

d) Bạn Dương có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục?

Lời giải:

a) Bạn Dương có 22 cách chọn một chiếc quần.

b) Bạn Dương có 33 cách chọn một chiếc áo.

c) Bạn Dương có 22 cách chọn một đôi giày.

d) Bạn Dương có 2⋅3⋅2=122 \cdot 3 \cdot 2 = 12 cách chọn một bộ trang phục.

Kết quả:

  • a) 22
  • b) 33
  • c) 22
  • d) 1212

Bài 2. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau?

Lời giải:

  • Chọn chữ số hàng chục: có 99 cách chọn.
  • Chọn chữ số hàng đơn vị: có 88 cách chọn (khác chữ số hàng chục).

Theo quy tắc nhân, số cách lập số có hai chữ số khác nhau là: 9⋅8=729 \cdot 8 = 72.

Kết quả: 7272

Bài 3. Trong một trường, bạn nam có 77 đội bóng chuyền và 55 đội bóng đá. a)a) Có bao nhiêu cách chọn 11 đội bóng chơi thể thao?

b) Có bao nhiêu cách chọn 22 đội bóng chơi thể thao?

Lời giải:

a) Số cách chọn 11 đội bóng chơi thể thao là: 7+5=127 + 5 = 12.

b) Số cách chọn 22 đội bóng chơi thể thao là: $$ \begin{aligned} C_{12}^{2} &= \frac{12!}{2!(12-2)!} \ &= \frac{12 \cdot 11}{2} \ &= 66 \end{aligned} $$

Kết quả:

  • a) 1212
  • b) 6666

Bài 4. Trong mặt phẳng, cho 66 đường thẳng song song và 88 đường thẳng vuông góc với 66 đường thẳng song song đó. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành?

Lời giải:

Để tạo thành một hình chữ nhật, cần chọn 22 đường thẳng song song và 22 đường thẳng vuông góc.

  • Số cách chọn 22 đường thẳng song song:

    C62=6!2!(6−2)!=6⋅52=15\begin{aligned} C_{6}^{2} &= \frac{6!}{2!(6-2)!} \\ &= \frac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 15 \end{aligned}

  • Số cách chọn 22 đường thẳng vuông góc:

    C82=8!2!(8−2)!=8⋅72=28\begin{aligned} C_{8}^{2} &= \frac{8!}{2!(8-2)!} \\ &= \frac{8 \cdot 7}{2} \\ &= 28 \end{aligned}

Số hình chữ nhật được tạo thành là: 15⋅28=42015 \cdot 28 = 420.

Kết quả: 420420

Bài 5. Khai triển các biểu thức sau:

a) (4x+1)5(4x+1)^5

b) (3x+4y)5(3x+4y)^5

Lời giải:

a) (4x+1)5(4x+1)^5

(4x+1)5=(4x)5+5⋅(4x)4⋅1+10⋅(4x)3⋅12+10⋅(4x)2⋅13+5⋅(4x)⋅14+15=1024x5+5⋅256x4+10⋅64x3+10⋅16x2+5⋅4x+1=1024x5+1280x4+640x3+160x2+20x+1\begin{aligned} (4x+1)^5 &= (4x)^5 + 5 \cdot (4x)^4 \cdot 1 + 10 \cdot (4x)^3 \cdot 1^2 + 10 \cdot (4x)^2 \cdot 1^3 + 5 \cdot (4x) \cdot 1^4 + 1^5 \\ &= 1024x^5 + 5 \cdot 256x^4 + 10 \cdot 64x^3 + 10 \cdot 16x^2 + 5 \cdot 4x + 1 \\ &= 1024x^5 + 1280x^4 + 640x^3 + 160x^2 + 20x + 1 \end{aligned}

b) (3x+4y)5(3x+4y)^5

(3x+4y)5=(3x)5+5⋅(3x)4⋅(4y)+10⋅(3x)3⋅(4y)2+10⋅(3x)2⋅(4y)3+5⋅(3x)⋅(4y)4+(4y)5=243x5+5⋅81x4⋅4y+10⋅27x3⋅16y2+10⋅9x2⋅64y3+5⋅3x⋅256y4+1024y5=243x5+1620x4y+4320x3y2+5760x2y3+3840xy4+1024y5\begin{aligned} (3x+4y)^5 &= (3x)^5 + 5 \cdot (3x)^4 \cdot (4y) + 10 \cdot (3x)^3 \cdot (4y)^2 + 10 \cdot (3x)^2 \cdot (4y)^3 + 5 \cdot (3x) \cdot (4y)^4 + (4y)^5 \\ &= 243x^5 + 5 \cdot 81x^4 \cdot 4y + 10 \cdot 27x^3 \cdot 16y^2 + 10 \cdot 9x^2 \cdot 64y^3 + 5 \cdot 3x \cdot 256y^4 + 1024y^5 \\ &= 243x^5 + 1620x^4y + 4320x^3y^2 + 5760x^2y^3 + 3840xy^4 + 1024y^5 \end{aligned}

Kết quả:

  • a) 1024x5+1280x4+640x3+160x2+20x+11024x^5 + 1280x^4 + 640x^3 + 160x^2 + 20x + 1
  • b) 243x5+1620x4y+4320x3y2+5760x2y3+3840xy4+1024y5243x^5 + 1620x^4y + 4320x^3y^2 + 5760x^2y^3 + 3840xy^4 + 1024y^5

Bài 6. Mật khẩu của máy tính là một dãy các kí tự (có thể là chữ, số, kí hiệu). Ban Ngân chọn 11 kí tự ở 2020 kí tự (chữ cái in hoa, số từ 00 đến 99, các kí hiệu !, @, #,%, ...$) là mật khẩu của mình.

a) Bạn Ngân có bao nhiêu cách chọn mật khẩu 11 kí tự.

b) Bạn Ngân có bao nhiêu cách chọn mật khẩu 22 kí tự.

c) Bạn Ngân có bao nhiêu cách chọn mật khẩu 44 kí tự.

Lời giải:

a) Bạn Ngân có 2020 cách chọn mật khẩu 11 kí tự.

b) Bạn Ngân có 20⋅20=40020 \cdot 20 = 400 cách chọn mật khẩu 22 kí tự.

c) Bạn Ngân có 20⋅20⋅20⋅20=16000020 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20 = 160000 cách chọn mật khẩu 44 kí tự.

Kết quả:

  • a) 2020
  • b) 400400
  • c) 160000160000

Bài 7. Một trường trung học phổ thông có 44 lớp 1010, 33 lớp 1111 và 22 lớp 1212. Hội đồng thi đã chọn ngẫu nhiên 22 nam và 22 nữ vào ban nghi thức. Bạn An có 2222 cách chọn 22 nam. Biết rằng bạn An không chọn 22 học sinh cùng lớp.

Lời giải:

Số cách chọn 22 nam: $$ \begin{aligned} C_{n}^{2} &= 22 \ \frac{n!}{2!(n-2)!} &= 22 \ \frac{n(n-1)}{2} &= 22 \ n^2-n-44 &= 0 \end{aligned} $$

Giải phương trình ta có: n=7n=7 hoặc n=−6n=-6 (loại).

Số nam là 77, số nữ là 66.

Số cách chọn 22 nữ: $$ C_{6}^{2} = 15 $$

Số cách chọn 22 nam và 22 nữ: $$ C_{7}^{2} \cdot C_{6}^{2} = 22 \cdot 15 = 330 $$

Kết quả: 330330

Bài 8. Bác Thảo mua 22 chiếc máy tính và được giới thiệu 33 loại: hãng thứ nhất có 44 loại máy tính phù hợp, hãng thứ hai có 55 loại máy tính phù hợp, hãng thứ ba có 77 loại máy tính phù hợp. Bác Thảo có bao nhiêu cách chọn 22 máy tính phù hợp?

Lời giải:

Bác Thảo có 4+5+7=164+5+7=16 cách chọn 11 máy tính phù hợp.

Bác Thảo có C162=120C_{16}^{2} = 120 cách chọn 22 máy tính phù hợp.

Kết quả: 120120

Trang 22 — §1. Số gần đúng. Sai số

Bài tập

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cụ thể trên trang này. Trang này chủ yếu trình bày lý thuyết về số gần đúng và sai số.

SKIP

Trang 23 — Sai số của số gần đúng

Ví dụ 1. Một bông hoa có dạng hình tròn với bán kính 0.8m. Hai bạn Ngân và Anh cùng muốn tính diện tích SS của bông hoa đó. Bạn Ngân lấy π≈3.1\pi \approx 3.1 và được kết quả là S1S_1. Bạn Anh lấy π≈3.14\pi \approx 3.14 và được kết quả là S2S_2. So sánh hai giá trị S1S_1, S2S_2 và sai số tuyệt đối của số gần đúng của π\pi trong phép tính của mỗi bạn.

Lời giải: Ta có S1=3.1×(0.8)2=1.984  (m2);S_1= 3.1 \times (0.8)^2 = 1.984 \; (\text{m}^2);

S2=3.14×(0.8)2=2.0096  (m2);S_2= 3.14 \times (0.8)^2 = 2.0096 \; (\text{m}^2);

Ta thấy: 3.1<3.14⇒3.1×(0.8)2<3.14×(0.8)23.1 < 3.14 \Rightarrow 3.1 \times (0.8)^2 < 3.14 \times (0.8)^2 hay S1<S2.S_1 < S_2.

Suy ra ΔS1=∣S−S1∣=S−S1<S2−S1=2.0096−1.984=0.0256.\Delta_{S_1} = |S - S_1| = S - S_1 < S_2 - S_1 = 2.0096 - 1.984 = 0.0256.

ΔS2=∣S−S2∣=S2−S<S2−S1=2.0096−1.984=0.0256.\Delta_{S_2} = |S - S_2| = S_2 - S < S_2 - S_1 = 2.0096 - 1.984 = 0.0256.

Vậy bạn Anh cho kết quả chính xác hơn.

Kết quả: Bạn Anh cho kết quả chính xác hơn.

Bài tập: Không có bài tập/câu hỏi/luyện tập trên trang này ngoài ví dụ.

Do đó không có thêm nội dung nào khác ngoài nội dung của Ví dụ 1.

Trang 24 —

Bài 2. Độ chính xác của một số gần đúng

a. Hãy ước lượng Δai\Delta a_i của số gần đúng aia_i với độ chính xác dd đã cho trong Ví dụ 1.

Lời giải:

Câu 1:

  • Độ chính xác d=0,01d = 0,01; S1=3,15S_1 = 3,15; S2=3,16S_2 = 3,16

  • Ta có: 3,15≤π<3,163,15 \le \pi < 3,16

  • Từ 0,872<π<(0.82+3,150,87^2 < \pi < (0.8^2+3,15. Suy ra 1.984<S<2,0161.984 < S < 2,016.

  • Vì Δ1=∣S1−S∣<∣3,15−2,016∣=0,032\Delta_1 = |S_1 - S| < |3,15 - 2,016| = 0,032.

  • Ta nói: Kết quả của bạn Ngân có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0320,032 hay độ chính xác là 0,0320,032.

Nhận xét:

  • Giá sử α\alpha là một số gần đúng của α\alpha với độ chính xác dd.

  • Khi đó: α−d≤a≤α+d\alpha - d \le a \le \alpha + d

  • Một cách tổng quát:

Ta nói: Nếu số gần đúng α\alpha với độ chính xác dd thì quy ước viết gọn là α=a±d\alpha = a \pm d.

  • Nhận xét: Nếu Δα\Delta_\alpha thì số gần đúng α\alpha nằm trong đoạn [a−d;a+d][a - d; a + d]. Bởi vì, dd càng nhỏ thì số gần đúng càng chính xác. Điều này cũng giải thích vì sao dd được gọi là độ chính xác của số gần đúng.

Ví dụ 2:

Giải:

  • Độ chính xác d=0,0001d= 0,0001; S1=2,096S_1 = 2,096; S2=2,096S_2 = 2,096

  • Ta có: 3,14<π<3,153,14 < \pi < 3,15

  • Từ (0.8)2<π<(0.82+3,15(0.8)^2 < \pi < (0.8^2+3,15. Suy ra 2.0096<S<2.0162.0096 < S < 2.016.

  • Vì Δ2=∣S2−S∣<∣2.0096−2.016∣=0.0004\Delta_2 = |S_2 - S| < |2.0096 - 2.016| = 0.0004.

  • Ta nói: Kết quả của bạn Anh có sai số tuyệt đối không vượt quá 0.00040.0004 hay độ chính xác là 0.00040.0004. Khi đó thể tích V=2.0096±0.0004V = 2.0096 \pm 0.0004.

Trang 24 —

Bài 3. Sai số tương đối

Các nhà thiên văn tính được thời gian để Trái Đất quay một vòng xung quanh Mặt Trời là 365365 ngày ±1\pm 1 ngày. Bạn Hùng tính thời gian để mỗi vòng xung quanh Trái Đất của Mặt Trăng là khoảng 2727 ngày ±1\pm 1 ngày. Trong hai phép đo trên, phép đo nào chính xác hơn?

Lời giải:

  • Phép đo của các nhà thiên văn:

    • Độ chính xác: d1=1d_1 = 1 ngày.
    • Thời gian: T1=365T_1 = 365 ngày.

  • Phép đo của bạn Hùng:

    • Độ chính xác: d2=1d_2 = 1 ngày.
    • Thời gian: T2=27T_2 = 27 ngày.

  • Sai số tương đối:

    • δ1=d1T1=1365≈0.0027\delta_1 = \frac{d_1}{T_1} = \frac{1}{365} \approx 0.0027
    • δ2=d2T2=127≈0.037\delta_2 = \frac{d_2}{T_2} = \frac{1}{27} \approx 0.037

  • So sánh:

    • Phép đo của các nhà thiên văn chính xác hơn vì sai số tương đối nhỏ hơn.

Kết quả: Phép đo của các nhà thiên văn chính xác hơn.