Giải Toán 10 Tập 2 trang 37-40 - Cánh diều

Trang 37 — Khoảng tứ phân vị

Bài tập

Khoảng tứ phân vị của cỡ áo (cm) của các bạn học sinh lớp 10 ở hai mẫu liệu sau:

Mẫu 1 $6.3, 6.6, 7.5, 8.2, 8.3, 7.8, 7.9, 9.0, 8.9, 7.2, 7.5, 8.7, 7.8, 8.8, 7.6$

Mẫu 2 $6.3, 6.6, 7.2, 7.5, 7.7, 7.8, 7.9, 8.2, 8.3, 8.7, 8.8, 8.9, 9.0$

Lời giải:

a) Tính khoảng biến thiên của mỗi mẫu liệu.

Mẫu 1:

Giá trị lớn nhất: $9.0$
Giá trị nhỏ nhất: $6.3$

$\Rightarrow$ Khoảng biến thiên của mẫu 1: $R_1 = 9.0 - 6.3 = 2.7$

Mẫu 2:

Giá trị lớn nhất: $9.0$
Giá trị nhỏ nhất: $6.3$

$\Rightarrow$ Khoảng biến thiên của mẫu 2: $R_2 = 9.0 - 6.3 = 2.7$

b) Tính khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu liệu.

Sắp xếp mẫu 1 theo thứ tự tăng dần: $6.3, 6.6, 7.2, 7.5, 7.5, 7.6, 7.8, 7.8, 7.9, 8.2, 8.3, 8.7, 8.8, 8.9, 9.0$
Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{15+1}{4} = 4$ $\Rightarrow Q_1 = 7.5$
Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là giá trị thứ $3 \times \frac{15+1}{4} = 12$ $\Rightarrow Q_3 = 8.7$

$\Rightarrow$ Khoảng tứ phân vị của mẫu 1: $\Delta Q_1 = Q_3 - Q_1 = 8.7 - 7.5 = 1.2$

Sắp xếp mẫu 2 theo thứ tự tăng dần: $6.3, 6.6, 7.2, 7.5, 7.7, 7.8, 7.9, 8.2, 8.3, 8.7, 8.8, 8.9, 9.0$
Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là giá trị thứ $\frac{13+1}{4} = 3.5$ $\Rightarrow Q_1 = \frac{7.2+7.5}{2} = 7.35$
Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là giá trị thứ $3 \times \frac{13+1}{4} = 10$ $\Rightarrow Q_3 = 8.7$

$\Rightarrow$ Khoảng tứ phân vị của mẫu 2: $\Delta Q_2 = Q_3 - Q_1 = 8.7 - 7.35 = 1.35$

Kết quả:

Khoảng biến thiên: Mẫu 1: $2.7$ ; Mẫu 2: $2.7$

Khoảng tứ phân vị: Mẫu 1: $1.2$ ; Mẫu 2: $1.35$

2. Ý nghĩa

a) Ý nghĩa của khoảng biến thiên:

Khoảng biến thiên cho biết độ phân tán của các số liệu trong mẫu.
Khoảng biến thiên càng lớn, độ phân tán càng lớn.

b) Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị:

Khoảng tứ phân vị cho biết $50\%$ số liệu nằm trong khoảng có độ phân tán.
Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai.

Kết luận

Trang này có bài tập cần giải.

Trang 38 — Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 1. Cho mẫu số liệu thống kê $\left\{ 8; \ 6; \ 7; \ 5; \ 9; \ 3 \right\}$ (xem Bẳng 4).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu này là $\overline{x} = \frac{8 + 6 + 7 + 5 + 9 + 3}{5} = 7$ .

a) Tính các độ lệch: $(8 - 7), (6 - 7), (7 - 7), (5 - 7), (9 -7), (9 - 7)$ .

b) Tính bình phương của các độ lệch này và tính trung bình cộng của chúng.

Lời giải:

a) Các độ lệch là:

$(8 - 7) = 1$
$(6 - 7) = -1$
$(7 - 7) = 0$
$(5 - 7) = -2$
$(9 - 7) = 2$
$(3 - 7) = -4$

b) Bình phương của các độ lệch là:

$(8 - 7)^2 = 1^2 = 1$
$(6 - 7)^2 = (-1)^2 = 1$
$(7 - 7)^2 = 0^2 = 0$
$(5 - 7)^2 = (-2)^2 = 4$
$(9 - 7)^2 = 2^2 = 4$
$(3 - 7)^2 = (-4)^2 = 16$

Trung bình cộng của các bình phương độ lệch là: $$ \frac{(8 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (7 - 7)^2 + (5 - 7)^2 + (9 - 7)^2 + (3 - 7)^2}{6} = \frac{1 + 1 + 0 + 4 + 4 + 16}{6} = \frac{26}{6} \approx 4.33 $$

Kết quả: $\Large \frac{26}{6}$

Trang 39 — Bài tập phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 1. Trong thưc tế, người ta thường dùng công thức tính phương sai của một mẫu số liệu: $$ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n-1} (x_i - \bar{x})^2 $$ trong đó, $\bar{x}$ là giá trị trung bình của mẫu số liệu, $n$ là số quan sát trong mẫu số liệu.

Giải thích:
Trang này có Bài tập cần giải.

Luyện tập

Luyện tập 1. Kết quả của 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Dũng là:
$$ 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9 \quad 7 $$

Số trung bình cộng của mẫu số liệu (3) là: $\bar{x} = 7$ .
Quan sát Histogram 2 và với độ lệch của số liệu trong mẫu số liệu.

a) Độ đo độ phân tán $M_1H_1; M_2; H_2; M_3H_3; M_4H_4; M_5H_5$ thông qua số trung bình cộng $\bar{x} = 7$ .

b) Tổng $M_1H_1^2 + M_2H_2^2 + M_3H_3^2 + M_4H_4^2 + M_5H_5^2$ và phương sai của mẫu số liệu (3).

Lời giải:

Luyện tập 2

Kết quả của 5 bài kiểm tra môn Toán của bạn Huy là:
$$ 6 \quad 7 \quad 7 \quad 8 \quad 7 $$

a) Tính phương sai của mẫu số liệu (4).

b) So sánh phương sai của mẫu số liệu (4) với phương sai của mẫu số liệu (3) để biết kết quả kiểm tra môn Toán của bạn nào có độ phân tán lớn hơn.

Lời giải:

a) Gọi phương sai của hai mẫu số liệu (3) và (4) lần lượt là $\sigma_3^2$ và $\sigma_4^2$ . Ta có: $$ \sigma_3^2 = 2; $$ $$ \sigma_4^2 = \frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (7-7)^2}{5} = \frac{2}{5} = 0.4 $$

b) Do $0.4 < 2$ nên phương sai của mẫu số liệu (4) nhỏ hơn phương sai của mẫu số liệu (3). Điều này có nghĩa là kết quả kiểm tra môn Toán của bạn Huy đồng đều hơn bạn Dũng.

Kết quả: $\sigma_4^2 = 0.4$

Trang 40 — Độ lệch chuẩn

Bài tập

1. Định nghĩa

Trong Ví dụ 2, ta tính phương sai của mẫu số liệu thống kê $\sigma^2 = 0.4$ . Tính độ lệch chuẩn $\sigma_H$ của mẫu số liệu thống kê đó.

Lời giải:

Độ lệch chuẩn $\sigma_H$ của mẫu số liệu thống kê đó là:

\sigma_H = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{0.4} \approx 0.6325

Kết quả: $0.6325$

2.

Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu liệu thống kê.

Nhận xét: Vì đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của các số liệu thống kê, nên để có số liệu cùng đơn vị với các số liệu thống kê, ta tìm căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu thống kê.

Ví dụ 3. Bảng 5 thống kê nhiệt độ ở thành phố Hồ Chí Minh vào ngày $03/6/2021$ tại một số thời điểm.

Giờ	9h	11h	16h	19h
Nhiệt độ ( $^\circ$ C)	27	26	28	30

a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ Bảng 5.

b) Tính nhiệt độ trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ Bảng 5 là: $27, 26, 28, 30$ .

b) Nhiệt độ trung bình là:

\overline{x} = \frac{27 + 26 + 28 + 30}{4} = \frac{111}{4} = 27.75

Phương sai của mẫu số liệu thống kê đó là:

s^2 = \frac{(27 - 27.75)^2 + (26 - 27.75)^2 + (28 - 27.75)^2 + (30 - 27.75)^2}{4}

= \frac{(-0.75)^2 + (-1.75)^2 + (0.25)^2 + (2.25)^2}{4}

= \frac{0.5625 + 3.0625 + 0.0625 + 5.0625}{4}

= \frac{8.75}{4} = 2.1875

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê đó là:

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2.1875} \approx 1.48

Kết quả: $1.48$