IV. TÍNH HỢP LÍ CỦA SỐ LIỆU THỐNG KÊ

Ta có thể sử dụng các đại lượng đo độ tập trung và độ phân tán đã học để kiểm tra mức độ hợp lí của mẫu liệu không ghép nhóm như sau:

Giả sử Q1,Q2,Q3Q_1, Q_2, Q_3 là các phân vị của mẫu số liệu. Nếu một giá trị trong mẫu liệu lớn hơn Q3+1,5ΔQQ_3 + 1,5 \Delta_Q hoặc nhỏ hơn Q1−1,5ΔQQ_1 - 1,5\Delta_Q thì giá trị đó được xem là giá trị bất thường.

Ví dụ 6

Nếu các số liệu thống kê ΔQ=Q3−Q1\Delta_Q = Q_3 - Q_1 khoảng từ 55 đến 1010 thì giá trị a=Q1−1,5ΔQa = Q_1 - 1,5 \Delta_Q và b=Q3+1,5ΔQb= Q_3 + 1,5 \Delta_Q cho ta cách nhận biết giá trị bất thường của mẫu số liệu.

Ví dụ 7

Các giá trị 5, 6 trong mẫu dữ liệu (7) nhỏ hơn Q1=22−32×10=7Q_1 = 22 - \frac{3}{2} \times 10 = 7 và các giá trị 48, 49 (lớn hơn Q3=32+32×10=47Q_3 = 32 + \frac{3}{2} \times 10 = 47) là các giá trị bất thường của mẫu dữ liệu (7).

Giải

Mẫu số liệu (7): 591216212222242526272829303132333448495\quad 9\quad 12\quad 16\quad 21\quad 22\quad 22\quad 24\quad 25\quad 26\quad 27\quad 28\quad 29\quad 30\quad 31\quad 32\quad 33\quad 34\quad 48 \quad 49

Giả sử Q1,Q2,Q3Q_1, Q_2, Q_3 là các phân vị của mẫu số liệu.

  • Q1=22; Q2=27; Q3=32Q_1 = 22;\, Q_2 = 27;\, Q_3 = 32. Suy ra
ΔQ=Q3−Q1=32−22=10 .\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 32 - 22 = 10\,.

Các giá trị 5,65, 6 (nhỏ hơn Q1−32ΔQ=22−32×10=7Q_1 - \frac{3}{2} \Delta_Q = 22 - \frac{3}{2} \times 10 = 7) và các giá trị 48,4948, 49 (lớn hơn Q3+32ΔQ=32+32×10=47Q_3 + \frac{3}{2} \Delta_Q = 32 + \frac{3}{2} \times 10 = 47) là các giá trị bất thường của mẫu dữ liệu (7).

Kết quả: 5;6;48;49 .5;6;48;49\,.

Trang 42 — Bài tập

Bài 1. Trong 55 lần nhảy xa, bạn Hùng và Trung có kết quả (đơn vị: mét) lần lượt là:

Lần 11 22 33 44 55
Hùng 2.42.4 2.62.6 2.42.4 2.52.5 2.62.6
Trung 2.42.4 2.52.5 2.52.5 2.52.5 2.62.6

a) Kết quả trung bình của mỗi bạn có khác nhau không?

b) Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu thống kê kết quả 55 lần nhảy xa của mỗi bạn. Từ đó cho bạn nào có kết quả nhảy xa đồng đều hơn.

Lời giải:

a) Kết quả trung bình của Hùng:

xˉHuˋng=2.4+2.6+2.4+2.5+2.65=12.55=2.5\bar{x}_{\text{Hùng}} = \frac{2.4 + 2.6 + 2.4 + 2.5 + 2.6}{5} = \frac{12.5}{5} = 2.5

Kết quả trung bình của Trung:

xˉTrung=2.4+2.5+2.5+2.5+2.65=12.55=2.5\bar{x}_{\text{Trung}} = \frac{2.4 + 2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.6}{5} = \frac{12.5}{5} = 2.5

Kết quả trung bình của cả hai bạn là bằng nhau.

b) Phương sai của mẫu số liệu của Hùng:

sHuˋng2=(2.4−2.5)2+(2.6−2.5)2+(2.4−2.5)2+(2.5−2.5)2+(2.6−2.5)25s^2_{\text{Hùng}} = \frac{(2.4 - 2.5)^2 + (2.6 - 2.5)^2 + (2.4 - 2.5)^2 + (2.5 - 2.5)^2 + (2.6 - 2.5)^2}{5} =(−0.1)2+(0.1)2+(−0.1)2+02+(0.1)25=0.01+0.01+0.01+0+0.015=0.045=0.008= \frac{(-0.1)^2 + (0.1)^2 + (-0.1)^2 + 0^2 + (0.1)^2}{5} = \frac{0.01 + 0.01 + 0.01 + 0 + 0.01}{5} = \frac{0.04}{5} = 0.008

Phương sai của mẫu số liệu của Trung:

sTrung2=(2.4−2.5)2+(2.5−2.5)2+(2.5−2.5)2+(2.5−2.5)2+(2.6−2.5)25s^2_{\text{Trung}} = \frac{(2.4 - 2.5)^2 + (2.5 - 2.5)^2 + (2.5 - 2.5)^2 + (2.5 - 2.5)^2 + (2.6 - 2.5)^2}{5} =(−0.1)2+02+02+02+(0.1)25=0.01+0+0+0+0.015=0.025=0.004= \frac{(-0.1)^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 + (0.1)^2}{5} = \frac{0.01 + 0 + 0 + 0 + 0.01}{5} = \frac{0.02}{5} = 0.004

Vì 0.004<0.0080.004 < 0.008, nên Trung có kết quả nhảy xa đồng đều hơn.

Kết quả: Phương sai của Hùng là 0.0080.008, của Trung là 0.0040.004.

Bài 2. Biểu đồ đoạn thẳng Hình 3 biểu diễn tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam giai đoạn 2012−20192012 - 2019.

a) Việt Nam có tốc độ tăng trưởng GDP đạt 7%7\% trong năm nào?

b) Tính tốc độ tăng trưởng GDP trung bình của Việt Nam giai đoạn 2012−20192012 - 2019.

c) Từ biểu đồ, có nhận xét gì về tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam giai đoạn 2012−20192012 - 2019?

d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam giai đoạn 2012−20192012 - 2019.

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị, năm 20182018 Việt Nam có tốc độ tăng trưởng GDP đạt 7.7%7.7\%, gần với 7%7\% nhất, nhưng không có năm nào đạt đúng 7%7\%.

b) Tốc độ tăng trưởng GDP trung bình:

xˉ=5.2+5.4+5.98+6.68+6.4+6.81+7.47+7.728\bar{x} = \frac{5.2 + 5.4 + 5.98 + 6.68 + 6.4 + 6.81 + 7.47 + 7.72}{8} =51.478≈6.43%.= \frac{51.47}{8} \approx 6.43\%.

c) Tốc độ tăng trưởng GDP tăng dần từ 20122012 đến 20182018 và giảm vào năm 20192019.

d) Phương sai:

s2=(5.2−6.43)2+(5.4−6.43)2+(5.98−6.43)2+(6.68−6.43)2+(6.4−6.43)2+(6.81−6.43)2+(7.47−6.43)2+(7.72−6.43)28=(−1.23)2+(−1.03)2+(−0.45)2+(0.25)2+(−0.03)2+(0.38)2+(1.04)2+(1.29)28=1.5129+1.0609+0.2025+0.0625+0.0009+0.1444+1.0816+1.66418=6.72988≈0.84.\begin{aligned} s^2 &= \frac{(5.2 - 6.43)^2 + (5.4 - 6.43)^2 + (5.98 - 6.43)^2 + (6.68 - 6.43)^2 + (6.4 - 6.43)^2 + (6.81 - 6.43)^2 + (7.47 - 6.43)^2 + (7.72 - 6.43)^2}{8} \\ &= \frac{(-1.23)^2 + (-1.03)^2 + (-0.45)^2 + (0.25)^2 + (-0.03)^2 + (0.38)^2 + (1.04)^2 + (1.29)^2}{8} \\ &= \frac{1.5129 + 1.0609 + 0.2025 + 0.0625 + 0.0009 + 0.1444 + 1.0816 + 1.6641}{8} \\ &= \frac{6.7298}{8} \approx 0.84. \end{aligned}

Độ lệch chuẩn:

σ=s2≈0.84≈0.92%.\sigma = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{0.84} \approx 0.92\%.

Kết quả: Tốc độ tăng trưởng GDP trung bình là 6.43%6.43\%, phương sai là 0.840.84, độ lệch chuẩn là 0.92%0.92\%.

Bài 3. Biểu đồ đoạn thẳng Hình 4 biểu diễn giá vàng bạc trong bảy ngày đầu tiên của tháng 66 năm 20212021.

a) Việt mẫu số liệu thống kê giá vàng trong bảy ngày đầu tiên của tháng 66 năm 20212021.

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này.

c) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này.

Lời giải:

a) Mẫu số liệu: 1766,1776,1767,1739,1753,1747,17511766, 1776, 1767, 1739, 1753, 1747, 1751

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 1739,1747,1751,1753,1767,1776,17661739, 1747, 1751, 1753, 1767, 1776, 1766

  • n4=74=1.75\frac{n}{4} = \frac{7}{4} = 1.75, nên Q1Q_1 là số thứ 22:
Q1=1747Q_1 = 1747
  • 3n4=3⋅74=5,25\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 7}{4} = 5{,}25, nên Q3Q_3 là số thứ 66:
Q3=1767Q_3 = 1767

Khoảng tứ phân vị:

ΔQ=Q3−Q1=1767−1747=20\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 1767 - 1747 = 20

c) Phương sai:

s2=(1766−1756.29)2+(1776−1756.29)2+(1767−1756.29)2+(1739−1756.29)2+(1753−1756.29)2+(1747−1756.29)2+(1751−1756.29)27≈96.05+396.05+112.36+289.65+10.85+86.05+27.657=1018.717≈145.53.\begin{aligned} s^2 &= \frac{(1766 - 1756.29)^2 + (1776 - 1756.29)^2 + (1767 - 1756.29)^2 + (1739 - 1756.29)^2 + (1753 - 1756.29)^2 + (1747 - 1756.29)^2 + (1751 - 1756.29)^2}{7} \\ &\approx \frac{96.05 + 396.05 + 112.36 + 289.65 + 10.85 + 86.05 + 27.65}{7} \\ &= \frac{1018.71}{7} \approx 145.53. \end{aligned}

Độ lệch chuẩn:

σ=s2≈145.53≈12.06.\sigma = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{145.53} \approx 12.06.

Kết quả: Khoảng tứ phân vị là 2020, phương sai là 145.53145.53, độ lệch chuẩn là 12.0612.06.

Bài 4. Để biết cây cà chua phát triển như thế nào sau khi gieo hạt, bạn Châu gieo 55 hạt cà chua vào 55 chậu riêng biệt và cung cấp giống nhau. Sau một tuần, bạn Châu thu được bảng số liệu:

Chậu 11 22 33 44 55
Chiều cao (đơn vị: cm) 112112 102102 106106 9494 101101

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu này.

b) Theo em, các cây cà chua phát triển đồng đều hay không?

Lời giải:

a) Trung bình:

xˉ=112+102+106+94+1015=5155=103.\bar{x} = \frac{112 + 102 + 106 + 94 + 101}{5} = \frac{515}{5} = 103.

Phương sai:

s2=(112−103)2+(102−103)2+(106−103)2+(94−103)2+(101−103)25=92+(−1)2+32+(−9)2+(−2)25=81+1+9+81+45=1765=35.2.\begin{aligned} s^2 &= \frac{(112 - 103)^2 + (102 - 103)^2 + (106 - 103)^2 + (94 - 103)^2 + (101 - 103)^2}{5} \\ &= \frac{9^2 + (-1)^2 + 3^2 + (-9)^2 + (-2)^2}{5} \\ &= \frac{81 + 1 + 9 + 81 + 4}{5} = \frac{176}{5} = 35.2. \end{aligned}

Độ lệch chuẩn:

σ=s2=35.2≈5.93.\sigma = \sqrt{s^2} = \sqrt{35.2} \approx 5.93.

b) Vì phương sai và độ lệch chuẩn không quá lớn, các cây cà chua phát triển tương đối đồng đều.

Kết quả: Phương sai là 35.235.2, độ lệch chuẩn là 5.935.93.

Trang 43 — Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản

Trang này có nội dung là phần lý thuyết về xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản, cụ thể là trò chơi tung đồng xu. Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hoặc ví dụ cần giải.

Trang 44 — Xác suất của biến cố trong trò chơi gieo xúc xắc

Ví dụ 1. Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố AA : "Kết quả hai lần tung đồng xu là giống nhau".

Lời giải:

Gọi Ω\Omega là tập hợp các kết quả có thể xảy ra khi tung đồng xu hai lần liên tiếp.

Ta có: Ω={SS;SN;NS;NN}\Omega = \{SS; SN; NS; NN\}.

Số phần tử của tập hợp Ω\Omega là: n(Ω)=4n(\Omega) = 4.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố AA là: A={SS;NN}A = \{SS; NN\}.

Số phần tử của tập hợp AA là: n(A)=2n(A) = 2.

Xác suất của biến cố AA là:

P(A)=n(A)n(Ω)=24=12.P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Kết quả: 12\frac{1}{2}

Ví dụ 2. Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố BB : "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa".

Lời giải:

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố BB là: B={SN;NS;NN}B = \{SN; NS; NN\}.

Số phần tử của tập hợp BB là: n(B)=3n(B) = 3.

Xác suất của biến cố BB là:

P(B)=n(B)n(Ω)=34.P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{3}{4}.

Kết quả: 34\frac{3}{4}

II. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG TRÒ CHƠI GIEO XÚC XẮC

Giao một xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố AA : "Lần gieo thứ hai xuất hiện số chấm là 55".

Lời giải:

Gọi Ω\Omega là tập hợp các kết quả có thể xảy ra khi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp.

Số phần tử của tập hợp Ω\Omega là: n(Ω)=36n(\Omega) = 36.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố AA là: A={(1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(6,5)}A = \{(1,5); (2,5); (3,5); (4,5); (5,5); (6,5)\}.

Số phần tử của tập hợp AA là: n(A)=6n(A) = 6.

Xác suất của biến cố AA là:

P(A)=n(A)n(Ω)=636=16.P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.

Kết quả: 16\frac{1}{6}