Trang 53 — Xác suất

Bài 1. Một hộp có 55 chiếc thẻ cùng loại, mỗi chiếc thẻ được ghi một trong các số 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 22 chiếc thẻ từ hộp.

a) Tính số phần tử của không gian mẫu.

b) Tính xác suất của biến cố "Tích số ghi trên hai thẻ rút ra không chia hết cho 99".

Lời giải:

a) Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 22 thẻ từ 55 thẻ, được tính bằng tổ hợp chập 22 của 55 phần tử:

∣Ω∣=C52=5!2!⋅(5−2)!=5⋅42=10\begin{aligned} |\Omega| = C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \end{aligned}

b) Gọi AA là biến cố "Tích số ghi trên hai thẻ rút ra không chia hết cho 99".

Ta sẽ tìm biến cố đối A‾\overline{A}: "Tích số ghi trên hai thẻ rút ra chia hết cho 99".

Dễ thấy rằng tích của hai số chỉ chia hết cho 99 nếu một trong hai số là 33 và số còn lại là 99. Tuy nhiên trong 55 số đã cho không có số 99, do đó không có trường hợp nào tích của hai số chia hết cho 99.

P(A‾)=0P(A)=1−P(A‾)=1−0=1\begin{aligned} P(\overline{A}) &= 0 \\ P(A) &= 1 - P(\overline{A}) \\ &= 1 - 0 \\ &= 1 \end{aligned}

Kết quả: 11

Bài 2. Một hộp có 44 tấm bìa cùng loại, mỗi tấm bìa được ghi một trong các số 1,2,3,41, 2, 3, 4; hai tấm bìa khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 33 tấm bìa từ hộp.

a) Tính số phần tử của không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau:

  • AA: "Tích số ghi trên 33 tấm bìa rút ra là số chẵn".

  • BB: "Tích số ghi trên 33 tấm bìa rút ra chia hết cho 33".

c) Tính P(A)P(A), P(B)P(B).

Lời giải:

a) Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 33 tấm bìa từ 44 tấm bìa, được tính bằng tổ hợp chập 33 của 44 phần tử:

∣Ω∣=C43=4!3!⋅(4−3)!=4\begin{aligned} |\Omega| = C_4^3 = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = 4 \end{aligned}

b)

  • AA: "Tích số ghi trên 33 tấm bìa rút ra là số chẵn".

Để tích 33 số là chẵn thì ít nhất một trong 33 số phải là số chẵn.

Các bộ 33 thẻ có tích là chẵn: (1,2,3),(1,2,4),(2,3,4)(1,2,3), (1,2,4), (2,3,4).

Số phần tử của biến cố AA là 33.

  • BB: "Tích số ghi trên 33 tấm bìa rút ra chia hết cho 33".

Để tích 33 số chia hết cho 33 thì trong 33 số phải có ít nhất một số chia hết cho 33.

Các bộ 33 thẻ có tích chia hết cho 33: (1,2,3),(1,3,4),(2,3,4)(1,2,3), (1,3,4), (2,3,4).

Số phần tử của biến cố BB là 33.

c) Tính P(A)P(A), P(B)P(B):

P(A)=∣A∣∣Ω∣=34P(B)=∣B∣∣Ω∣=34\begin{aligned} P(A) &= \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{4} \\ P(B) &= \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{3}{4} \end{aligned}

Kết quả: P(A)=34,P(B)=34P(A) = \frac{3}{4}, P(B) = \frac{3}{4}

Bài 3. Hai bạn Nam và Huệ cùng một bạn tên Hoa, Thọ đi vào tiệm chiếu ảnh.

a) Tính số cách chọn ảnh để đề nghị làm một tờ lịch.

b) Nếu có 66 người cùng vào tiệm và chủ tiệm chỉ có 44 bộ ảnh khác nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên 44 người ra có tấm ảnh. Tính xác suất và biến cố "Bốn người ra có cả ba bạn".

Lời giải:

a) Số cách chọn ảnh để đề nghị làm một tờ lịch là số cách chọn 44 người từ 44 người (Nam, Huệ, Hoa, Thọ), được tính bằng tổ hợp chập 44 của 44 phần tử:

∣Ω∣=C44=1\begin{aligned} |\Omega| = C_4^4 = 1 \end{aligned}

b) Số cách chọn 44 người từ 66 người, được tính bằng tổ hợp chập 44 của 66 phần tử:

∣Ω∣=C64=15\begin{aligned} |\Omega| = C_6^4 = 15 \end{aligned}

Số cách chọn 44 người từ 33 bạn (Nam, Huệ, Hoa) là 00 (không thể chọn 44 người từ 33 người).

Vậy xác suất của biến cố "Bốn người ra có cả ba bạn" là 00.

Kết quả: 00

Bài 4. Có 1010 bông hoa màu trắng, 1010 bông hoa màu vàng và 1010 bông hoa màu đỏ. Người ta chọn 44 bông hoa từ hộp đó. Tính xác suất của biến cố "Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu".

Lời giải:

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 44 bông hoa từ 3030 bông hoa:

∣Ω∣=C304\begin{aligned} |\Omega| = C_{30}^4 \end{aligned}

Để bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu thì ta có các trường hợp sau:

  • 11 trắng, 11 vàng, 22 đỏ: C101⋅C101⋅C102\quad C_{10}^1 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{10}^2

  • 11 trắng, 22 vàng, 11 đỏ: C101⋅C102⋅C101\quad C_{10}^1 \cdot C_{10}^2 \cdot C_{10}^1

  • 22 trắng, 11 vàng, 11 đỏ: C102⋅C101⋅C101\quad C_{10}^2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{10}^1

Tổng số phần tử của biến cố là:

∣B∣=C101⋅C101⋅C102+C101⋅C102⋅C101+C102⋅C101⋅C101=2⋅C101⋅C101⋅C102+(C102⋅C101⋅C101)=2⋅10⋅10⋅45+45⋅10⋅10=13500\begin{aligned} |B| &= C_{10}^1 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{10}^2 + C_{10}^1 \cdot C_{10}^2 \cdot C_{10}^1 + C_{10}^2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{10}^1 \\ &= 2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{10}^2 + (C_{10}^2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{10}^1) \\ &= 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 45 + 45 \cdot 10 \cdot 10 \\ &= 13500 \end{aligned}

Xác suất của biến cố:

P(B)=∣B∣∣Ω∣=13500C304≈0.048\begin{aligned} P(B) &= \frac{|B|}{|\Omega|} \\ &= \frac{13500}{C_{30}^4} \\ &\approx 0.048 \end{aligned}

Kết quả: ≈0.048\approx 0.048

Trang 54 — Bài tập cuối chương VI

Bài 1. Bốn bạn Anh, Bình, Cựờng, Hoa thi vào trường trung học phổ thông chọn lọc cao Bình Minh. Kết quả chỉ tiêu vào lớp theo bảng thống kê sau:

Học sinh Điểm Toán Điểm Ngữ văn Điểm Tiếng Anh
Anh 1010 88 1010
Bình 66 77 55
Cường 99 88 99
Hoa 88 66 99

Quy định:

  • Điểm trung bình viết là ĐTB và tính theo công thức:

ĐTB =Điểm Toaˊn+Điểm Ngữ va˘n+Điểm Tieˆˊng Anh3= \frac{\text{Điểm Toán} + \text{Điểm Ngữ văn} + \text{Điểm Tiếng Anh}}{3}

  • Điểm trung bình môn Toán viết là ĐTB T và tính theo công thức: ĐTB T =2×Điểm Toaˊn+Điểm Ngữ va˘n+Điểm Tieˆˊng Anh4= \frac{2 \times \text{Điểm Toán} + \text{Điểm Ngữ văn} + \text{Điểm Tiếng Anh}}{4}

  • Điểm trung bình môn Văn viết là ĐTB V và tính theo công thức: ĐTB V =Điểm Toaˊn+2×Điểm Ngữ va˘n+Điểm Tieˆˊng Anh4= \frac{\text{Điểm Toán} + 2 \times \text{Điểm Ngữ văn} + \text{Điểm Tiếng Anh}}{4}

  • Điểm trung bình môn Anh viết là ĐTB A và tính theo công thức: ĐTB A =Điểm Toaˊn+Điểm Ngữ va˘n+2×Điểm Tieˆˊng Anh4= \frac{\text{Điểm Toán} + \text{Điểm Ngữ văn} + 2 \times \text{Điểm Tiếng Anh}}{4}

Cách thức tuyển như sau:

  • Trúng tuyển: ĐTB >7.5> 7.5;
  • Trúng tuyển lớp Toán: ĐTB T >9> 9;
  • Trúng tuyển lớp Văn: ĐTB V >8> 8;
  • Trúng tuyển lớp Tiếng Anh: ĐTB A >8.5> 8.5.

Hãy lập bảng kết quả theo mẫu dưới đây và xem mỗi bạn có những lớp nào (lần lượt các lớp Toán, Văn, Anh).

Học sinh ĐTB ĐTB T ĐTB V ĐTB A Kết quả
Anh ? ? ? ? ?
Bình ? ? ? ? ?
Cường ? ? ? ? ?
Hoa ? ? ? ? ?

Lời giải:

Tính ĐTB cho từng học sinh:

1. Học sinh Anh:

  • ĐTB

    ĐTB=10+8+103=283≈9.33\text{ĐTB} = \frac{10 + 8 + 10}{3} = \frac{28}{3} \approx 9.33

  • ĐTB T

    ĐTB T=2×10+8+104=20+8+104=384=9.5\text{ĐTB T} = \frac{2 \times 10 + 8 + 10}{4} = \frac{20 + 8 + 10}{4} = \frac{38}{4} = 9.5

  • ĐTB V

    ĐTB V=10+2×8+104=10+16+104=364=9\text{ĐTB V} = \frac{10 + 2 \times 8 + 10}{4} = \frac{10 + 16 + 10}{4} = \frac{36}{4} = 9

  • ĐTB A

    ĐTB A=10+8+2×104=10+8+204=384=9.5\text{ĐTB A} = \frac{10 + 8 + 2 \times 10}{4} = \frac{10 + 8 + 20}{4} = \frac{38}{4} = 9.5

  • Kết quả:

    • Trúng tuyển vì ĐTB≈9.33>7.5\text{ĐTB} \approx 9.33 > 7.5.
    • Trúng tuyển lớp Toán vì ĐTB T=9.5>9\text{ĐTB T} = 9.5 > 9.
    • Trúng tuyển lớp Tiếng Anh vì ĐTB A=9.5>8.5\text{ĐTB A} = 9.5 > 8.5.
    • Không trúng tuyển lớp Văn vì ĐTB V=9>8\text{ĐTB V} = 9 > 8.

2. Học sinh Bình:

  • ĐTB

    ĐTB=6+7+53=183=6\text{ĐTB} = \frac{6 + 7 + 5}{3} = \frac{18}{3} = 6

  • ĐTB T

    ĐTB T=2×6+7+54=12+7+54=244=6\text{ĐTB T} = \frac{2 \times 6 + 7 + 5}{4} = \frac{12 + 7 + 5}{4} = \frac{24}{4} = 6

  • ĐTB V

    ĐTB V=6+2×7+54=6+14+54=254=6.25\text{ĐTB V} = \frac{6 + 2 \times 7 + 5}{4} = \frac{6 + 14 + 5}{4} = \frac{25}{4} = 6.25

  • ĐTB A

    ĐTB A=6+7+2×54=6+7+104=234=5.75\text{ĐTB A} = \frac{6 + 7 + 2 \times 5}{4} = \frac{6 + 7 + 10}{4} = \frac{23}{4} = 5.75

  • Kết quả:

    • Không trúng tuyển vì ĐTB=6<7.5\text{ĐTB} = 6 < 7.5.
    • Không trúng tuyển các lớp Toán, Văn, Anh.

3. Học sinh Cường:

  • ĐTB

    ĐTB=9+8+93=263≈8.67\text{ĐTB} = \frac{9 + 8 + 9}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67

  • ĐTB T

    ĐTB T=2×9+8+94=18+8+94=354=8.75\text{ĐTB T} = \frac{2 \times 9 + 8 + 9}{4} = \frac{18 + 8 + 9}{4} = \frac{35}{4} = 8.75

  • ĐTB V

    ĐTB V=9+2×8+94=9+16+94=344=8.5\text{ĐTB V} = \frac{9 + 2 \times 8 + 9}{4} = \frac{9 + 16 + 9}{4} = \frac{34}{4} = 8.5

  • ĐTB A

    ĐTB A=9+8+2×94=9+8+184=354=8.75\text{ĐTB A} = \frac{9 + 8 + 2 \times 9}{4} = \frac{9 + 8 + 18}{4} = \frac{35}{4} = 8.75

  • Kết quả:

    • Trúng tuyển vì ĐTB≈8.67>7.5\text{ĐTB} \approx 8.67 > 7.5.
    • Trúng tuyển lớp Toán vì ĐTB T=8.75>9\text{ĐTB T} = 8.75 > 9 (không trúng tuyển).
    • Trúng tuyển lớp Văn vì ĐTB V=8.5>8\text{ĐTB V} = 8.5 > 8.
    • Trúng tuyển lớp Tiếng Anh vì ĐTB A=8.75>8.5\text{ĐTB A} = 8.75 > 8.5.

4. Học sinh Hoa:

  • ĐTB

    ĐTB=8+6+93=233≈7.67\text{ĐTB} = \frac{8 + 6 + 9}{3} = \frac{23}{3} \approx 7.67

  • ĐTB T

    ĐTB T=2×8+6+94=16+6+94=314=7.75\text{ĐTB T} = \frac{2 \times 8 + 6 + 9}{4} = \frac{16 + 6 + 9}{4} = \frac{31}{4} = 7.75

  • ĐTB V

    ĐTB V=8+2×6+94=8+12+94=294=7.25\text{ĐTB V} = \frac{8 + 2 \times 6 + 9}{4} = \frac{8 + 12 + 9}{4} = \frac{29}{4} = 7.25

  • ĐTB A

    ĐTB A=8+6+2×94=8+6+184=324=8\text{ĐTB A} = \frac{8 + 6 + 2 \times 9}{4} = \frac{8 + 6 + 18}{4} = \frac{32}{4} = 8

  • Kết quả:

    • Trúng tuyển vì ĐTB≈7.67>7.5\text{ĐTB} \approx 7.67 > 7.5.
    • Không trúng tuyển lớp Toán vì ĐTB T=7.75<9\text{ĐTB T} = 7.75 < 9.
    • Không trúng tuyển lớp Văn vì ĐTB V=7.25<8\text{ĐTB V} = 7.25 < 8.
    • Trúng tuyển lớp Tiếng Anh vì ĐTB A=8>8.5\text{ĐTB A} = 8 > 8.5 (không trúng tuyển).

Bảng Kết Quả:

Học sinh ĐTB ĐTB T ĐTB V ĐTB A Kết quả
Anh 9.339.33 9.59.5 99 9.59.5 Toán, Tiếng Anh
Bình 66 66 6.256.25 5.755.75 Không trúng tuyển
Cường 8.678.67 8.758.75 8.58.5 8.758.75 Văn, Tiếng Anh
Hoa 7.677.67 7.757.75 7.257.25 88 Tiếng Anh

Trang 55 — Bài tập

Bài 2.

Bài 2:

Biểu đồ đoạn thẳng ở Hình 6 cho biết lượng khách du lịch quốc tế đến Việt Nam trong một số năm từ 20102010 đến 20192019.

a) Việt Nam nhận được bao nhiêu khách du lịch quốc tế trong năm 20152015?

b) Từ năm 20102010 đến năm 20192019, lượng khách du lịch quốc tế đến Việt Nam có xu hướng tăng hay giảm?

c) Tính số khách du lịch quốc tế đến Việt Nam trong năm 20162016 và năm 20182018?

d) Tìm trung bình cộng, trong các số liệu đã tìm được ở câu c, số nào lớn hơn?

Lời giải:

a) Quan sát biểu đồ, ta thấy lượng khách du lịch quốc tế đến Việt Nam trong năm 20152015 là 1010 triệu lượt.

b) Từ năm 20102010 đến năm 20192019, lượng khách du lịch quốc tế đến Việt Nam có xu hướng tăng.

c) Ta có:

  • Năm 20162016: 1515 triệu lượt.

  • Năm 20182018: 1818 triệu lượt.

d) Trung bình cộng số khách du lịch quốc tế đến Việt Nam trong năm 20162016 và năm 20182018 là:

15+182=16,5 triệu lượt.\frac{15 + 18}{2} = 16,5 \text{ triệu lượt.}

Ta có: 16,5>1516,5 > 15 và 16,5<1816,5 < 18.

Vậy số khách du lịch quốc tế đến Việt Nam trong năm 20182018 lớn hơn.

Kết quả:

  • Năm 20152015: 1010 triệu lượt.

  • Năm 20162016: 1515 triệu lượt.

  • Năm 20182018: 1818 triệu lượt.

  • Trung bình cộng: 16,516,5 triệu lượt.

Bài 3.

Lớp 10A có 4040 học sinh. Tỉ số phần trăm về phương tiện mà các bạn đi đến trường được mô tả ở Hình 7.

a) Có bao nhiêu bạn đi xe đạp đến trường?

b) Chỉ có một số bạn đi bộ đến trường. Tính số bạn đi bộ đến trường?

c) Biết rằng 30%30\% số bạn trong lớp được chọn tham gia quy trình tiếp thị sản phẩm của công ty. Tính số bạn được chọn?

d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

Lời giải:

a) Số bạn đi xe đạp đến trường là:

40×30%=40×0,3=12 bạn.40 \times 30\% = 40 \times 0,3 = 12 \text{ bạn.}

b) Số bạn đi bộ đến trường là:

40×50%=40×0,5=20 bạn.40 \times 50\% = 40 \times 0,5 = 20 \text{ bạn.}

c) Số bạn được chọn tham gia quy trình tiếp thị sản phẩm của công ty là:

40×30%=40×0,3=12 bạn.40 \times 30\% = 40 \times 0,3 = 12 \text{ bạn.}

d)

  • Số bạn đi ô tô: 40×20%=840 \times 20\% = 8 bạn.

  • Mẫu số liệu: 12,20,812, 20, 8.

  • Số phần tử: n=3n = 3.

  • Trung bình cộng:

xˉ=12+20+83=403≈13,33.\bar{x} = \frac{12 + 20 + 8}{3} = \frac{40}{3} \approx 13,33.
  • Phương sai:
s^2 = \frac{1}{3} \left( 12 - \frac{40}{3} \right)^2 + \left( 20 - \frac{40}{3} \right)^2 + \left( 8 - \frac{40}{3} \right)^2 \right) = \frac{344}{9} \approx 38,22.
  • Độ lệch chuẩn:
s=3449≈6,19.s = \sqrt{\frac{344}{9}} \approx 6,19.

Kết quả:

  • Số bạn đi xe đạp: 1212 bạn.

  • Số bạn đi bộ: 2020 bạn.

  • Số bạn được chọn: 1212 bạn.

  • Phương sai: s2≈38,22s^2 \approx 38,22.

  • Độ lệch chuẩn: s≈6,19s \approx 6,19.

Bài 5.

Trong một hội thảo quốc tế có 1010 thành viên, gia đình của các ông A, B, C, D, E, F, G, H, I, J có 44 cháu ngoại ở tuổi từ 55 đến 1010 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 22 cháu trong số đó tham gia vào hoạt động. Xác suất để 22 cháu được chọn có hữu cùng cha mẹ là bao nhiêu?

Lời giải:

  • Số phần tử của không gian mẫu:
n(Ω)=C102=45.n(\Omega) = C_{10}^2 = 45.

  • Gọi AA là biến cố 22 cháu được chọn có cùng cha mẹ.

  • Ta có: n(A)=C42=6n(A) = C_4^2 = 6.

  • Xác suất của biến cố AA:

P(A)=n(A)n(Ω)=645=215.P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}.

Kết quả: 215\frac{2}{15}

Bài 6.

Trong một buổi khiêu vũ có 1010 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 22 người để tham gia trò chơi. Xác suất để 22 người được chọn không cùng là một đôi là bao nhiêu?

Lời giải:

  • Số phần tử của không gian mẫu:
n(Ω)=C202=190.n(\Omega) = C_{20}^2 = 190.

  • Gọi AA là biến cố 22 người được chọn không cùng là một đôi.

  • Số cách chọn 22 người cùng là một đôi: 1010.

  • Số cách chọn 22 người không cùng là một đôi:

n(A)=190−10=180.n(A) = 190 - 10 = 180.
  • Xác suất của biến cố AA:
P(A)=n(A)n(Ω)=180190=1819.P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{180}{190} = \frac{18}{19}.

Kết quả: 1819\frac{18}{19}

Bài 7.

Một hộp có 2020 sản phẩm bao gồm 1616 phẩm và 44 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 33 sản phẩm.

a) Có bao nhiêu kết quả xảy ra khi chọn ngẫu nhiên 33 sản phẩm?

b) Tính xác suất để trong 33 sản phẩm được chọn không có phế phẩm.

Lời giải:

a) Số kết quả xảy ra khi chọn ngẫu nhiên 33 sản phẩm:

n(Ω)=C203=1140.n(\Omega) = C_{20}^3 = 1140.

b) Gọi AA là biến cố 33 sản phẩm được chọn không có phế phẩm.

  • Số cách chọn 33 sản phẩm không có phế phẩm:
n(A)=C163=560.n(A) = C_{16}^3 = 560.
  • Xác suất của biến cố AA:
P(A)=n(A)n(Ω)=5601140=2857.P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{560}{1140} = \frac{28}{57}.

Kết quả:

  • Số kết quả: 11401140.

  • Xác suất: 2857\frac{28}{57}.

Bài 8.

Trong một hộp có 2020 chiếc thẻ được viết các số 1,2,3,…,201, 2, 3, …, 20. Chọn ngẫu nhiên 22 thẻ. Tính xác suất để trong 22 thẻ được chọn có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 22.

Lời giải:

  • Số phần tử của không gian mẫu:
n(Ω)=C202=190.n(\Omega) = C_{20}^2 = 190.

  • Gọi AA là biến cố 22 thẻ được chọn có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 22.

  • Số thẻ ghi số chia hết cho 22: 1010.

  • Số thẻ ghi số không chia hết cho 22: 1010.

  • Xác suất để 22 thẻ được chọn không có thẻ nào ghi số chia hết cho 22:

P(A‾)=C102C202=45190=938.P(\overline{A}) = \frac{C_{10}^2}{C_{20}^2} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38}.
  • Xác suất của biến cố AA:
P(A)=1−P(A‾)=1−938=2938.P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{9}{38} = \frac{29}{38}.

Kết quả: 2938\frac{29}{38}

Trang 56 — Hoạt động thực hành và trải nghiệm

Trang này không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải.

SKIP