Trang 57 —

Bài tập

Bài 1

Một công ty thống kê được số sản phẩm bán được của một sản phẩm từ năm 2017 đến năm 2020 như sau:

Năm 2017 2018 2019 2020
Doanh thu (triệu sản phẩm) 14 22 28 31

Bằng cách sử dụng hàm số bậc hai, nếu mô hình toàn bộ doanh thu (triệu sản phẩm) y=f(x)y=f(x) của công ty trong các năm từ 2017 đến 2020, ta có hệ điều kiện như sau:

$$ \begin{cases} f(0) = 14 \ f(1) = 22 \ f(2) = 28 \ f(3) = 31 \end{cases} $$

Lời giải:

Bước 1:

Giả sử hàm số bậc hai có dạng: f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c.

Bước 2:

Áp dụng điều kiện:

  • f(0)=14⇒c=14f(0) = 14 \Rightarrow c = 14
  • f(1)=22⇒a+b+14=22f(1) = 22 \Rightarrow a + b + 14 = 22
  • f(2)=28⇒4a+2b+14=28f(2) = 28 \Rightarrow 4a + 2b + 14 = 28
  • f(3)=31⇒9a+3b+14=31f(3) = 31 \Rightarrow 9a + 3b + 14 = 31

Bước 3:

Giải hệ phương trình:

  1. a+b=8a + b = 8
  2. 4a+2b=144a + 2b = 14
  3. 9a+3b=179a + 3b = 17

Từ phương trình 1: b=8−ab = 8 - a

Thay vào phương trình 2: 4a+2(8−a)=144a + 2(8 - a) = 14 4a+16−2a=144a + 16 - 2a = 14 2a=−22a = -2 a=−1a = -1

Thay a=−1a = -1 vào phương trình 1: −1+b=8-1 + b = 8 b=9b = 9

Bước 4:

Hàm số cần tìm: f(x)=−x2+9x+14f(x) = -x^2 + 9x + 14.

Bước 5:

Dự đoán số sản phẩm bán được vào các năm 2021, 2022:

  • Năm 2021: x=4⇒f(4)=−42+9⋅4+14=−16+36+14=34x = 4 \Rightarrow f(4) = -4^2 + 9 \cdot 4 + 14 = -16 + 36 + 14 = 34

  • Năm 2022: x=5⇒f(5)=−52+9⋅5+14=−25+45+14=34x = 5 \Rightarrow f(5) = -5^2 + 9 \cdot 5 + 14 = -25 + 45 + 14 = 34

Kết quả: 3434 triệu sản phẩm.

Trang 58 — Bài tập

Bài 3. Dựa theo mẫu hình hàm bậc hai f(x)=5.7x+15.2f(x) = 5.7x + 15.2, ta dự đoán số sản phẩm bán được trong các năm 2021,20222021, 2022 lần lượt là:

  • f(4)=5.7⋅4+15.2=38f(4) = 5.7 \cdot 4 + 15.2 = 38
  • f(5)=5.7⋅5+15.2=43.7≈44f(5) = 5.7 \cdot 5 + 15.2 = 43.7 \approx 44

Lời giải:

Mẫu hình hàm bậc hai cho số liệu sản phẩm bán được qua các năm:

  • Năm 20172017: 1515 triệu sản phẩm
  • Năm 20182018: 2525 triệu sản phẩm
  • Năm 20192019: 4242 triệu sản phẩm
  • Năm 20202020: 4848 triệu sản phẩm

Dựa vào số liệu, ta có thể lập bảng và tìm hàm bậc hai phù hợp. Giả sử hàm bậc hai có dạng:

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c

với xx là số năm kể từ 20172017.

Bước 1: Thiết lập hệ phương trình

  • Năm 20172017: x=0,f(x)=15x = 0, f(x) = 15
  • Năm 20182018: x=1,f(x)=25x = 1, f(x) = 25
  • Năm 20192019: x=2,f(x)=42x = 2, f(x) = 42
  • Năm 20202020: x=3,f(x)=48x = 3, f(x) = 48

Thay các giá trị vào hàm số:

c=15,a+b+c=25,4a+2b+c=42,9a+3b+c=48.\begin{aligned} c &= 15, \\ a + b + c &= 25, \\ 4a + 2b + c &= 42, \\ 9a + 3b + c &= 48. \end{aligned}

Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ c=15c = 15, các phương trình trở thành:

a+b=10,4a+2b=27,9a+3b=33.\begin{aligned} a + b &= 10, \\ 4a + 2b &= 27, \\ 9a + 3b &= 33. \end{aligned}

Nhân phương trình đầu với 22:

2a+2b=20.2a + 2b = 20.

Trừ phương trình này cho 4a+2b=274a + 2b = 27:

2a=7⇒a=3.5.2a = 7 \Rightarrow a = 3.5.

Thay a=3.5a = 3.5 vào a+b=10a + b = 10:

3.5+b=10⇒b=6.5.3.5 + b = 10 \Rightarrow b = 6.5.

Bước 3: Dự đoán số sản phẩm bán được

Hàm số là:

f(x)=3.5x2+6.5x+15.f(x) = 3.5x^2 + 6.5x + 15.
  • Năm 20212021: x=4x = 4
f(4)=3.5⋅16+6.5⋅4+15=56+26+15=97.f(4) = 3.5 \cdot 16 + 6.5 \cdot 4 + 15 = 56 + 26 + 15 = 97.
  • Năm 20222022: x=5x = 5
f(5)=3.5⋅25+6.5⋅5+15=87.5+32.5+15=135.f(5) = 3.5 \cdot 25 + 6.5 \cdot 5 + 15 = 87.5 + 32.5 + 15 = 135.

Kết quả: 9797 và 135135

Bài 4. Dự đoán trên có hợp lí, vì tốc độ tăng trưởng sản phẩm qua các năm có xu hướng tăng.

Ví dụ 2. Một công ty thống kê số sản phẩm bán được mỗi năm từ năm 20172017 đến năm 20202020 như sau:

Năm 20172017 20182018 20192019 20202020
Doanh số sản phẩm 1515 2525 4242 4848

a) Bằng cách sử dụng hàm bậc hai, nếu biết hàm này được xác định trên khoảng [2017;+∞)[2017; +\infty) thì có dự đoán được số sản phẩm bán ra trong các năm 20212021 và 20222022 hay không? Vì sao?

b) Dựa theo mô hình tính toán, công ty có nên sản xuất thêm sản phẩm mới vào năm 20232023 hay không?

Lời giải:

a) Để dự đoán số sản phẩm bán ra trong các năm 20212021 và 20222022, ta cần xác định hàm bậc hai f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c phù hợp với dữ liệu đã cho.

Bước 1: Thiết lập hệ phương trình

  • Năm 20172017: x=2017,f(x)=15x = 2017, f(x) = 15
  • Năm 20182018: x=2018,f(x)=25x = 2018, f(x) = 25
  • Năm 20192019: x=2019,f(x)=42x = 2019, f(x) = 42
  • Năm 20202020: x=2020,f(x)=48x = 2020, f(x) = 48

Đặt t=x−2017t = x - 2017:

  • Năm 20172017: t=0,f(t)=15t = 0, f(t) = 15
  • Năm 20182018: t=1,f(t)=25t = 1, f(t) = 25
  • Năm 20192019: t=2,f(t)=42t = 2, f(t) = 42
  • Năm 20202020: t=3,f(t)=48t = 3, f(t) = 48

Hàm số có dạng:

f(t)=at2+bt+c.f(t) = at^2 + bt + c.

Thay các giá trị:

c=15,a+b+c=25,4a+2b+c=42,9a+3b+c=48.\begin{aligned} c &= 15, \\ a + b + c &= 25, \\ 4a + 2b + c &= 42, \\ 9a + 3b + c &= 48. \end{aligned}

Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ c=15c = 15, các phương trình trở thành:

a+b=10,4a+2b=27,9a+3b=33.\begin{aligned} a + b &= 10, \\ 4a + 2b &= 27, \\ 9a + 3b &= 33. \end{aligned}

Tương tự trước đó:

a=3.5,b=6.5.a = 3.5, b = 6.5.

Bước 3: Dự đoán số sản phẩm bán được

Hàm số là:

f(t)=3.5t2+6.5t+15.f(t) = 3.5t^2 + 6.5t + 15.
  • Năm 20212021: t=4t = 4
f(4)=3.5⋅16+6.5⋅4+15=56+26+15=97.f(4) = 3.5 \cdot 16 + 6.5 \cdot 4 + 15 = 56 + 26 + 15 = 97.
  • Năm 20222022: t=5t = 5
f(5)=3.5⋅25+6.5⋅5+15=87.5+32.5+15=135.f(5) = 3.5 \cdot 25 + 6.5 \cdot 5 + 15 = 87.5 + 32.5 + 15 = 135.

b) Dựa vào mô hình, nếu công ty tiếp tục sản xuất sản phẩm hiện tại:

  • Năm 20232023: t=6t = 6
f(6)=3.5⋅36+6.5⋅6+15=126+39+15=180.f(6) = 3.5 \cdot 36 + 6.5 \cdot 6 + 15 = 126 + 39 + 15 = 180.

Nếu doanh số tiếp tục tăng, công ty có thể cân nhắc sản xuất thêm. Tuy nhiên, cần xem xét các yếu tố thị trường khác.

Kết quả: Có thể dự đoán và nên cân nhắc sản xuất thêm sản phẩm mới vào năm 20232023.

Trang 59 — Giải bài tập

Bài 1. Giải cho các bài hữu ích.

Bài 1: Lựa chọn các biểu thức đại số về tốc độ là hàm phân tỏa độ.

Đặt dt={2017;2018;2019;2020}d_t = \{2017; 2018; 2019; 2020\} với t∈{2017;2018;2019;2020}t \in \{2017; 2018; 2019; 2020\}. Ta có x∈{0;1;2;3}x \in \{0; 1; 2; 3\}.

Từ Bảng 3, ta có bảng thống kê sau:

xx 00 11 22 33
Số sản phẩm tăng thêm trong xx (triệu tấn đá) 1515 2525 4242 4848

Xét các điểm A(0;15)A(0; 15), B(1;25)B(1; 25), C(2;42)C(2; 42) và D(3;48)D(3; 48) trong mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Bài 2

Xem số sản phẩm tăng thêm f(x)f(x) là hàm bậc ba của xx. Ta phải chọn f(x)f(x) là hàm bậc ba sao cho f(0)=15f(0) = 15 (căn chỉnh sao cho số sản phẩm tăng thêm năm 2017 là 1515), f(1)=25f(1) = 25, f(2)=42f(2) = 42 và f(3)=48f(3) = 48.

Cần phải vẽ đồ thị hàm f(x)f(x) với x∈[0;3]x \in [0; 3] từ các điểm A(0;15)A(0; 15), B(1;25)B(1; 25), C(2;42)C(2; 42) và D(3;48)D(3; 48) trong mặt phẳng tọa độ bằng cách dựng các điểm nêu trên.

Dựa vào đồ thị hàm bậc ba f(x)=−x3+14,6x2+14,1f(x) = -x^3 + 14,6x^2 + 14,1, ta có:

  • Sử dụng công cụ vẽ đồ thị hàm số trên máy tính:
    • Nhập phương trình: f(x)=-x^3+14.6x^2+14.1
    • Quan sát đồ thị và rút ra các nhận xét cần thiết.

Bài 3

Dựa theo đồ thị hàm số bậc ba f(x)=−x3+14,6x2+14,1f(x) = -x^3 + 14,6x^2 + 14,1, ta có:

  • f(4)=−43+14,6⋅42+14,1=−64+233,6+14,1=183,7f(4) = -4^3 + 14,6 \cdot 4^2 + 14,1 = -64 + 233,6 + 14,1 = 183,7 ⇒\Rightarrow Số sản phẩm bán được trong các năm 2021,20222021, 2022 lần lượt là: f(4)=62,1≈62.f(4) = 62,1 \approx 62.

  • f(7)=−73+14,6⋅72+14,1=−343+715,4+14,1=386,5≈67.f(7) = -7^3 + 14,6 \cdot 7^2 + 14,1 = -343 + 715,4 + 14,1 = 386,5 \approx 67.

  • f(8)=−83+14,6⋅82+14,1=−512+934,4+14,1=436,5≈67.f(8) = -8^3 + 14,6 \cdot 8^2 + 14,1 = -512 + 934,4 + 14,1 = 436,5 \approx 67.

Vì vậy khi x=7∈[2017+7−2024]x = 7 \in [2017 + 7 - 2024] thì khi x=8∈[2017+8−2025)x = 8 \in [2017 + 8 - 2025)

Kết quả: f(7)=67f(7) = 67

Bài 4

Dự đoán đa thức hàm số không điều chỉnh chính là hàm đã chọn.

Đáp án: f(x)=−x3+14.6x2+14.1\boxed{f(x) = -x^3 + 14.6x^2 + 14.1}

Trang 60 — Chương 6 Thống kê

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cụ thể cần giải trên trang này. Trang này chủ yếu tập trung vào lý thuyết về ý nghĩa của việc xây dựng mô hình toán học và tổ chức các hoạt động thực hành, trải nghiệm.

Kết luận

SKIP