Trang 57 — Thực hành mô hình hóa

Bài 1

Một công ty thống kê số sản phẩm bán được từ năm 2017 đến năm 2020 như sau:

Năm 2017 2018 2019 2020
Số sản phẩm (triệu) 14 22 28 31

Dùng hàm số bậc hai để mô hình hóa số sản phẩm bán được y=f(x)y=f(x), với xx là số năm tính từ 2017.

Lời giải:

Giả sử hàm số bậc hai có dạng f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c.

Chọn ba điểm dữ liệu đầu để xác định các hệ số:

  • f(0)=14⇒c=14f(0) = 14 \Rightarrow c = 14
  • f(1)=22⇒a+b+14=22⇒a+b=8f(1) = 22 \Rightarrow a + b + 14 = 22 \Rightarrow a + b = 8
  • f(2)=28⇒4a+2b+14=28⇒4a+2b=14f(2) = 28 \Rightarrow 4a + 2b + 14 = 28 \Rightarrow 4a + 2b = 14

Từ a+b=8a + b = 8 suy ra b=8−ab = 8 - a. Thay vào phương trình thứ hai:

4a+2(8−a)=14  ⟺  2a=−2  ⟺  a=−14a + 2(8 - a) = 14 \iff 2a = -2 \iff a = -1

Suy ra b=9b = 9. Hàm số mô hình là:

f(x)=−x2+9x+14f(x) = -x^2 + 9x + 14

Kiểm tra với dữ liệu năm 2020: f(3)=−9+27+14=32f(3) = -9 + 27 + 14 = 32, khá gần giá trị thực tế 3131 — mô hình chấp nhận được (mô hình hóa là xấp xỉ, không yêu cầu khớp tuyệt đối).

Dự đoán số sản phẩm bán được:

  • Năm 2021: f(4)=−16+36+14=34f(4) = -16 + 36 + 14 = 34 (triệu sản phẩm)
  • Năm 2022: f(5)=−25+45+14=34f(5) = -25 + 45 + 14 = 34 (triệu sản phẩm)

Kết quả: mô hình f(x)=−x2+9x+14f(x) = -x^2 + 9x + 14; dự đoán năm 2021 và 2022 đều khoảng 3434 triệu sản phẩm.

Nhận xét: vì hệ số a=−1<0a = -1 < 0, parabol quay bề lõm xuống — mô hình cho thấy tốc độ tăng trưởng đang chậm lại và doanh số sẽ đạt đỉnh quanh x=4,5x = 4{,}5 (giữa năm 2021 và 2022), sau đó giảm. Công ty nên cân nhắc cải tiến hoặc ra mắt sản phẩm mới.

Trang 60 — Chương VI. Thống kê

Trang này giới thiệu ý nghĩa của việc xây dựng mô hình toán học và mở đầu chương Thống kê — không có bài tập cần giải.