Trang 65 — Liên hệ tọa độ của điểm và tọa độ của vecto

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho ba điểm A(1;−1),B(4;3),C(−2;−2)A(1; -1), B(4;3), C(- 2; - 2)

a) Tìm tọa độ của các vecto AB→,AC→,BC→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}.

b) Tìm tọa độ của điểm DD sao cho tứ giác ABCDABCD là hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có: AB→=(4−1;3−(−1))=(3;4)\overrightarrow{AB} = (4 - 1; 3 - (-1)) = (3; 4).

AC→=(−2−1;−2−(−1))=(−3;−1)\overrightarrow{AC} = (-2 - 1; -2 - (-1)) = (-3; -1).

BC→=(−2−4;−2−3)=(−6;−5)\overrightarrow{BC} = (-2 - 4; -2 - 3) = (-6; -5).

b) Gọi tọa độ của điểm DD là (xD;yD)(x_D; y_D) và ta có: DC→=(−2−xD;−2−yD)\overrightarrow{DC} = (-2 - x_D; -2 - y_D).

Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành khi và chỉ khi DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}.

DC→=AB→  ⟺  {−2−xD=3−2−yD=4  ⟺  {xD=−5yD=−6\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \iff \begin{cases} -2 - x_D = 3 \\ -2 - y_D = 4 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = -5 \\ y_D = -6 \end{cases}.

Vậy D(−5;−6)D(-5; -6).

Kết quả: AB→=(3;4)\overrightarrow{AB} = (3; 4), AC→=(−3;−1)\overrightarrow{AC} = (-3; -1), BC→=(−6;−5)\overrightarrow{BC} = (-6; -5), D(−5;−6)D(-5; -6).

Bài 5. Trong một hệ trục tọa độ, một học viên viên bi chuyển động theo vecto u→=(2;4)\overrightarrow{u} = (2;4) thì học viên bắt đầu chuyển sang chuyển động theo hướng Đông Bắc. Tiếp theo viên bi chuyển động với vận tốc bằng 25\frac{2}{5} vận tốc cũ và quãng đường đi được là 1010 m thì viên bi dừng lại. Tìm tọa độ của điểm mà viên bi dừng lại.

Lời giải:

Vecto chỉ phương của hướng Đông Bắc là: v→=(1;1)\overrightarrow{v} = (1;1).

Vecto u→=(2;4)\overrightarrow{u} = (2;4).

Sau khi chuyển hướng Đông Bắc, vecto chỉ phương của viên bi là u1→=kv→=k(1;1)\overrightarrow{u_1} = k\overrightarrow{v} = k(1;1).

Khi đó, u→⊥u1→  ⟺  2k+4k=0  ⟺  k=−2\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_1} \iff 2k + 4k = 0 \iff k = -2.

Do đó, u1→=(−2;−2)\overrightarrow{u_1} = (-2; -2).

Và ∣u1→∣=(−2)2+(−2)2=22|\overrightarrow{u_1}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}.

Độ lớn của vecto u→\overrightarrow{u} là: ∣u→∣=22+42=25|\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}.

Vận tốc của viên bi theo hướng Đông Bắc là 25∣u→∣=455\frac{2}{5}|\overrightarrow{u}| = \frac{4\sqrt{5}}{5}.

Quãng đường viên bi đi được là 1010 m nên thời gian viên bi đi là: t=10∣u1→∣=522t = \frac{10}{|\overrightarrow{u_1}|} = \frac{5\sqrt{2}}{2}.

Tọa độ điểm dừng của viên bi là: (2;4)+522⋅(−2;−2)22=(2;4)+(−5;−5)=(−3;−1)(2;4) + \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(-2; -2) }{2\sqrt{2}} = (2;4) + (-5; -5) = (-3; -1).

Kết quả: (−3;−1)(-3; -1).

Trang 66 —

Bài 1. Tìm tọa độ của các vector trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vector đó qua vector i⃗\vec{i} và j⃗\vec{j}.

Lời giải:

Trong Hình 16, ta thấy:

  • Vector a⃗\vec{a} có tọa độ là (2;−3)(2; -3) và a⃗=2i⃗−3j⃗\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}.

  • Vector b⃗\vec{b} có tọa độ là (−3;0)(-3; 0) và b⃗=−3i⃗+0j⃗=−3i⃗\vec{b}=-3\vec{i}+0\vec{j}=-3\vec{i}.

  • Vector c⃗\vec{c} có tọa độ là (0;1)(0; 1) và c⃗=0i⃗+1j⃗=j⃗\vec{c}=0\vec{i}+1\vec{j}=\vec{j}.

  • Vector d⃗\vec{d} có tọa độ là (1;2)(1; 2) và d⃗=1i⃗+2j⃗=i⃗+2j⃗\vec{d}=1\vec{i}+2\vec{j}=\vec{i}+2\vec{j}.

Kết quả: a⃗=2i⃗−3j⃗\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}; b⃗=−3i⃗\vec{b}=-3\vec{i}; c⃗=j⃗\vec{c}=\vec{j}; d⃗=i⃗+2j⃗\vec{d}=\vec{i}+2\vec{j}.

Bài 2. Tìm tọa độ của các vector sau:

a) a⃗=3i⃗+4j⃗\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j};

b) b⃗=−i⃗+3j⃗\vec{b}=-\vec{i}+3\vec{j};

c) c⃗=i⃗−j⃗\vec{c}=\vec{i}-\vec{j}.

Lời giải:

a) Vector a⃗\vec{a} có tọa độ là (3;4)(3; 4).

b) Vector b⃗\vec{b} có tọa độ là (−1;3)(-1; 3).

c) Vector c⃗\vec{c} có tọa độ là (1;−1)(1; -1).

Kết quả: a) (3;4)(3; 4); b) (−1;3)(-1; 3); c) (1;−1)(1; -1).

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho ba điểm A(2;3)A(2; 3), B(−1;1)B(-1; 1), C(3;−1)C(3; -1).

a) Tìm tọa độ điểm MM sao cho AM⃗=BC⃗\vec{AM}=\vec{BC}.

b) Tìm tọa độ trung điểm NN của đoạn thẳng ACAC.

Chứng minh BN=NMBN=NM.

Lời giải:

a) Ta có BC⃗=(3−(−1);−1−1)=(4;−2)\vec{BC}=(3-(-1);-1-1)=(4;-2).

AM⃗=(xM−2;yM−3)\vec{AM}=(x_M-2;y_M-3).

Để AM⃗=BC⃗\vec{AM}=\vec{BC} thì: $$ \begin{aligned} &x_M-2=4\ &y_M-3=-2 \end{aligned} $$

Giải hệ phương trình trên, ta có: xM=6x_M=6 và yM=1y_M=1.

Vậy M(6;1)M(6;1).

b) Tọa độ trung điểm NN của đoạn thẳng ACAC là: $$ \begin{aligned} &x_N=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}\ &y_N=\frac{3+(-1)}{2}=1 \end{aligned} $$

Vậy N(52;1)N(\frac{5}{2};1).

Ta có: BN⃗=(52−(−1);1−1)=(72;0)\vec{BN}=(\frac{5}{2}-(-1);1-1)=(\frac{7}{2};0).

NM⃗=(6−52;1−1)=(72;0)\vec{NM}=(6-\frac{5}{2};1-1)=(\frac{7}{2};0).

Dễ thấy BN⃗=NM⃗\vec{BN}=\vec{NM} nên BN=NMBN=NM.

Kết quả: a) M(6;1)M(6;1); b) N(52;1)N(\frac{5}{2};1).

Trang 67 —

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho điểm M(−1;3)M(-1 ; 3).

a) Tìm tọa độ điểm AA đối xứng với điểm MM qua gốc OO.

b) Tìm tọa độ điểm BB đối xứng với điểm MM qua trục OxOx.

c) Tìm tọa độ điểm CC đối xứng với điểm MM qua trục OyOy.

Lời giải:

a) Để tìm tọa độ điểm AA đối xứng với điểm MM qua gốc OO, ta sử dụng công thức:

$$ A = (-x_M; -y_M) $$

Với M(−1;3)M(-1; 3), ta có:

$$ A = (1; -3) $$

b) Để tìm tọa độ điểm BB đối xứng với điểm MM qua trục OxOx, ta sử dụng công thức:

$$ B = (x_M; -y_M) $$

Với M(−1;3)M(-1; 3), ta có:

$$ B = (-1; -3) $$

c) Để tìm tọa độ điểm CC đối xứng với điểm MM qua trục OyOy, ta sử dụng công thức:

$$ C = (-x_M; y_M) $$

Với M(−1;3)M(-1; 3), ta có:

$$ C = (1; 3) $$

Kết quả: A(1;−3)A(1; -3), B(−1;−3)B(-1; -3), C(1;3)C(1; 3)

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho ba điểm A(−1;3),B(2;−1),I(4;2)A(-1 ; 3), B(2 ; -1), I(4 ; 2). a) Tìm tọa độ điểm CC sao cho tứ giác ABCDABCD là hình bình hành với II là giao điểm của hai đường chéo.

Lời giải:

Gọi D(xD;yD)D(x_D; y_D)

Vì II là giao điểm của hai đường chéo nên II là trung điểm của ACAC và BDBD.

Ta có:

xI=xA+xC2yI=yA+yC2\begin{aligned} x_I &= \frac{x_A + x_C}{2} \\ y_I &= \frac{y_A + y_C}{2} \\ \end{aligned}

Thay A(−1;3)A(-1; 3) và I(4;2)I(4; 2) vào, ta có:

4=−1+xC22=3+yC2\begin{aligned} 4 &= \frac{-1 + x_C}{2} \\ 2 &= \frac{3 + y_C}{2} \\ \end{aligned}

Giải hệ phương trình, ta có:

xC=9yC=1\begin{aligned} x_C &= 9 \\ y_C &= 1 \\ \end{aligned}

Vậy C(9;1)C(9; 1).

Kết quả: C(9;1)C(9; 1)

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho tứ giác ABCDABCD có A(xA;yA),B(xB;yB),C(xC;yC),D(xD;yD)A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C), D(x_D; y_D). Chứng minh rằng tứ giác ABCDABCD là hình bình hành khi và chỉ khi xA+xC=xB+xDx_A + x_C = x_B + x_D và yA+yC=yB+yDy_A + y_C = y_B + y_D.

Lời giải:

Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành   ⟺  AB→=DC→\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

  ⟺  (xB−xA;yB−yA)=(xC−xD;yC−yD)\iff (x_B - x_A; y_B - y_A) = (x_C - x_D; y_C - y_D)

  ⟺  {xB−xA=xC−xDyB−yA=yC−yD\iff \begin{cases} x_B - x_A = x_C - x_D \\ y_B - y_A = y_C - y_D \end{cases}

  ⟺  {xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD\iff \begin{cases} x_A + x_C = x_B + x_D \\ y_A + y_C = y_B + y_D \end{cases}

Vậy tứ giác ABCDABCD là hình bình hành khi và chỉ khi xA+xC=xB+xDx_A + x_C = x_B + x_D và yA+yC=yB+yDy_A + y_C = y_B + y_D.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho tam giác ABCABC có A(1;−2),N(3;4)A(1; -2), N(3; 4) và P(5;−1)P(5; -1). Tìm tọa độ các điểm B,C,AB, C, A là trung điểm của các cạnh BC,CA,ABBC, CA, AB. Tìm tọa độ của các điểm A,B,CA, B, C.

Lời giải:

Gọi B(xB;yB)B(x_B; y_B), C(xC;yC)C(x_C; y_C)

Vì NN là trung điểm của BCBC, ta có:

xN=xB+xC2yN=yB+yC2\begin{aligned} x_N &= \frac{x_B + x_C}{2} \\ y_N &= \frac{y_B + y_C}{2} \\ \end{aligned}

Thay N(3;4)N(3; 4) vào, ta có:

3=xB+xC24=yB+yC2\begin{aligned} 3 &= \frac{x_B + x_C}{2} \\ 4 &= \frac{y_B + y_C}{2} \\ \end{aligned}

Vì PP là trung điểm của CACA, ta có:

xP=xC+xA2yP=yC+yA2\begin{aligned} x_P &= \frac{x_C + x_A}{2} \\ y_P &= \frac{y_C + y_A}{2} \\ \end{aligned}

Thay P(5;−1)P(5; -1) và A(1;−2)A(1; -2) vào, ta có:

5=xC+12−1=yC−22\begin{aligned} 5 &= \frac{x_C + 1}{2} \\ -1 &= \frac{y_C - 2}{2} \\ \end{aligned}

Giải hệ phương trình, ta có:

xC=9yC=0\begin{aligned} x_C &= 9 \\ y_C &= 0 \\ \end{aligned}

Thay xC=9x_C = 9 và yC=0y_C = 0 vào phương trình ở trên, ta có:

3=xB+924=yB+02\begin{aligned} 3 &= \frac{x_B + 9}{2} \\ 4 &= \frac{y_B + 0}{2} \\ \end{aligned}

Giải hệ phương trình, ta có:

xB=−3yB=8\begin{aligned} x_B &= -3 \\ y_B &= 8 \\ \end{aligned}

Vậy A(1;−2)A(1; -2), B(−3;8)B(-3; 8), C(9;0)C(9; 0).

Kết quả: A(1;−2)A(1; -2), B(−3;8)B(-3; 8), C(9;0)C(9; 0)

Trang 68 — Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Trang này có nội dung lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, không có bài tập/câu hỏi/luyện tập/ví dụ cụ thể cần giải.

SKIP