Trang 69 — Vectơ

Bài 1. Cho u⃗=(−2;−1)\vec{u} = (-2; -1) và v⃗=(1;5)\vec{v} = (1; 5). Tìm tọa độ của các vectơ: a) u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} b) u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}

Lời giải: a) Ta có u⃗+v⃗=(−2+1;−1+5)=(−1;4).\vec{u} + \vec{v} = (-2 + 1; -1 + 5) = (-1; 4).

b) Ta có u⃗−v⃗=(−2−1;−1−5)=(−3;−6).\vec{u} - \vec{v} = (-2 - 1; -1 - 5) = (-3; -6).

Kết quả: u⃗+v⃗=(−1;4);u⃗−v⃗=(−3;−6)\vec{u} + \vec{v} = (-1; 4); \vec{u} - \vec{v} = (-3; -6)

Bài 2. Cho a⃗=(−2;3),b⃗=(2;1)\vec{a} = (-2; 3), \vec{b} = (2; 1). Tính tọa độ của các vectơ: a) 3a⃗3\vec{a} b) 2a⃗+3b⃗2\vec{a} + 3\vec{b} c) a⃗−2b⃗\vec{a} - 2\vec{b}

Lời giải: a) Ta có 3a⃗=3(−2;3)=(−6;9).3\vec{a} = 3(-2; 3) = (-6; 9).

b) Ta có 2a⃗=2(−2;3)=(−4;6)2\vec{a} = 2(-2; 3) = (-4; 6) và 3b⃗=3(2;1)=(6;3).3\vec{b} = 3(2; 1) = (6; 3).

Do đó 2a⃗+3b⃗=(−4+6;6+3)=(2;9).2\vec{a} + 3\vec{b} = (-4 + 6; 6 + 3) = (2; 9).

c) Ta có 2b⃗=(4;2).2\vec{b} = (4; 2).

Do đó a⃗−2b⃗=(−2−4;3−2)=(−6;1).\vec{a} - 2\vec{b} = (-2 - 4; 3 - 2) = (-6; 1).

Kết quả: 3a⃗=(−6;9);2a⃗+3b⃗=(2;9);a⃗−2b⃗=(−6;1)3\vec{a} = (-6; 9); 2\vec{a} + 3\vec{b} = (2; 9); \vec{a} - 2\vec{b} = (-6; 1)

Bài 3. Cho A(−1;−3),B(2;3),C(4;−1)A(-1; -3), B(2; 3), C(4; -1). Chứng minh rằng ba điểm A,B,CA, B, C thẳng hàng.

Lời giải: Ta có AB→=(2−(−1);3−(−3))=(3;6)\overrightarrow{AB} = (2 - (-1); 3 - (-3)) = (3; 6) và BC→=(4−2;−1−3)=(2;−4).\overrightarrow{BC} = (4 - 2; -1 - 3) = (2; -4).

Suy ra AB→=32BC→.\overrightarrow{AB} = \frac{3}{2} \overrightarrow{BC}.

Vậy ba điểm A,B,CA, B, C thẳng hàng.

Kết quả: Ba điểm A,B,CA, B, C thẳng hàng

Bài 4. a) Cho u⃗=(−2;0),v⃗=(0;−2)\vec{u} = (-2; 0), \vec{v} = (0; -2). Tìm tọa độ của vectơ u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}

Lời giải: Ta có u⃗+v⃗=(−2+0;0+(−2))=(−2;−2).\vec{u} + \vec{v} = (-2 + 0; 0 + (-2)) = (-2; -2).

Kết quả: u⃗+v⃗=(−2;−2)\vec{u} + \vec{v} = (-2; -2)

b) Cho u⃗=(3;0),v⃗=(0;7)\vec{u} = (\sqrt{3}; 0), \vec{v} = (0; \sqrt{7}). Tìm tọa độ của vectơ u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}

Lời giải: Ta có u⃗+v⃗=(3+0;0+7)=(3;7).\vec{u} + \vec{v} = (\sqrt{3} + 0; 0 + \sqrt{7}) = (\sqrt{3}; \sqrt{7}).

Kết quả: u⃗+v⃗=(3;7)\vec{u} + \vec{v} = (\sqrt{3}; \sqrt{7})

Trang 70 —

TOA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG VÀ TOA ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC

Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ OxyOxy, cho hai điểm A(x1;y1)A(x_1; y_1) và B(x2;y2)B(x_2; y_2). Cho M(xM;yM)M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng ABAB (minh họa trong Hình 19).

a) Biểu diễn vectơ OM→\overrightarrow{OM} theo vectơ OA→\overrightarrow{OA} và OB→\overrightarrow{OB} .

b) Tính toạ độ của MM theo toạ độ của AA và BB.

Lời giải: a) Do MM là trung điểm của ABAB nên $$ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} $$

Từ đây ta có $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} \ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{MB} \ &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM} \ \implies 2\overrightarrow{OM} &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \ \overrightarrow{OM} &= \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}). \end{aligned} $$

b) Do OA→=x1i→+y1j→,OB→=x2i→+y2j→\overrightarrow{OA} = x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}, \overrightarrow{OB} = x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} nên $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \frac{1}{2} [\left( x_1 + x_2 \right) \overrightarrow{i} + \left( y_1 + y_2 \right) \overrightarrow{j}] \ &= \frac{x_1 + x_2}{2} \overrightarrow{i} + \frac{y_1 + y_2}{2} \overrightarrow{j}. \end{aligned} $$

Vì OM→=xMi→+yMj→\overrightarrow{OM} = x_M \overrightarrow{i} + y_M \overrightarrow{j} nên xM=x1+x22,yM=y1+y22x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}.

Kết quả: M(x1+x22;y1+y22).M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right).

Bài 2. Cho hai điểm A1(x1;y1),B(x2;y2)A_1(x_1; y_1), B(x_2; y_2). Nếu M(xM;yM)M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng ABAB thì

Lời giải: Theo lý thuyết, ta có $$ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \text{ và } y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}. $$

Ví dụ với A(2;−1)A(2; -1), B(5;7)B(5; 7). Tìm toạ độ của MM sao cho MM là trung điểm của ABAB.

Trang 70 —

Lời giải: Do MM là trung điểm của ABAB nên $$ \begin{aligned} x_M &= \frac{2+5}{2} = \frac{7}{2} \ y_M &= \frac{-1 + 7}{2} = 3 \end{aligned} $$

Vậy M(72;3).M \left( \frac{7}{2}; 3 \right).

Kết quả: M(72;3).M \left( \frac{7}{2}; 3 \right).

Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ OxyOxy, cho tam giác ABCABC có trọng tâm GG (minh hoạ trong Hình 20).

a) Biểu diễn vectơ OG→\overrightarrow{OG} theo vectơ OA→,OB→,OC→\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}.

b) Tính toạ độ của GG theo toạ độ của A,B,CA, B, C.

Lời giải: a) Do GG là trọng tâm tam giác ABCABC nên $$ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} $$ Mà $$ \begin{aligned} \overrightarrow{AG} &= \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} \ \overrightarrow{AD} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \ &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} \ &= \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} \end{aligned} $$

Từ đó $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} &= \frac{1}{2} (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}) \ \implies \overrightarrow{OG} &= \frac{1}{3} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}). \end{aligned} $$

b) Do OA→=xAi→+yAj→,OB→=xBi→+yBj→,OC→=xCi→+yCj→\overrightarrow{OA} = x_A \overrightarrow{i} + y_A \overrightarrow{j}, \overrightarrow{OB} = x_B \overrightarrow{i} + y_B \overrightarrow{j}, \overrightarrow{OC} = x_C \overrightarrow{i} + y_C \overrightarrow{j} nên $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OG} &= \frac{1}{3} [(x_A + x_B + x_C) \overrightarrow{i} + (y_A + y_B + y_C) \overrightarrow{j}] \ &= \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \overrightarrow{i} + \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \overrightarrow{j}. \end{aligned} $$

Vì OM→=xMi→+yMj→\overrightarrow{OM} = x_M \overrightarrow{i} + y_M \overrightarrow{j} nên $$ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}. $$

Kết quả: G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3).G \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right).

Bài 4. Cho tam giác ABCABC có A(−2;3),B(5;5),C(5;−1)A(-2; 3), B(5; 5), C(5; -1).

Tìm toạ độ trung điểm MM của đoạn thẳng ABAB và toạ độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC.

Lời giải: Do MM là trung điểm của ABAB nên $$ x_M = \frac{-2+5}{2} = 0; y_M = \frac{3+5}{2} = 4. $$

Vậy M(0;4).M(0; 4).

Do GG là trọng tâm tam giác ABCABC nên $$ x_G = \frac{-2+5+5}{3} = \frac{8}{3}; y_G = \frac{3+5-1}{3} = \frac{7}{3}. $$

Vậy G(83;73).G \left( \frac{8}{3}; \frac{7}{3} \right).

Kết quả: M(0;4),G(83;73).M(0; 4), G \left( \frac{8}{3}; \frac{7}{3} \right).