Trang 76 — Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trang này có nội dung là lý thuyết, không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

Trang 77 — Phương trình đường thẳng

Bài tập

Bài 1. Luyện tập

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(−2;4)A(-2;4) và có vectơ pháp tuyến n→=(3;2)\overrightarrow{n}=(3;2).

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ\Delta là n→=(3;2)\overrightarrow{n}=(3;2).

Đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(−2;4)A(-2;4) và có vectơ pháp tuyến n→=(3;2)\overrightarrow{n}=(3;2) nên phương trình tổng quát của đường thẳng Δ\Delta là:

3(x+2)+2(y−4)=03(x+2)+2(y-4)=0

⇒3x+6+2y−8=0\Rightarrow 3x+6+2y-8=0

⇒3x+2y−2=0\Rightarrow 3x+2y-2=0

Kết quả: 3x+2y−2=03x+2y-2=0

Bài 2. Luyện tập

Cho đường thẳng Δ\Delta có phương trình tổng quát x−y+1=0x-y+1=0. Trong các đường thẳng có phương trình sau đây, đường thẳng nào song song với Δ\Delta:

a) x+y+2=0x+y+2=0

b) x−y+2=0x-y+2=0

c) 2x+y+1=02x+y+1=0

d) 2x−y+1=02x-y+1=0

Lời giải:

Đường thẳng Δ\Delta có phương trình tổng quát x−y+1=0x-y+1=0 có vectơ pháp tuyến là n→=(1;−1)\overrightarrow{n}=(1;-1).

a) Đường thẳng x+y+2=0x+y+2=0 có vectơ pháp tuyến là n1→=(1;1)\overrightarrow{n_1}=(1;1).

Vì n→⋅n1→=1⋅1+(−1)⋅1=0\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_1}=1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0 nên n→\overrightarrow{n} và n1→\overrightarrow{n_1} vuông góc.

Do đó đường thẳng x+y+2=0x+y+2=0 không song song với Δ\Delta.

b) Đường thẳng x−y+2=0x-y+2=0 có vectơ pháp tuyến là n2→=(1;−1)\overrightarrow{n_2}=(1;-1).

Vì n→=n2→\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_2} nên n→\overrightarrow{n} và n2→\overrightarrow{n_2} cùng phương.

Do đó đường thẳng x−y+2=0x-y+2=0 song song với Δ\Delta.

c) Đường thẳng 2x+y+1=02x+y+1=0 có vectơ pháp tuyến là n3→=(2;1)\overrightarrow{n_3}=(2;1).

Vì n→⋅n3→=1⋅2+(−1)⋅1≠0\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_3}=1\cdot 2+(-1)\cdot 1\neq 0 nên n→\overrightarrow{n} và n3→\overrightarrow{n_3} không cùng phương.

Do đó đường thẳng 2x+y+1=02x+y+1=0 không song song với Δ\Delta.

d) Đường thẳng 2x−y+1=02x-y+1=0 có vectơ pháp tuyến là n4→=(2;−1)\overrightarrow{n_4}=(2;-1).

Vì n→⋅n4→=1⋅2+(−1)⋅(−1)≠0\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_4}=1\cdot 2+(-1)\cdot (-1)\neq 0 nên n→\overrightarrow{n} và n4→\overrightarrow{n_4} không cùng phương.

Do đó đường thẳng 2x−y+1=02x-y+1=0 không song song với Δ\Delta.

Kết quả: b) x−y+2=0x-y+2=0

Trang 78 —

Trang này là phần lý thuyết của SGK Toán lớp 10 (Cánh diều, Tập 2), không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cụ thể cần giải.

Trang 79 — Lập phương trình đường thẳng

Bài 1. Lập phương trình đường thẳng Δ\Delta đi qua hai điểm:

a)a) Đường thẳng Δ\Delta đi qua M1(−2;3)M_1(-2 ; 3) và M2(5;−1)M_2(5 ; -1) và có vectơ chỉ phương;

b)b) Đường thẳng Δ\Delta đi qua M3(3;5)M_3(3; 5) và M4(2;−1)M_4(2; -1) và có vectơ chỉ phương;

c)c) Đường thẳng Δ\Delta đi qua A(−1;−2)A(-1; -2) và B(1;−4)B(1 ; -4) và có vectơ chỉ phương.

Lời giải:

a)a)

  • Vectơ chỉ phương của Δ\Delta là u→=M1M2→=(5−(−2),−1−3)=(7,−4).\overrightarrow{u} = \overrightarrow{M_1M_2} = (5 - (-2) , -1 - 3) = (7 , -4).

  • Đường thẳng Δ\Delta đi qua M1(−2;3)M_1(-2; 3) và có vectơ chỉ phương u→=(7;−4)\overrightarrow{u} = (7; -4) nên phương trình tham số của Δ\Delta là

{x=−2+7ty=3−4t\begin{cases} x = -2 + 7t \\ y = 3 - 4t \end{cases}
  • Nếu x0=−2+7tx_0 = -2 + 7t và y0=3−4ty_0 = 3 - 4t thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ\Delta ở dạng
x+27=y−3−4\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{-4}

b)b)

  • Vectơ chỉ phương của Δ\Delta là u→=M3M4→=(2−3,−1−5)=(−1,−6).\overrightarrow{u} = \overrightarrow{M_3M_4} = (2 - 3 , -1 - 5) = (-1 , -6).

  • Đường thẳng Δ\Delta đi qua M3(3;5)M_3(3; 5) và có vectơ chỉ phương u→=(−1;−6)\overrightarrow{u} = (-1; -6) nên phương trình tham số của Δ\Delta là

{x=3−ty=5−6t\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 5 - 6t \end{cases}
  • Nếu x0=3−tx_0 = 3 - t và y0=5−6ty_0 = 5 - 6t thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ\Delta ở dạng
x−3−1=y−5−6\frac{x - 3}{-1} = \frac{y - 5}{-6}

hay

x−31=y−56\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{6}

c)c)

  • Vectơ chỉ phương của Δ\Delta là u→=AB→=(1−(−1),−4−(−2))=(2,−2).\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = (1 - (-1) , -4 - (-2)) = (2 , -2).

  • Đường thẳng Δ\Delta đi qua A(−1;−2)A(-1; -2) và có vectơ chỉ phương u→=(2;−2)\overrightarrow{u} = (2; -2) nên phương trình tham số của Δ\Delta là

{x=−1+2ty=−2−2t\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -2 - 2t \end{cases}
  • Nếu x0=−1+2tx_0 = -1 + 2t và y0=−2−2ty_0 = -2 - 2t thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ\Delta ở dạng
x+12=y+2−2\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{-2}

Bài 2. Lập phương trình đường thẳng Δ\Delta đi qua hai điểm A(a;0)A(a; 0) và B(0;b)B(0; b) với a≠0a \neq 0 và b≠0.b \neq 0.

Lời giải:

  • Đường thẳng Δ\Delta đi qua hai điểm A,BA, B nên có vectơ chỉ phương AB→=(0−a,b−0)=(−a;b).\overrightarrow{AB} = (0 - a , b - 0) = (-a ; b).

  • Suy ra n→=(b;a)\overrightarrow{n} = (b; a) là vectơ pháp tuyến của Δ.\Delta.

  • Đường thẳng Δ\Delta có vectơ pháp tuyến n→=(b;a)\overrightarrow{n} = (b; a) và đi qua điểm A(a;0)A(a; 0) nên phương trình tổng quát của Δ\Delta là

b(x−a)+a(y−0)=0b(x - a) + a(y - 0) = 0

hay

bx+ay−ab=0bx + ay - ab = 0

hay

xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Kết quả: xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1