Giải Toán 10 Tập 2 trang 76-79 - Cánh diều

Trang 76 — Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trang này có nội dung là lý thuyết, không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

SKIP

---

Trang 77 — Phương trình đường thẳng

Bài tập

Bài 1. Luyện tập

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-2;4)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(3;2)$.

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=(3;2)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(-2;4)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(3;2)$ nên phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là:

$$3(x+2)+2(y-4)=0$$

$\Rightarrow 3x+6+2y-8=0$

$\Rightarrow 3x+2y-2=0$

Kết quả: $3x+2y-2=0$

Bài 2. Luyện tập

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát $x-y+1=0$. Trong các đường thẳng có phương trình sau đây, đường thẳng nào song song với $\Delta$:

a) $x+y+2=0$

b) $x-y+2=0$

c) $2x+y+1=0$

d) $2x-y+1=0$

Lời giải:

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát $x-y+1=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;-1)$.

a) Đường thẳng $x+y+2=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$.

Vì $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_1}=1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0$ nên $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n_1}$ vuông góc.

Do đó đường thẳng $x+y+2=0$ không song song với $\Delta$.

b) Đường thẳng $x-y+2=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$.

Vì $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_2}$ nên $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

Do đó đường thẳng $x-y+2=0$ song song với $\Delta$.

c) Đường thẳng $2x+y+1=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_3}=(2;1)$.

Vì $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_3}=1\cdot 2+(-1)\cdot 1\neq 0$ nên $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n_3}$ không cùng phương.

Do đó đường thẳng $2x+y+1=0$ không song song với $\Delta$.

d) Đường thẳng $2x-y+1=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_4}=(2;-1)$.

Vì $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{n_4}=1\cdot 2+(-1)\cdot (-1)\neq 0$ nên $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{n_4}$ không cùng phương.

Do đó đường thẳng $2x-y+1=0$ không song song với $\Delta$.

Kết quả: b) $x-y+2=0$

---

Trang 78 —

Trang này là phần lý thuyết của SGK Toán lớp 10 (Cánh diều, Tập 2), không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cụ thể cần giải.

SKIP

---

Trang 79 — Lập phương trình đường thẳng

Bài 1. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm:

$a)$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_1(-2 ; 3)$ và $M_2(5 ; -1)$ và có vectơ chỉ phương;

$b)$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_3(3; 5)$ và $M_4(2; -1)$ và có vectơ chỉ phương;

$c)$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(-1; -2)$ và $B(1 ; -4)$ và có vectơ chỉ phương.

Lời giải:

$a)$

• Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{M_1M_2} = (5 - (-2) , -1 - 3) = (7 , -4).$

• Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_1(-2; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (7; -4)$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là

  $$\begin{cases} x = -2 + 7t \\ y = 3 - 4t \end{cases}$$

• Nếu $x_0 = -2 + 7t$ và $y_0 = 3 - 4t$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ ở dạng

  $$\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{-4}$$

$b)$

• Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{M_3M_4} = (2 - 3 , -1 - 5) = (-1 , -6).$

• Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_3(3; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (-1; -6)$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là

  $$\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 5 - 6t \end{cases}$$

• Nếu $x_0 = 3 - t$ và $y_0 = 5 - 6t$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ ở dạng

  $$\frac{x - 3}{-1} = \frac{y - 5}{-6}$$

  hay

  $$\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{6}$$

$c)$

• Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = (1 - (-1) , -4 - (-2)) = (2 , -2).$

• Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(-1; -2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; -2)$ nên phương trình tham số của $\Delta$ là

  $$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -2 - 2t \end{cases}$$

• Nếu $x_0 = -1 + 2t$ và $y_0 = -2 - 2t$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ ở dạng

  $$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{-2}$$

Bài 2. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(a; 0)$ và $B(0; b)$ với $a \neq 0$ và $b \neq 0.$

Lời giải:

• Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A, B$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (0 - a , b - 0) = (-a ; b).$

• Suy ra $\overrightarrow{n} = (b; a)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta.$

• Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (b; a)$ và đi qua điểm $A(a; 0)$ nên phương trình tổng quát của $\Delta$ là

  $$b(x - a) + a(y - 0) = 0$$

  hay

  $$bx + ay - ab = 0$$

  hay

  $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

Kết quả: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$