Trang 80 —

Bài tập

  1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(−1;2)A(-1; 2) và a) Có vectơ pháp tuyến là n→=(3;2)\overrightarrow{n} = (3; 2); b) Có vectơ chỉ phương là u→=(−2;3)\overrightarrow{u} = (-2; 3).

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(−1;2)A(-1; 2) và có vectơ pháp tuyến là n→=(3;2)\overrightarrow{n} = (3; 2) là $$ 3(x + 1) + 2(y - 2) = 0 \iff 3x + 2y - 1 = 0. $$

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ\Delta là n→=(3;2)\overrightarrow{n} = (3; 2).

Do Δ\Delta có vectơ chỉ phương là u→=(−2;3)\overrightarrow{u} = (-2; 3) nên vectơ pháp tuyến của Δ\Delta là n→=(3;2)\overrightarrow{n} = (3; 2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ\Delta đi qua điểm A(−1;2)A(-1; 2) và có vectơ pháp tuyến là n→=(3;2)\overrightarrow{n} = (3; 2) là $$ 3(x + 1) + 2(y - 2) = 0 \iff 3x + 2y - 1 = 0. $$

Kết quả: 3x+2y−1=03x + 2y - 1 = 0.

  1. Lập phương trình của mỗi đường thẳng trong các Hình 34,35,36,3734, 35, 36, 37 dưới đây:

Lời giải:

Hình 34

  • Đường thẳng đi qua 22 điểm (0;1)(0; 1) và (−1;0)(-1; 0) có vectơ chỉ phương u→=(0−(−1);1−0)=(1;1)\overrightarrow{u} = (0 - (-1); 1 - 0) = (1; 1).
  • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0;1)(0; 1) và có vectơ chỉ phương u→=(1;1)\overrightarrow{u} = (1; 1) là{x=ty=1+t.\left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 1 + t. \end{array}\right.

Hình 35

  • Đường thẳng đi qua 22 điểm (0;2)(0; 2) và (2;0)(2; 0) có vectơ chỉ phương u→=(2−0;0−2)=(2;−2)  ⟺  (1;−1)\overrightarrow{u} = (2 - 0; 0 - 2) = (2; -2) \iff (1; -1).
  • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0;2)(0; 2) và có vectơ chỉ phương u→=(1;−1)\overrightarrow{u} = (1; -1) là{x=ty=2−t.\left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 2 - t. \end{array}\right.

Hình 36

  • Đường thẳng đi qua 22 điểm (0;−2)(0; -2) và (3;0)(3; 0) có vectơ chỉ phương u→=(3−0;0−(−2))=(3;2)\overrightarrow{u} = (3 - 0; 0 - (-2)) = (3; 2).
  • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0;−2)(0; -2) và có vectơ chỉ phương u→=(3;2)\overrightarrow{u} = (3; 2) là{x=3ty=−2+2t.\left\{\begin{array}{l} x = 3t \\ y = -2 + 2t. \end{array}\right.

Hình 37

  • Đường thẳng đi qua 22 điểm (0;0)(0; 0) và (2;−3)(2; -3) có vectơ chỉ phương u→=(2−0;−3−0)=(2;−3)\overrightarrow{u} = (2 - 0; -3 - 0) = (2; -3).
  • Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0;0)(0; 0) và có vectơ chỉ phương u→=(2;−3)\overrightarrow{u} = (2; -3) là{x=2ty=−3t.\left\{\begin{array}{l} x = 2t \\ y = -3t. \end{array}\right.

Kết quả:

  • Hình 34: {x=ty=1+t.\left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 1 + t. \end{array}\right.
  • Hình 35: {x=ty=2−t.\left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 2 - t. \end{array}\right.
  • Hình 36: {x=3ty=−2+2t.\left\{\begin{array}{l} x = 3t \\ y = -2 + 2t. \end{array}\right.
  • Hình 37: {x=2ty=−3t.\left\{\begin{array}{l} x = 2t \\ y = -3t. \end{array}\right.

Trang 81 — Phương trình đường thẳng

Bài 3. Cho đường thẳng dd có phương trình tham số là: $\begin{cases} x = -1 - t \ y = 2 + 2t \end{cases}$

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng dd.

Lời giải:

Đường thẳng dd có phương trình tham số là: $\begin{cases} x = -1 - t \ y = 2 + 2t \end{cases}$

Ta có: $\begin{cases} x = -1 - t \ y = 2 + 2t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t = -x - 1 \ y = 2 + 2(-x - 1) \end{cases}$

⇒y=−2x\Rightarrow y = -2x

⇒2x+y=0\Rightarrow 2x + y = 0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng dd là: 2x+y=02x + y = 0.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng dd với các trục OxOx, OyOy.

Lời giải:

  • Giao điểm của đường thẳng dd với trục OxOx: ⇒y=0⇒2x+0=0⇒x=0\Rightarrow y = 0 \Rightarrow 2x + 0 = 0 \Rightarrow x = 0

⇒\Rightarrow Tọa độ giao điểm với trục OxOx là: (0,0)(0, 0).

  • Giao điểm của đường thẳng dd với trục OyOy: ⇒x=0⇒2(0)+y=0⇒y=0\Rightarrow x = 0 \Rightarrow 2(0) + y = 0 \Rightarrow y = 0

⇒\Rightarrow Tọa độ giao điểm với trục OyOy là: (0,0)(0, 0).

c) Đường thẳng dd đi qua điểm M(7;5)M(7; 5) hay không?

Lời giải:

Thay x=7,y=5x = 7, y = 5 vào phương trình tổng quát của đường thẳng dd: 2(7)+5=14+5=19≠02(7) + 5 = 14 + 5 = 19 \ne 0

⇒\Rightarrow Đường thẳng dd không đi qua điểm M(7;5)M(7; 5).

Kết quả:

  • Phương trình tổng quát: 2x+y=02x + y = 0
  • Giao với OxOx: (0,0)(0, 0)
  • Giao với OyOy: (0,0)(0, 0)
  • Không đi qua M(7,5)M(7, 5)

Bài 4. Cho đường thẳng dd có phương trình tổng quát là: x−2y−5=0x - 2y - 5 = 0.

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng dd.

Lời giải:

Ta có: x−2y−5=0⇒x=2y+5x - 2y - 5 = 0 \Rightarrow x = 2y + 5

Chọn y=0⇒x=5⇒A(5,0)y = 0 \Rightarrow x = 5 \Rightarrow A(5, 0)

⇒n⃗=(1,−2)⇒u⃗=(2,1)\Rightarrow \vec{n} = (1, -2) \Rightarrow \vec{u} = (2, 1)

⇒\Rightarrow Phương trình tham số của đường thẳng dd là: $\begin{cases} x = 5 + 2t \ y = t \end{cases}$

b) Tìm tọa độ điểm MM thuộc dd sao cho OM=5OM = 5 với OO là gốc tọa độ.

Lời giải:

Gọi M(x,y)M(x, y)

$\Rightarrow \begin{cases} x = 5 + 2t \ y = t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 2y = 5 \ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$

Thay x=2y+5x = 2y + 5 vào x2+y2=25x^2 + y^2 = 25:

(2y+5)2+y2=25(2y + 5)^2 + y^2 = 25

⇒4y2+20y+25+y2=25\Rightarrow 4y^2 + 20y + 25 + y^2 = 25

⇒5y2+20y=0\Rightarrow 5y^2 + 20y = 0

⇒5y(y+4)=0\Rightarrow 5y(y + 4) = 0

⇒y=0⇒x=5\Rightarrow y = 0 \Rightarrow x = 5

hoặc y=−4⇒x=−3y = -4 \Rightarrow x = -3

⇒M(5,0)\Rightarrow M(5, 0) hoặc M(−3,−4)M(-3, -4)

c) Tìm tọa độ điểm NN thuộc dd sao cho khoảng cách từ NN đến trục OxOx là 33.

Lời giải:

Gọi N(x,y)N(x, y)

$\Rightarrow \begin{cases} x = 5 + 2t \ y = t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 2y = 5 \ |y| = 3 \end{cases}$

⇒y=3\Rightarrow y = 3 hoặc y=−3y = -3

⇒x=11\Rightarrow x = 11 hoặc x=−1x = -1

⇒N(11,3)\Rightarrow N(11, 3) hoặc N(−1,−3)N(-1, -3)

Kết quả:

  • Phương trình tham số: $\begin{cases} x = 5 + 2t \ y = t \end{cases}$
  • M(5,0)M(5, 0) hoặc M(−3,−4)M(-3, -4)
  • N(11,3)N(11, 3) hoặc N(−1,−3)N(-1, -3)

Bài 5. Cho tam giác ABCABC, biết A(1;3),B(−1;−1),C(5;−3)A(1; 3), B(-1; -1), C(5; -3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Các đường thẳng AB,BC,ACAB, BC, AC.

Lời giải:

  • Đường thẳng ABAB:

AB⃗=(−2,−4)⇒n⃗=(2,−1)\vec{AB} = (-2, -4) \Rightarrow \vec{n} = (2, -1)

⇒\Rightarrow Phương trình tổng quát của đường thẳng ABAB là: 2(x−1)−1(y−3)=02(x - 1) - 1(y - 3) = 0

⇒2x−y+1=0\Rightarrow 2x - y + 1 = 0

  • Đường thẳng BCBC:

BC⃗=(6,−2)⇒n⃗=(1,3)\vec{BC} = (6, -2) \Rightarrow \vec{n} = (1, 3)

⇒\Rightarrow Phương trình tổng quát của đường thẳng BCBC là: 1(x+1)+3(y+1)=01(x + 1) + 3(y + 1) = 0

⇒x+3y+4=0\Rightarrow x + 3y + 4 = 0

  • Đường thẳng ACAC:

AC⃗=(4,−6)⇒n⃗=(3,2)\vec{AC} = (4, -6) \Rightarrow \vec{n} = (3, 2)

⇒\Rightarrow Phương trình tổng quát của đường thẳng ACAC là: 3(x−1)+2(y−3)=03(x - 1) + 2(y - 3) = 0

⇒3x+2y−9=0\Rightarrow 3x + 2y - 9 = 0

b) Đường trung trực của cạnh ABAB.

Lời giải:

Gọi II là trung điểm của ABAB

⇒I(0,1)\Rightarrow I(0, 1)

AB⃗=(−2,−4)⇒n⃗=(2,−1)\vec{AB} = (-2, -4) \Rightarrow \vec{n} = (2, -1)

⇒\Rightarrow Phương trình tổng quát của đường trung trực ABAB là: 2(x−0)−1(y−1)=02(x - 0) - 1(y - 1) = 0

⇒2x−y+1=0\Rightarrow 2x - y + 1 = 0

c) Đường cao AHAH và đường trung tuyến AMAM.

Lời giải:

  • Đường cao AHAH:

BC⃗=(6,−2)⇒n⃗=(1,3)\vec{BC} = (6, -2) \Rightarrow \vec{n} = (1, 3)

⇒\Rightarrow Phương trình tổng quát của đường cao AHAH là: 1(x−1)+3(y−3)=01(x - 1) + 3(y - 3) = 0

⇒x+3y−10=0\Rightarrow x + 3y - 10 = 0

  • Đường trung tuyến AMAM:

Gọi MM là trung điểm của BCBC

⇒M(2,−2)\Rightarrow M(2, -2)

AM⃗=(1,−5)⇒n⃗=(5,1)\vec{AM} = (1, -5) \Rightarrow \vec{n} = (5, 1)

⇒\Rightarrow Phương trình tổng quát của đường trung tuyến AMAM là: 5(x−1)+1(y−3)=05(x - 1) + 1(y - 3) = 0

⇒5x+y−8=0\Rightarrow 5x + y - 8 = 0

Kết quả:

  • AB:2x−y+1=0AB: 2x - y + 1 = 0
  • BC:x+3y+4=0BC: x + 3y + 4 = 0
  • AC:3x+2y−9=0AC: 3x + 2y - 9 = 0
  • Đường trung trực AB:2x−y+1=0AB: 2x - y + 1 = 0
  • AH:x+3y−10=0AH: x + 3y - 10 = 0
  • AM:5x+y−8=0AM: 5x + y - 8 = 0

Kết thúc trang 81.

Trang 82 — Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài tập:

  1. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 lần lượt có vector chỉ phương u1→\overrightarrow{u_1}, u2→\overrightarrow{u_2}. Nêu điều kiện để hai vector u1→\overrightarrow{u_1}, u2→\overrightarrow{u_2} trong mỗi trường hợp sau:

    • a) Δ1⊥Δ2\Delta_1 \perp \Delta_2
    • b) Δ1\Delta_1 song song với Δ2\Delta_2
    • c) Δ1\Delta_1 trùng với Δ2\Delta_2

  2. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 lần lượt có vector chỉ phương u1→\overrightarrow{u_1}, u2→\overrightarrow{u_2}. Khi đó, Δ1⊥Δ2\Delta_1 \perp \Delta_2 khi và chỉ khi:

    • a) u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} không cùng phương.
    • b) Δ1\Delta_1 song song với Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc Δ1\Delta_1 không thuộc Δ2\Delta_2.
    • c) Δ1\Delta_1 trùng với Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc Δ1\Delta_1 thuộc Δ2\Delta_2.

Lời giải:

Bài 1:

  • a) Δ1⊥Δ2\Delta_1 \perp \Delta_2 khi và chỉ khi u1→⋅u2→=0\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0

  • b) Δ1\Delta_1 song song với Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc Δ1\Delta_1 không thuộc Δ2\Delta_2.

  • c) Δ1\Delta_1 trùng với Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc Δ1\Delta_1 thuộc Δ2\Delta_2.

Bài 2:

  • a) Δ1⊥Δ2\Delta_1 \perp \Delta_2 khi và chỉ khi u1→⋅u2→=0\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0 nên u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} không cùng phương.

Kết quả: Đáp án đúng là:

  • a) u1→⋅u2→=0\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0
  • b) Δ1\Delta_1 song song với Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc Δ1\Delta_1 không thuộc Δ2\Delta_2.
  • c) Δ1\Delta_1 trùng với Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1→\overrightarrow{u_1} và u2→\overrightarrow{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc Δ1\Delta_1 thuộc Δ2\Delta_2.

Trang 83 —

Trang này có các ví dụ và bài tập cần giải.

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) Δ1:2x−y+1=0\Delta_1: 2x - y + 1 = 0 và Δ2:x+y+2=0.\Delta_2: x + y + 2 = 0.

b) Δ1:x−y−1=0\Delta_1: x - y - 1 = 0 và Δ2:2x−2y+1=0.\Delta_2: 2x - 2y + 1 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng Δ1\Delta_1 có vectơ chỉ phương u1→=(1;2)\overrightarrow{u_1} = (1; 2) và Δ2\Delta_2 có vectơ chỉ phương u2→=(−1;1).\overrightarrow{u_2} = (-1; 1). Do 1−1≠21\frac{1}{-1} \neq \frac{2}{1} nên u1→\overrightarrow{u_1}, u2→\overrightarrow{u_2} không cùng phương. Suy ra Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau.

Ta có hệ phương trình {2x−y+1=0x+y+2=0.\begin{cases} 2x - y + 1 = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}.

Giải hệ phương trình ta được x=−33=−1,y=−1.x = -\frac{3}{3} = -1, y = -1.

Vậy Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại điểm (−1;−1).(-1; -1).

b) Đường thẳng Δ1\Delta_1 có vectơ chỉ phương u1→=(1;1)\overrightarrow{u_1} = (1; 1) và Δ2\Delta_2 có vectơ chỉ phương u2→=(1;1).\overrightarrow{u_2} = (1; 1). Suy ra u1→=u2→.\overrightarrow{u_1} = \overrightarrow{u_2}. Chọn t0=0t_0 = 0 để tìm điểm M(1;0)∈Δ1.M(1; 0) \in \Delta_1. Do 1−0−1=01 - 0 - 1 = 0 nên M(1;0)∈Δ2.M(1; 0) \in \Delta_2.

Vậy Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 trùng nhau.

Kết quả: a) Cắt nhau tại (−1;−1)(-1; -1); b) Trùng nhau.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

d:x−2y+2=0d: x - 2y + 2 = 0 và {3x−y+6=0,2x+y−2=0.\begin{cases} 3x - y + 6 = 0, \\ 2x + y - 2 = 0. \end{cases}

Lời giải:

Ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng dd và từng đường thẳng trong hệ phương trình.

Hệ phương trình {x−2y+2=03x−y+6=0\begin{cases} x - 2y + 2 = 0 \\ 3x - y + 6 = 0 \end{cases} có nghiệm {x=−105=−2y=0.\begin{cases} x = -\frac{10}{5} = -2 \\ y = 0 \end{cases}.

Hệ phương trình {x−2y+2=02x+y−2=0\begin{cases} x - 2y + 2 = 0 \\ 2x + y - 2 = 0 \end{cases} vô nghiệm.

Vậy đường thẳng dd cắt đường thẳng thứ nhất tại điểm (−2;0)(-2; 0) và không cắt đường thẳng thứ hai.

Kết quả: Đường thẳng dd cắt đường thẳng thứ nhất và không cắt đường thẳng thứ hai.

Bài tập

Không có bài tập trên trang này.

Vậy nên trả lời:

SKIP