Bài tập (trang 80)

Bài 3. Cho đường thẳng dd có phương trình tham số {x=−1−3ty=2+2t\begin{cases} x = -1 - 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases}

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng dd.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng dd lần lượt với các trục OxOx, OyOy.

c) Đường thẳng dd có đi qua điểm M(−7;5)M(-7; 5) hay không?

Lời giải:

a) Đường thẳng dd đi qua điểm A(−1;2)A(-1; 2) và có vectơ chỉ phương u⃗=(−3;2)\vec{u} = (-3; 2), nên có vectơ pháp tuyến n⃗=(2;3)\vec{n} = (2; 3).

Phương trình tổng quát: 2(x+1)+3(y−2)=0  ⟺  2x+3y−4=02(x + 1) + 3(y - 2) = 0 \iff 2x + 3y - 4 = 0.

b) Giao với OxOx: cho y=0y = 0, được 2x−4=0  ⟺  x=22x - 4 = 0 \iff x = 2. Vậy giao điểm là (2;0)(2; 0).

Giao với OyOy: cho x=0x = 0, được 3y−4=0  ⟺  y=433y - 4 = 0 \iff y = \dfrac{4}{3}. Vậy giao điểm là (0;43)\left(0; \dfrac{4}{3}\right).

c) Thay M(−7;5)M(-7; 5) vào phương trình tổng quát: 2⋅(−7)+3⋅5−4=−14+15−4=−3≠02 \cdot (-7) + 3 \cdot 5 - 4 = -14 + 15 - 4 = -3 \ne 0.

Vậy đường thẳng dd không đi qua điểm M(−7;5)M(-7; 5).

Bài 4. Cho đường thẳng dd có phương trình tổng quát x−2y−5=0x - 2y - 5 = 0.

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng dd.

b) Tìm tọa độ điểm MM thuộc dd sao cho OM=5OM = 5 với OO là gốc tọa độ.

c) Tìm tọa độ điểm NN thuộc dd sao cho khoảng cách từ NN đến trục hoành OxOx là 33.

Lời giải:

a) Đường thẳng dd có vectơ pháp tuyến n⃗=(1;−2)\vec{n} = (1; -2) nên có vectơ chỉ phương u⃗=(2;1)\vec{u} = (2; 1). Chọn điểm A(5;0)∈dA(5; 0) \in d (thay y=0y = 0).

Phương trình tham số: {x=5+2ty=t\begin{cases} x = 5 + 2t \\ y = t \end{cases}

b) Điểm M∈dM \in d có dạng M(5+2t;t)M(5 + 2t; t). Từ OM=5OM = 5:

(5+2t)2+t2=25  ⟺  5t2+20t=0  ⟺  5t(t+4)=0.(5 + 2t)^2 + t^2 = 25 \iff 5t^2 + 20t = 0 \iff 5t(t + 4) = 0.

Suy ra t=0t = 0 hoặc t=−4t = -4. Vậy có hai điểm: M1(5;0)M_1(5; 0) và M2(−3;−4)M_2(-3; -4).

(Kiểm tra: OM2=9+16=5OM_2 = \sqrt{9 + 16} = 5 ✓)

c) Điểm N∈dN \in d có dạng N(5+2t;t)N(5 + 2t; t). Khoảng cách từ NN đến OxOx bằng ∣t∣=3|t| = 3, nên t=3t = 3 hoặc t=−3t = -3.

Vậy có hai điểm: N1(11;3)N_1(11; 3) và N2(−1;−3)N_2(-1; -3).

Bài 5. Cho tam giác ABCABC, biết A(1;3)A(1; 3), B(−1;−1)B(-1; -1), C(5;−3)C(5; -3). Lập phương trình tổng quát của:

a) Ba đường thẳng ABAB, BCBC, CACA;

b) Đường trung trực cạnh ABAB;

c) Đường cao AHAH và đường trung tuyến AMAM.

Lời giải:

a) Đường thẳng ABAB: AB→=(−2;−4)\overrightarrow{AB} = (-2; -4), chọn vectơ chỉ phương (1;2)(1; 2) nên vectơ pháp tuyến là (2;−1)(2; -1).

Phương trình: 2(x−1)−(y−3)=0  ⟺  2x−y+1=02(x - 1) - (y - 3) = 0 \iff 2x - y + 1 = 0.

Đường thẳng BCBC: BC→=(6;−2)\overrightarrow{BC} = (6; -2), chọn vectơ chỉ phương (3;−1)(3; -1) nên vectơ pháp tuyến là (1;3)(1; 3).

Phương trình: (x+1)+3(y+1)=0  ⟺  x+3y+4=0(x + 1) + 3(y + 1) = 0 \iff x + 3y + 4 = 0.

Đường thẳng CACA: CA→=(−4;6)\overrightarrow{CA} = (-4; 6), chọn vectơ chỉ phương (2;−3)(2; -3) nên vectơ pháp tuyến là (3;2)(3; 2).

Phương trình: 3(x−1)+2(y−3)=0  ⟺  3x+2y−9=03(x - 1) + 2(y - 3) = 0 \iff 3x + 2y - 9 = 0.

b) Trung điểm của ABAB là I(0;1)I(0; 1). Đường trung trực của ABAB đi qua II và nhận AB→=(−2;−4)\overrightarrow{AB} = (-2; -4) (hay (1;2)(1; 2)) làm vectơ pháp tuyến:

1(x−0)+2(y−1)=0  ⟺  x+2y−2=0.1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 \iff x + 2y - 2 = 0.

c) Đường cao AHAH đi qua A(1;3)A(1; 3), vuông góc với BCBC nên nhận BC→=(6;−2)\overrightarrow{BC} = (6; -2) (hay (3;−1)(3; -1)) làm vectơ pháp tuyến:

3(x−1)−(y−3)=0  ⟺  3x−y=0.3(x - 1) - (y - 3) = 0 \iff 3x - y = 0.

Đường trung tuyến AMAM: MM là trung điểm BCBC nên M(2;−2)M(2; -2). Ta có AM→=(1;−5)\overrightarrow{AM} = (1; -5), vectơ pháp tuyến là (5;1)(5; 1):

5(x−1)+(y−3)=0  ⟺  5x+y−8=0.5(x - 1) + (y - 3) = 0 \iff 5x + y - 8 = 0.

Bài 6. Để tham gia một phòng tập thể dục, người tập phải trả một khoản phí tham gia ban đầu và phí sử dụng phòng tập. Đường thẳng Δ\Delta ở Hình 38 biểu thị tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) tham gia một phòng tập thể dục theo thời gian tập của một người (đơn vị: tháng).

a) Lập phương trình của đường thẳng Δ\Delta.

b) Cho biết giao điểm của đường thẳng Δ\Delta với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì.

c) Tính tổng chi phí mà người đó phải trả khi tham gia phòng tập thể dục với thời gian 1212 tháng.

Lời giải:

a) Theo Hình 38, đường thẳng Δ\Delta đi qua hai điểm (0;1,5)(0; 1{,}5) và (7;5)(7; 5) (trục hoành là thời gian xx tháng, trục tung là chi phí yy triệu đồng).

Hệ số góc: a=5−1,57−0=3,57=0,5a = \dfrac{5 - 1{,}5}{7 - 0} = \dfrac{3{,}5}{7} = 0{,}5.

Phương trình đường thẳng: y=0,5x+1,5y = 0{,}5x + 1{,}5.

b) Giao điểm của Δ\Delta với trục tung là (0;1,5)(0; 1{,}5), ứng với thời gian tập x=0x = 0 tháng. Ý nghĩa: đó là khoản phí tham gia ban đầu, bằng 1,51{,}5 triệu đồng (phải trả ngay cả khi chưa tập buổi nào).

c) Với x=12x = 12 tháng: y=0,5⋅12+1,5=7,5y = 0{,}5 \cdot 12 + 1{,}5 = 7{,}5 (triệu đồng).

Vậy tổng chi phí khi tham gia 1212 tháng là 7,57{,}5 triệu đồng.

§4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng (trang 81–83)

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

HĐ1. Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.

Trả lời: Hai đường thẳng trong mặt phẳng thì cắt nhau, song song hoặc trùng nhau.

HĐ2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 lần lượt có vectơ chỉ phương u1⃗\vec{u_1}, u2⃗\vec{u_2}. Nêu điều kiện về hai vectơ đó trong mỗi trường hợp: a) Δ1\Delta_1 cắt Δ2\Delta_2; b) Δ1\Delta_1 song song Δ2\Delta_2; c) Δ1\Delta_1 trùng Δ2\Delta_2.

Trả lời:

a) Δ1\Delta_1 cắt Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1⃗\vec{u_1}, u2⃗\vec{u_2} không cùng phương.

b) Δ1\Delta_1 song song Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1⃗\vec{u_1}, u2⃗\vec{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc đường thẳng này mà không thuộc đường thẳng kia.

c) Δ1\Delta_1 trùng Δ2\Delta_2 khi và chỉ khi u1⃗\vec{u_1}, u2⃗\vec{u_2} cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng.

Chú ý: Vì u1⃗⊥n1⃗\vec{u_1} \perp \vec{n_1} và u2⃗⊥n2⃗\vec{u_2} \perp \vec{n_2} nên khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào cặp vectơ pháp tuyến của chúng.

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) Δ1 ⁣:2x−y+1=0\Delta_1\colon 2x - y + 1 = 0 và Δ2 ⁣:−x−2y+2=0\Delta_2\colon -x - 2y + 2 = 0;

b) Δ3 ⁣:x−y−1=0\Delta_3\colon x - y - 1 = 0 và Δ4 ⁣:{x=1+2ty=3+2t\Delta_4\colon \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 2t \end{cases}

Lời giải:

a) Δ1\Delta_1 có vectơ chỉ phương u1⃗=(1;2)\vec{u_1} = (1; 2); Δ2\Delta_2 có vectơ chỉ phương u2⃗=(−2;1)\vec{u_2} = (-2; 1).

Vì 1−2≠21\dfrac{1}{-2} \ne \dfrac{2}{1} nên hai vectơ không cùng phương, suy ra Δ1\Delta_1 cắt Δ2\Delta_2.

b) Δ3\Delta_3 có vectơ chỉ phương u3⃗=(1;1)\vec{u_3} = (1; 1); Δ4\Delta_4 có vectơ chỉ phương u4⃗=(2;2)=2u3⃗\vec{u_4} = (2; 2) = 2\vec{u_3} nên hai vectơ cùng phương.

Chọn t=0t = 0 được điểm M(1;3)∈Δ4M(1; 3) \in \Delta_4. Thay vào Δ3\Delta_3: 1−3−1=−3≠01 - 3 - 1 = -3 \ne 0 nên M∉Δ3M \notin \Delta_3.

Vậy Δ3\Delta_3 song song với Δ4\Delta_4.

Nhận xét (dựa vào số giao điểm): Cho Δ1 ⁣:a1x+b1y+c1=0\Delta_1\colon a_1x + b_1y + c_1 = 0 và Δ2 ⁣:a2x+b2y+c2=0\Delta_2\colon a_2x + b_2y + c_2 = 0. Xét hệ:

{a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}
  • Hệ có nghiệm duy nhất: Δ1\Delta_1 cắt Δ2\Delta_2;
  • Hệ có vô số nghiệm: Δ1\Delta_1 trùng Δ2\Delta_2;
  • Hệ vô nghiệm: Δ1\Delta_1 song song Δ2\Delta_2.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1 ⁣:x−2y+1=0\Delta_1\colon x - 2y + 1 = 0 và Δ2 ⁣:2x−4y+2=0\Delta_2\colon 2x - 4y + 2 = 0.

Lời giải:

Tọa độ giao điểm (nếu có) là nghiệm của hệ:

{x−2y+1=02x−4y+2=0\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 2x - 4y + 2 = 0 \end{cases}

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với 22 ta được đúng phương trình thứ hai, nên hệ có vô số nghiệm.

Vậy Δ1\Delta_1 trùng với Δ2\Delta_2.

II. Góc giữa hai đường thẳng

HĐ3. Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2 cắt nhau tại AA tạo thành bốn góc đỉnh AA.

Nhận xét:

  • Nếu Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1 và Δ2\Delta_2.
  • Nếu Δ1⊥Δ2\Delta_1 \perp \Delta_2 thì bốn góc tạo thành bằng nhau; ta nói góc giữa hai đường thẳng bằng 90∘90^\circ.

Góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là (Δ1,Δ2^)(\widehat{\Delta_1, \Delta_2}) hoặc (Δ1,Δ2)(\Delta_1, \Delta_2).

Quy ước: Khi Δ1\Delta_1 song song hoặc trùng Δ2\Delta_2, góc giữa hai đường thẳng bằng 0∘0^\circ.

Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn 0∘≤(Δ1,Δ2)≤90∘0^\circ \le (\Delta_1, \Delta_2) \le 90^\circ.

HĐ4. Cho hai đường thẳng Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 cắt nhau tại II, có vectơ chỉ phương lần lượt là u1⃗\vec{u_1}, u2⃗\vec{u_2}. Gọi AA, BB là các điểm lần lượt thuộc Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 sao cho u1⃗=IA→\vec{u_1} = \overrightarrow{IA}, u2⃗=IB→\vec{u_2} = \overrightarrow{IB}.

a) Nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng Δ1\Delta_1, Δ2\Delta_2 với độ lớn của góc giữa hai vectơ IA→\overrightarrow{IA}, IB→\overrightarrow{IB}.

b) Chứng tỏ rằng cos⁡(Δ1,Δ2)=∣cos⁡(IA→,IB→)∣\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \left|\cos\left(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}\right)\right|.

Lời giải:

a) Khi góc giữa hai vectơ IA→\overrightarrow{IA}, IB→\overrightarrow{IB} là góc nhọn (Hình 41a) thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ đó. Khi góc giữa hai vectơ là góc tù (Hình 41b) thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc bù với góc giữa hai vectơ.

b) Đặt α=(Δ1,Δ2)\alpha = (\Delta_1, \Delta_2) và β=(IA→,IB→)\beta = \left(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}\right).

  • Nếu β≤90∘\beta \le 90^\circ thì α=β\alpha = \beta, do đó cos⁡α=cos⁡β=∣cos⁡β∣\cos\alpha = \cos\beta = |\cos\beta| (vì cos⁡β≥0\cos\beta \ge 0).
  • Nếu β>90∘\beta > 90^\circ thì α=180∘−β\alpha = 180^\circ - \beta, do đó cos⁡α=cos⁡(180∘−β)=−cos⁡β=∣cos⁡β∣\cos\alpha = \cos(180^\circ - \beta) = -\cos\beta = |\cos\beta| (vì cos⁡β<0\cos\beta < 0).

Trong cả hai trường hợp ta đều có cos⁡(Δ1,Δ2)=∣cos⁡(IA→,IB→)∣\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \left|\cos\left(\overrightarrow{IA}, \overrightarrow{IB}\right)\right| (điều phải chứng minh).