Giải Toán 10 Tập 2 trang 84-87 - Cánh diều

Trang 84 — Góc giữa hai đường thẳng

Bài tập

Không có bài tập/ câu hỏi/ luyện tập/ ví dụ cụ thể trên trang này.

SKIP

---

Trang 85 —

Vídụ 1.

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ trong mỗi trường hợp sau: a) $\Delta_1: x = -1 + \sqrt{3}t$ và $\Delta_2: x = -1 + \sqrt{3}t,\ y = 1 + t$ b) $\Delta_1: 3x + y - 10 = 0$ và $\Delta_2: -2x + y - 7 = 0$.

Lời giải:

a) Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (\sqrt{3}, 1)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2} = (\sqrt{3}, -1)$.

Ta có $$ \begin{aligned} cos(\Delta_1, \Delta_2) &= \left| cos(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}) \right| \ &= \frac{|\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}| \cdot |\overrightarrow{u_2}|} \ &= \frac{|\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} \ &= \frac{|3 - 1|}{\sqrt{3 + 1} \cdot \sqrt{3 + 1}} \ &= \frac{2}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{4}} \ &= \frac{2}{2 \cdot 2} \ &= \frac{1}{2}. \end{aligned} $$

Do đó, số đo góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\alpha$ sao cho $cos(\alpha) = \frac{1}{2}$ hay $\alpha = 60^\circ$.

Kết quả: $60^\circ$

---

b) Đường thẳng $\Delta_1: 3x + y - 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1} = (3, 1)$.

Đường thẳng $\Delta_2: -2x + y - 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2} = (-2, 1)$.

Ta có $$ \begin{aligned} cos(\Delta_1, \Delta_2) &= \left| cos(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}) \right| \ &= \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \ &= \frac{|3 \cdot (-2) + 1 \cdot 1|}{\sqrt{3^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 1^2}} \ &= \frac{|-6 + 1|}{\sqrt{9 + 1} \cdot \sqrt{4 + 1}} \ &= \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} \ &= \frac{5}{\sqrt{50}} \ &= \frac{5}{5\sqrt{2}} \ &= \frac{1}{\sqrt{2}}. \end{aligned} $$

Do đó, số đo góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\alpha$ sao cho $cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $\alpha = 45^\circ$.

Kết quả: $45^\circ$

Bài tập

Tính độ góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\Delta_1: x = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}t\ y = -1 + \frac{1}{2}t$

và $\Delta_2: y + 2 = 0$.

b) $\Delta_1: 2x - y = 0$ và $\Delta_2: x - 3y - 5 = 0$.

Lời giải:

a) Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2} = (0, 1)$.

Vecto chỉ phương của $\Delta_2$ là $\overrightarrow{u_2} = (1, 0)$.

Ta có $$ \begin{aligned} cos(\Delta_1, \Delta_2) &= \left| cos(\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}) \right| \ &= \frac{|\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}| \cdot |\overrightarrow{u_2}|} \ &= \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0|}{\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2}} \ &= \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \cdot \sqrt{1}} \ &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{ \sqrt{1} \cdot 1} \ &= \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned} $$

Do đó, số đo góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\alpha$ sao cho $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ hay $\alpha = 30^\circ$.

Kết quả: $30^\circ$

---

b) Đường thẳng $\Delta_1: 2x - y = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1} = (2, -1)$.

Đường thẳng $\Delta_2: x - 3y - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2} = (1, -3)$.

Ta có $$ \begin{aligned} cos(\Delta_1, \Delta_2) &= \left| cos(\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}) \right| \ &= \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \ &= \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-3)^2}} \ &= \frac{|2 + 3|}{\sqrt{4 + 1} \cdot \sqrt{1 + 9}} \ &= \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} \ &= \frac{5}{\sqrt{50}} \ &= \frac{5}{5\sqrt{2}} \ &= \frac{1}{\sqrt{2}}. \end{aligned} $$

Do đó, số đo góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là $\alpha$ sao cho $cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ hay $\alpha = 45^\circ$.

Kết quả: $45^\circ$

---

Trang 86 — Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $M(-2; 1)$ và $\Delta: 2x - 3y + 5 = 0$.

b) $M(1; -3)$ và $\Delta: \begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 2 - 4t \end{cases}$.

Lời giải:

a) Ta có: $$ d(M, \Delta) = \frac{|2(-2) - 3(1) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-4 - 3 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} $$

b) Ta có thể viết phương trình đường thẳng $\Delta$ dưới dạng tổng quát: $$ \Delta: 4x + 3y + 2 = 0 $$ Khi đó, $$ d(M, \Delta) = \frac{|4(1) + 3(-3) + 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4 - 9 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{3}{5} $$

Kết quả: $\frac{2\sqrt{13}}{13}, \frac{3}{5}$

Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm $O(0; 0)$ đến đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = -2 + t \\ y = -1 + 2t \end{cases}$.

Lời giải:

Ta có thể viết phương trình đường thẳng $\Delta$ dưới dạng tổng quát: $$ \Delta: 2x - y + 3 = 0 $$ Khi đó, $$ d(O, \Delta) = \frac{|2(0) - 0 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} $$

Kết quả: $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

---

Trang 87 — Bài tập phương trình đường thẳng

Bài 1. Kết luận vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) $d_1: 3x + 2y - 5 = 0$ và $d_2: x + y - 1 = 0$;

b) $d_1: x - 2y + 3 = 0$ và $d_2: -2x + 4y + 10 = 0$;

c) $d_1: 4x + 2y - 3 = 0$ và $d_2: \begin{cases} x = - \frac{1}{2} + t \\ y = \frac{5}{2} - 2t \end{cases}$.

Lời giải:

a) Ta có:

• $d_1: 3x + 2y - 5 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_1} = (3; 2)$,
• $d_2: x + y - 1 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_2} = (1; 1)$.

Ta thấy $\frac{3}{1} \neq \frac{2}{1}$, suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương.

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

---

b) Ta có:

• $d_1: x - 2y + 3 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_1} = (1; -2)$,
• $d_2: -2x + 4y + 10 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_2} = (-2; 4)$.

Ta thấy $\overrightarrow{n_2} = -2\overrightarrow{n_1}$, suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

Lấy $M(-3; -1) \in d_1$ nhưng $M \notin d_2$.

Vậy $d_1$ và $d_2$ song song.

---

c) Ta có:

• $d_1: 4x + 2y - 3 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_1} = (4; 2)$,
• $d_2: \begin{cases} x = - \frac{1}{2} + t \\ y = \frac{5}{2} - 2t \end{cases}$ có VTCP $\overrightarrow{u_2} = (1; -2)$, suy ra VTPT $\overrightarrow{n_2} = (2; 1)$.

Ta thấy $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 4 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 10 \neq 0$, suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không vuông góc.

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

Kết quả: a) Cắt nhau; b) Song song; c) Cắt nhau.

Bài 2. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1: 2x - y + 5 = 0$ và $d_2: x - 3y + 3 = 0$.

Lời giải:

Ta có:

• $d_1: 2x - y + 5 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_1} = (2; -1)$,
• $d_2: x - 3y + 3 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_2} = (1; -3)$.

Góc giữa $d_1$ và $d_2$ là $$ \begin{aligned} \varphi &= \left| \arccos \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{| \overrightarrow{n_1} | \cdot | \overrightarrow{n_2} |} \right| \ &= \left| \arccos \frac{2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-3)^2}} \right| \ &= \left| \arccos \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} \right| \ &= \left| \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right| \ &= 45^\circ. \end{aligned} $$

Kết quả: $45^\circ$.

Bài 3. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) $A(1; -2)$ và $\Delta_1: x + 3y + 4 = 0$;

b) $B(-3; 2)$ và $\Delta_2: \begin{cases} x = -2 + 2t \\ y = 1 - 4t \end{cases}$.

Lời giải:

a) Ta có $d(A, \Delta_1) = \frac{|1 + 3 \cdot (-2) + 4|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

b) Ta có $\Delta_2: 2x + y + 3 = 0$.

$d(B, \Delta_2) = \frac{|-6 + 2 + 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Kết quả: a) $\frac{\sqrt{10}}{10}$; b) $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Bài 4. Với giá trị nào của tham số $m$ thì hai đường thẳng sau vuông góc?

a) $m_1: mx + y - 19 = 0$ và $\Delta_2: (m + 1)x + (m - 1)y + m = 0$.

Lời giải:

$\Delta_1: mx + y - 19 = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_1} = (m; 1)$,

$\Delta_2: (m + 1)x + (m - 1)y + m = 0$ có VTPT $\overrightarrow{n_2} = (m + 1; m - 1)$.

$\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2} \Leftrightarrow \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0$

$\Leftrightarrow m(m + 1) + 1(m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow m^2 + m + m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow m^2 + 2m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow m = -1 \pm \sqrt{2}$.

Kết quả: $m = -1 \pm \sqrt{2}$.

Bài 5. Cho ba điểm $A(2; - 1), B(1; 2)$ và $C(3; -2)$. Tính số đo góc $BAC$ và góc giữa hai đường thẳng $AB, AC$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB} = (-1; 3)$, $\overrightarrow{AC} = (1; -1)$.

$\cos \angle BAC = \cos (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\| \overrightarrow{AB} \| \cdot \| \overrightarrow{AC} \|} = \frac{(-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-1)}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{-4}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Suy ra $\angle BAC = \arccos \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right)$.

Ta có $\angle BAC \approx 26.57^\circ$.

Góc giữa $AB$ và $AC$ là $26.57^\circ$.

Kết quả: $26.57^\circ$.