Giải Toán 10 Tập 2 trang 88-91 - Cánh diều

Trang 88 — Phương trình đường tròn

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm $O(0 ; 0)$ đến điểm $M(3 ; 4)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm $O(0 ; 0)$ đến điểm $M(3 ; 4)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là:

$$OM = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Kết quả: $5$

Bài 2. Cho hai điểm $A(1; 2)$ và $B(3; 4)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

a) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$. b) Chứng minh rằng đường tròn $(I; 5)$ với $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có phương trình $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$.

Lời giải:

a) Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:

$$I = \left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+4}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}; \frac{6}{2}\right) = (2; 3)$$

b) Theo câu a), ta có $I(2;3)$.

Với $M(x; y)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có:

$$IM = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2}$$

Do đó: $IM = 5 \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = 5 \Leftrightarrow (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$

Vậy phương trình đường tròn $(I; 5)$ là $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$.

Kết quả:

a) $I(2;3)$

b) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nêu mối liên hệ giữa $x$ và $y$ để:

a) Điểm $M(x; y)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $O(0; 0)$ bán kính $5$.

b) Điểm $M(x; y)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$ bán kính $R$.

Lời giải:

a) Điểm $M(x; y)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $O(0; 0)$ bán kính $5$ khi và chỉ khi:

$$OM = 5 \Leftrightarrow \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = 5 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 25$$

b) Điểm $M(x; y)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ khi và chỉ khi:

$$IM = R \Leftrightarrow \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = R \Leftrightarrow (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$$

Kết quả:

a) $x^2 + y^2 = 25$

b) $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$

---

Trang 89 — Phương trình đường tròn

Bài 1. Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$;

b) Đường tròn tâm $I( - 1; 3)$ bán kính $R = 7$.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ là $$ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2 \iff x^2 + y^2 = R^2. $$

b) Phương trình đường tròn tâm $I( - 1; 3)$ bán kính $R = 7$ là $$ (x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 7^2 \iff (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 49. $$

Kết quả:

• a) $x^2 + y^2 = R^2$
• b) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 49$

Bài 2. Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình là $$ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9. $$

Lời giải:

Ta có: $$ \begin{aligned} & (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9 \ \iff & (x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 3^2 \end{aligned} $$

Vậy đường tròn có tâm $I( - 2; 5)$ và bán kính $R = 3$.

Kết quả: Tâm $I( - 2; 5)$, bán kính $R = 3$.

Bài 3. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(8; - 7)$ và đi qua điểm $A(3; 2)$.

Lời giải:

Bán kính của đường tròn là $$ R = IA = \sqrt{(3-8)^2 + (2-(-7))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 9^2} = \sqrt{25+81} = \sqrt{106}. $$

Phương trình đường tròn có tâm $I(8; -7)$ và bán kính $R = \sqrt{106}$ là $$ (x - 8)^2 + (y + 7)^2 = (\sqrt{106})^2 \iff (x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 106. $$

Kết quả: $(x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 106$

Bài 4. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(0; 0)$ và đi qua điểm $M(3; 4)$.

Lời giải:

Bán kính của đường tròn là $$ R = IM = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5. $$

Phương trình đường tròn có tâm $I(0; 0)$ và bán kính $R = 5$ là $$ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \iff x^2 + y^2 = 25. $$

Kết quả: $x^2 + y^2 = 25$

Bài 5. Nêu điều kiện để phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn.

Lời giải:

Ta có thể viết phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ dưới dạng $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 + b^2 - c. $$

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì $a^2 + b^2 - c > 0$ hay điều kiện là $a^2 + b^2 > c$.

Kết quả: $a^2 + b^2 > c$.

Bài 6. Xác định $a, b, c$ để phương trình $x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn và khi đó xác định tâm và bán kính của đường tròn.

Lời giải:

Ta có thể viết phương trình $x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$ dưới dạng $$ (x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 + b^2 - c. $$

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì $a^2 + b^2 - c > 0$ hay điều kiện là $a^2 + b^2 > c$.

Khi đó, tâm của đường tròn là $I(-a; -b)$ và bán kính của đường tròn là $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

Kết quả: $a^2 + b^2 > c$, tâm $I(-a; -b)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

---

Trang 90 — Phương trình đường tròn

Bài tập

Bài 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 16$

b) $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 2 = 0$

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Ta có: $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 16$

$\implies$ Tâm $I (3; -5)$, bán kính $R = \sqrt{16} = 4$

b) Phương trình đường tròn có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - c = 0$.

Ta có: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 2 = 0$

$\implies$ Tâm $I (3; -2)$, bán kính $R = \sqrt{3^2 + (-2)^2 - (-2)} = \sqrt{9 + 4 + 2} = \sqrt{15}$

Kết quả:

• a) Tâm $I (3; -5)$, bán kính $R = 4$
• b) Tâm $I (3; -2)$, bán kính $R = \sqrt{15}$

Bài 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1; -2), B(0; 3), C(2; 2)$

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là $I (a; b)$. Ta có $IA = IB = IC \implies IA^2 = IB^2 = IC^2$.

Vì $IA^2 = IB^2$ nên $(-1 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (0 - a)^2 + (3 - b)^2$

$\iff (1 + 2a + a^2) + (4 + 4b + b^2) = a^2 + (9 - 6b + b^2)$

$\iff 2a + 4b + 4 = 0$ $(1)$

Vì $IA^2 = IC^2$ nên $(-1 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (2 - a)^2 + (2 - b)^2$

$\iff (1 + 2a + a^2) + (4 + 4b + b^2) = (4 - 4a + a^2) + (4 - 4b + b^2)$

$\iff 6a + 8b = 4$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ ta có hệ phương trình:

$\iff \begin{cases} 2a + 4b = -4 \ 6a + 8b = 4 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} a = 4 \ b = -3 \end{cases}$

$\implies I (4; -3)$

Đường tròn có tâm $I (4; -3)$ bán kính $R = IA = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

Phương trình đường tròn là $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 10$

Kết quả: $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 10$

Bài 3. Lập phương trình đường tròn đi qua điểm $A(1; 2)$ và tiếp xúc với các đường thẳng $3x - 4y + 2 = 0$ và $x + y - 4 = 0$

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là $I (a; b)$. Ta có $\Delta_1: 3x - 4y + 2 = 0$ và $\Delta_2: x + y - 4 = 0$

Đường tròn đi qua $A(1;2)$ và tiếp xúc với $\Delta_1, \Delta_2$ nên $d(I, \Delta_1) = d(I, \Delta_2) = R$

$d(I, \Delta_1) = \frac{|3a - 4b + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3a - 4b + 2|}{5}$

$d(I, \Delta_2) = \frac{|a + b - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|a + b - 4|}{\sqrt{2}}$

$\implies \frac{|3a - 4b + 2|}{5} = \frac{|a + b - 4|}{\sqrt{2}}$

$\iff \sqrt{2} |3a - 4b + 2| = 5|a + b - 4|$

$\iff \sqrt{2} (3a - 4b + 2) = 5(a + b - 4)$ hoặc $\sqrt{2} (3a - 4b + 2) = -5(a + b - 4)$

Giải hệ phương trình ta được $a, b$ và $R$

Kết quả:

Bài 4.

a) Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm $M (1; 2), N (3; 1), P (-2; -1)$

b) Có hay không một đường tròn đi qua ba điểm $M (1; 2), N (3; 1), P (0; -2)$

Lời giải:

a) Gọi tâm của đường tròn là $I (a; b)$. Ta có $IM = IN = IP \implies IM^2 = IN^2 = IP^2$.

Vì $IM^2 = IN^2$ nên $(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (3 - a)^2 + (1 - b)^2$

$\iff (1 - 2a + a^2) + (4 - 4b + b^2) = (9 - 6a + a^2) + (1 - 2b + b^2)$

$\iff 4a + 2b = 5$ $(1)$

Vì $IM^2 = IP^2$ nên $(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (-2 - a)^2 + (-1 - b)^2$

$\iff (1 - 2a + a^2) + (4 - 4b + b^2) = (4 + 4a + a^2) + (1 + 2b + b^2)$

$\iff 6a + 6b = 0$ $(2)$

$\iff a + b = 0$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ ta có hệ phương trình:

$\iff \begin{cases} 4a + 2b = 5 \ a + b = 0 \end{cases}$

$\implies$ vô nghiệm

Vậy không có đường tròn nào đi qua ba điểm $M (1; 2), N (3; 1), P (-2; -1)$

b) Gọi tâm của đường tròn là $I (a; b)$. Ta có $IM = IN = IP \implies IM^2 = IN^2 = IP^2$.

Vì $IM^2 = IN^2$ nên $(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (3 - a)^2 + (1 - b)^2$

$\iff (1 - 2a + a^2) + (4 - 4b + b^2) = (9 - 6a + a^2) + (1 - 2b + b^2)$

$\iff 4a + 2b = 5$ $(1)$

Vì $IN^2 = IP^2$ nên $(3 - a)^2 + (1 - b)^2 = (0 - a)^2 + (-2 - b)^2$

$\iff (9 - 6a + a^2) + (1 - 2b + b^2) = a^2 + (4 + 4b + b^2)$

$\iff -6a -2b = -6$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ ta có hệ phương trình:

$\iff \begin{cases} 4a + 2b = 5 \ -6a -2b = -6 \end{cases}$

$\implies \begin{cases} a = \frac{1}{2} \ b = \frac{3}{2} \end{cases}$

$\implies I (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

$\implies R = \sqrt{(\frac{1}{2} - 1)^2 + (\frac{3}{2} - 2)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy có một đường tròn đi qua ba điểm $M (1; 2), N (3; 1), P (0; -2)$

Kết quả:

• a) Không
• b) Có

Bài 5. Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

a) Tìm tâm và bán kính của $(C)$

b) Nếu $(C)$ tiếp xúc với hai đường thẳng $3x - 4y + 1 = 0$ và $x + y - 5 = 0$, hãy giải hệ phương trình $3x - 4y + 1 = 0$ và $x + y - 5 = 0$

Lời giải:

a) Tâm $I (a; b)$, bán kính $R$

b) Ta có: $d(I, \Delta_1) = \frac{|3a - 4b + 1|}{5} = R$

$d(I, \Delta_2) = \frac{|a + b - 5|}{\sqrt{2}} = R$

$\implies \frac{|3a - 4b + 1|}{5} = \frac{|a + b - 5|}{\sqrt{2}}$

$\iff \sqrt{2} |3a - 4b + 1| = 5|a + b - 5|$

$\iff \sqrt{2} (3a - 4b + 1) = 5(a + b - 5)$ hoặc $\sqrt{2} (3a - 4b + 1) = -5(a + b - 5)$

Giải hệ phương trình ta được $a, b$ và $R$

Kết quả:

---

Trang 91 — Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập:
Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(2; 1)$ thuộc đường tròn $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5.$

Lời giải:

Đường tròn đã cho có tâm $I(1; 3)$ và bán kính $R = \sqrt{5}.$

Ta có $\overrightarrow{IM_0} = (2 - 1; 1 - 3) = (1; -2).$

Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M_0$ là $\overrightarrow{n} = (1; -2).$

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M_0(2; 1)$ là

$$1(x - 2) - 2(y - 1) = 0$$

hay $$ x - 2y = 0. $$

Kết quả: $x - 2y = 0$

Bài tập:
Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(-1; -4)$ thuộc đường tròn $(x-3)^2 + (y+7)^2 = 25.$

Lời giải:

Đường tròn đã cho có tâm $I(3; -7)$ và bán kính $R = 5.$

Ta có $\overrightarrow{IM_0} = (-1 - 3; -4 + 7) = (-4; 3).$

Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M_0$ là $\overrightarrow{n} = (-4; 3).$

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M_0(-1; -4)$ là

$$-4(x +1) + 3(y + 4) = 0$$

hay $$ -4x + 3y + 8 = 0. $$

Kết quả: $-4x + 3y + 8 = 0$