Giải Toán 10 Tập 2 trang 88-91 - Cánh diều

Trang 88 — Phương trình đường tròn

Phương trình chính tắc: Đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ có phương trình:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.$

Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ ; b) Đường tròn tâm $I(-1; 3)$ bán kính $7$ .

Lời giải:

a) Tâm $O(0; 0)$ nên phương trình là $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = R^2$ , tức $x^2 + y^2 = R^2$ .

b) $[x - (-1)]^2 + (y - 3)^2 = 7^2 \iff (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 49$ .

Ví dụ 2. Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9$ .

Lời giải:

Ta có $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9 \iff [x - (-2)]^2 + (y - 5)^2 = 3^2$ .

Vậy đường tròn đã cho có tâm $I(-2; 5)$ và bán kính $R = 3$ .

HĐ3. Viết phương trình đường tròn $(C)\colon (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ về dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ .

Lời giải:

Khai triển: $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = R^2$ , chuyển vế:

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + \left(a^2 + b^2 - R^2\right) = 0.$

Đặt $c = a^2 + b^2 - R^2$ ta được dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ .

Nhận xét: Ta có thể viết phương trình $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ của đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ về dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ . Dạng đó gọi là phương trình tổng quát của đường tròn.

Ví dụ 3.

a) Phương trình $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ có phải là phương trình đường tròn không? Nếu phải, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

b) Xác định điều kiện của $a$ , $b$ , $c$ để phương trình $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn. Khi đó, xác định tọa độ tâm và bán kính theo $a$ , $b$ , $c$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 \iff (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 9 \iff (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2.$

Vậy đây là phương trình đường tròn tâm $I(2; -1)$ , bán kính $R = 3$ .

b) Ta có:

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \iff \left(x^2 - 2ax + a^2\right) + \left(y^2 - 2by + b^2\right) = a^2 + b^2 - c$ $\iff (x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 + b^2 - c.$

Phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^2 + b^2 - c > 0$ . Lúc này đường tròn có tâm $I(a; b)$ và bán kính:

$R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}.$

Trang 89 — Phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng

Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(-1; 1)$ , $B(0; -2)$ , $C(0; 2)$ .

Lời giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm $I(a; b)$ . Ta có $IA = IB = IC$ , tức $IA^2 = IB^2 = IC^2$ .

Từ $IA^2 = IB^2$ và $IB^2 = IC^2$ :

\begin{cases} (-1 - a)^2 + (1 - b)^2 = (0 - a)^2 + (-2 - b)^2 \\ (0 - a)^2 + (-2 - b)^2 = (0 - a)^2 + (2 - b)^2 \end{cases}

\iff \begin{cases} 1 + 2a + a^2 + 1 - 2b + b^2 = a^2 + 4 + 4b + b^2 \\ 4 + 4b + b^2 = 4 - 4b + b^2 \end{cases} \iff \begin{cases} 2a - 6b = 2 \\ 8b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}

Đường tròn có tâm $I(1; 0)$ , bán kính $R = IC = \sqrt{(0-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}$ .

Vậy phương trình đường tròn là $(x - 1)^2 + y^2 = 5$ .

(Kiểm tra: với $A(-1; 1)$ thì $(-1-1)^2 + 1^2 = 5$ ✓; với $B(0; -2)$ thì $1 + 4 = 5$ ✓)

Trang 90 — II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

HĐ4. Cho điểm $M_0(x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ . Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M_0$ .

a) Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{IM_0}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ .

b) Tính tọa độ của $\overrightarrow{IM_0}$ .

c) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ .

Lời giải:

a) Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, tức $\Delta \perp IM_0$ . Do đó $\overrightarrow{IM_0}$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ .

b) $\overrightarrow{IM_0} = (x_0 - a;\ y_0 - b)$ .

c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM_0} = (x_0 - a;\ y_0 - b)$ , nên có phương trình:

$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0.$

Ví dụ 5. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(2; 1)$ thuộc đường tròn $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$ .

Lời giải:

Đường tròn có tâm $I(1; 3)$ . Phương trình tiếp tuyến tại $M_0(2; 1)$ :

$(2 - 1)(x - 2) + (1 - 3)(y - 1) = 0 \iff 1(x - 2) - 2(y - 1) = 0 \iff x - 2y = 0.$

(Kiểm tra: $M_0(2; 1)$ thuộc đường tròn vì $(2-1)^2 + (1-3)^2 = 1 + 4 = 5$ ✓, và thuộc tiếp tuyến vì $2 - 2 = 0$ ✓)

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , một vật chuyển động tròn đều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn tâm $I(3; 2)$ bán kính $5$ dưới tác dụng của lực căng dây. Khi vật chuyển động tới điểm $M(6; 6)$ thì dây căng bị đứt.

a) Viết phương trình quỹ đạo chuyển động của vật sau khi dây bị đứt, biết rằng vật chỉ chịu tác động của duy nhất lực căng dây trong bài toán này.

b) Một vật khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng có phương trình $\Delta\colon 3x + 4y + 23 = 0$ . Chứng minh hai vật này không gặp nhau tại bất kì thời điểm nào.

Lời giải:

a) Quỹ đạo chuyển động của vật trước khi dây bị đứt là đường tròn $(C)\colon (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5^2 = 25$ .

Khi dây bị đứt, do vật thứ nhất chỉ chịu tác động của lực căng dây nên khi dây đứt vật chuyển động theo tiếp tuyến $Mt$ tại điểm $M(6; 6)$ thuộc đường tròn $(C)$ . Phương trình tiếp tuyến:

$(6 - 3)(x - 6) + (6 - 2)(y - 6) = 0 \iff 3(x - 6) + 4(y - 6) = 0 \iff 3x + 4y - 42 = 0.$

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật sau khi dây bị đứt là đường thẳng $Mt\colon 3x + 4y - 42 = 0$ .

b) Khoảng cách từ tâm $I(3; 2)$ đến đường thẳng $\Delta\colon 3x + 4y + 23 = 0$ :

$IH = \frac{|3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 23|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|9 + 8 + 23|}{5} = \frac{40}{5} = 8 > 5.$

Vì khoảng cách từ tâm đường tròn tới $\Delta$ lớn hơn bán kính nên $\Delta$ không có điểm chung với đường tròn $(C)$ , tức là vật thứ hai không đi vào vùng chứa đường tròn.

Mặt khác, $\Delta$ song song với $Mt$ (vì cùng có vectơ pháp tuyến $(3; 4)$ ) nên hai đường thẳng này không cắt nhau. Vậy hai vật không bao giờ gặp nhau.

Trang 91 — Bài tập

Bài 1. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

a) $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 7 = 0$ ; b) $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 20 = 0$ .

Lời giải:

Dùng dạng tổng quát $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ (là đường tròn khi $a^2 + b^2 - c > 0$ ).

a) Ta có $-2a = -2$ , $-2b = 2$ , $c = -7$ , suy ra $a = 1$ , $b = -1$ , $c = -7$ .

$a^2 + b^2 - c = 1 + 1 + 7 = 9 > 0.$

Vậy đây là phương trình đường tròn (tâm $I(1; -1)$ , bán kính $R = 3$ ).

b) Ta có $-2a = -8$ , $-2b = 2$ , $c = 20$ , suy ra $a = 4$ , $b = -1$ , $c = 20$ .

$a^2 + b^2 - c = 16 + 1 - 20 = -3 < 0.$

Vậy đây không là phương trình đường tròn.

Bài 2. Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có phương trình $(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9$ ;

b) Đường tròn có phương trình $x^2 + y^2 - 6x - 2y - 15 = 0$ .

Lời giải:

a) Viết lại: $[x - (-1)]^2 + (y - 5)^2 = 3^2$ . Vậy tâm $I(-1; 5)$ , bán kính $R = 3$ .

b) Ta có $a = 3$ , $b = 1$ , $c = -15$ , nên:

$R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{9 + 1 + 15} = \sqrt{25} = 5.$

Vậy tâm $I(3; 1)$ , bán kính $R = 5$ .

Bài 3. Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có tâm $I(-3; 4)$ và bán kính $R = 9$ ;

b) Đường tròn có tâm $I(5; -2)$ và đi qua điểm $M(4; -1)$ ;

c) Đường tròn có tâm $I(1; -1)$ và có một tiếp tuyến là $\Delta\colon 5x - 12y - 1 = 0$ ;

d) Đường tròn đường kính $AB$ với $A(3; -4)$ và $B(-1; 6)$ ;

e) Đường tròn đi qua ba điểm $A(1; 1)$ , $B(3; 1)$ , $C(0; 4)$ .

Lời giải:

a) $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 81$ .

b) Bán kính $R = IM = \sqrt{(4 - 5)^2 + (-1 + 2)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .

Phương trình: $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 2$ .

c) Bán kính bằng khoảng cách từ tâm $I(1; -1)$ đến tiếp tuyến $\Delta$ :

$R = \frac{|5 \cdot 1 - 12 \cdot (-1) - 1|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|5 + 12 - 1|}{13} = \frac{16}{13}.$

Phương trình: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{256}{169}$ .

d) Tâm $I$ là trung điểm $AB$ : $I\left(\dfrac{3 + (-1)}{2};\ \dfrac{-4 + 6}{2}\right) = I(1; 1)$ .

Bán kính $R = \dfrac{AB}{2}$ với $AB = \sqrt{(-1-3)^2 + (6+4)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ , nên $R = \sqrt{29}$ .

Phương trình: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 29$ .

e) Gọi tâm $I(a; b)$ . Từ $IA^2 = IB^2$ :

$(1-a)^2 + (1-b)^2 = (3-a)^2 + (1-b)^2 \iff 1 - 2a = 9 - 6a \iff 4a = 8 \iff a = 2.$

Từ $IA^2 = IC^2$ (với $a = 2$ ):

$(1-2)^2 + (1-b)^2 = (0-2)^2 + (4-b)^2 \iff 1 + 1 - 2b + b^2 = 4 + 16 - 8b + b^2$ $\iff 6b = 18 \iff b = 3.$

Tâm $I(2; 3)$ , bán kính $R = IA = \sqrt{(1-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ .

Vậy phương trình: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5$ .

(Kiểm tra với $C(0; 4)$ : $(0-2)^2 + (4-3)^2 = 4 + 1 = 5$ ✓)