Giải Toán 10 Tập 2 trang 9-12 - Cánh diều

Trang 9 — Tổ hợp

Bài 1. Viết lại đề: Vận dụng 1, trang 9 SGK Toán lớp 10 Tập 2:

Câu hỏi:
- Có 10 điểm phân biệt. Hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác $0$ biết rằng hai điểm làm một của mỗi vectơ là hai điểm đã cho.

Lời giải:

Việc chọn hai điểm trong 10 điểm đã cho và lập thành vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp:
- Chọn điểm đầu tiên,
- Chọn điểm thứ hai trong 9 điểm còn lại.
Có 10 cách chọn điểm đầu tiên.
Ứng với mỗi điểm đầu tiên đã chọn, có 9 cách chọn điểm thứ hai (điểm thứ hai phải khác điểm đầu tiên).
Số cách chọn hai điểm theo thứ tự (điểm đầu tiên, điểm thứ hai) là: $10 \cdot 9 = 90\,.$ Như vậy có 90 vectơ khác $0$ được lập từ hai trong 10 điểm đã cho.

Bài 2. Viết lại đề: Vận dụng 2, trang 9 SGK Toán lớp 10 Tập 2:

Câu hỏi: Phân tích số 10 125 ra thừa số nguyên tố và tìm số các ước nguyên tố của nó.

Lời giải:

Ta có: $10\,125 = 3^4 \cdot 5^3$ . Một ước nguyên tố của $10\,125$ là dạng $3^m \cdot 5^n$ , trong đó $m, n$ là số tự nhiên thỏa $0 ≤ m ≤ 4$ và $0 ≤ n ≤ 3$ .
Số các ước nguyên tố của $10\,125$ $10125$ là:
- Chọn số $m$ có 5 cách: $0, 1, 2, 3, 4$ .
- Chọn số $n$ có 4 cách: $0, 1, 2, 3$ .
Vậy số các ước nguyên tố của $10\,125$ là: $5 \cdot 4 = 20\,.$

Bài 3. Viết lại đề: Vận dụng 3, trang 9 SGK Toán lớp 10 Tập 2:

Câu hỏi:
- Có 5 màu sơn $A, B, C, D, E$ . Mấy tính tạo ra một thông tin dữ liệu màu khi chọn sơn có ghi bao gồm 3 màu hoặc $4$ màu để điền vào các vị trí $a, b, c$ hoặc $d$ (chỉ có thể điền các màu đã chọn). Có bao nhiêu thông tin dữ liệu có thể tạo được?

Lời giải:

Việc máy tính tạo ra thông tin dữ liệu màu là thực hiện ba việc (ba hành động) chọn liên tiếp:
- Chọn màu để điền vào $a$ ,
- Chọn màu để điền vào $b$ ,
- Chọn màu để điền vào $c$ .
Có 5 cách chọn màu để điền vào $A$ ,
Có 4 cách chọn màu để điền vào $B$ (khác màu đã chọn ở A).
Có 3 cách chọn màu để điền vào $C$ .

Bài 4 (Thêm). Viết lại đề:

Câu hỏi:
- Giả định bạn Quân mật mã của chiếc khóa. Hỏi có bao nhiêu cách: a) Các chữ số có thể giống nhau? b) Các chữ số phải khác nhau?

Lời giải:

a) Chiếc khóa có 3 núm, mỗi núm có thể chọn một trong 10 chữ số $0, 1, 2, \ldots, 9$ $0, 1, 2, \dots, 9$ .
- Do đó, số cách chọn là: $10\cdot 10 \cdot 10 = 10^3= 1000$
b) Để các chữ số phải khác nhau:
- Có 10 lựa chọn cho chữ số đầu tiên.
- Có 9 lựa chọn cho chữ số thứ hai (khác chữ số đầu tiên).
- Có 8 lựa chọn cho chữ số thứ ba (khác hai chữ số trước đó). $10\cdot 9\cdot 8 = 720$

Kết quả:

Bài 1: $90$
Bài 2: $20$
Bài 3: (Chưa đủ dữ liệu)
Bài 4 (Thêm):
- a) $1000$
- b) $720$

Trang 10 —

Bài 1. Từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ , ta lập ra số tự nhiên gồm ba chữ số, chia hết cho $5$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên như thế?

Lời giải:

Để lập được số tự nhiên gồm ba chữ số, chia hết cho $5$ từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ , ta thực hiện các bước:

Chọn chữ số hàng đơn vị: Vì số cần lập chia hết cho $5$ nên có $2$ cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn $5$ hoặc chọn $0$ là không đúng vì $0$ không có trong danh sách). Vậy có $2$ cách chọn.
Chọn chữ số hàng trăm: Có $6$ cách chọn.
Chọn chữ số hàng chục: Có $6$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên gồm ba chữ số, chia hết cho $5$ là: $$ 2 \cdot 6 \cdot 6 = 72 $$

Kết quả: $72$ .

Trang 11 —

Bài 2. Từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ , lập được bao nhiêu số gồm ba chữ số?

Lời giải:

Để lập được số gồm ba chữ số từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ , ta cần thực hiện ba bước:

Chọn chữ số hàng trăm.
Chọn chữ số hàng chục.
Chọn chữ số hàng đơn vị.

Bước 1: Chọn chữ số hàng trăm.
- Có $7$ cách chọn chữ số hàng trăm (từ $1$ đến $7$ ).
Bước 2: Chọn chữ số hàng chục.
- Ứng với mỗi chữ số hàng trăm, có $7$ cách chọn chữ số hàng chục (từ $1$ đến $7$ ).
Bước 3: Chọn chữ số hàng đơn vị.
- Ứng với mỗi chữ số hàng trăm và hàng chục, có $7$ cách chọn chữ số hàng đơn vị (từ $1$ đến $7$ ).

Theo quy tắc nhân, số số gồm ba chữ số được lập từ các số đã cho là:

$$ 7 \times 7 \times 7 = 343. $$

Kết quả: $343$ .

Bài 3. Trong một trường trung học phổ thông, khối $10$ có $245$ học sinh nam và $235$ học sinh nữ.

a) Nhà trường có bao nhiêu cách chọn một học sinh khối $10$ đi dự buổi giao lưu với các trường trung học phổ thông trong tỉnh.

b) Nhà trường có bao nhiêu cách chọn hai học sinh khối $10$ đi dự trại hè.

Lời giải:

a) Số cách chọn một học sinh khối $10$ đi dự buổi giao lưu:

Tổng số học sinh khối $10$ là: $245 + 235 = 480$ học sinh.
Có $480$ cách chọn một học sinh khối $10$ đi dự buổi giao lưu.

b) Số cách chọn hai học sinh khối $10$ đi dự trại hè:

Số cách chọn học sinh nam là: $245$ .
Số cách chọn học sinh nữ là: $235$ .
Tổng số cách chọn hai học sinh đi dự trại hè là:

$$ 245 \times 235 = 57,575. $$

Kết quả: $480$ ; $57\,575$ .

Bài 4. Trong giải đấu bóng đá World Cup, vòng bảng gồm $32$ đội tham gia, được chia vào $8$ bảng, mỗi bảng $4$ đội. Trong vòng đấu bảng, mỗi đội phải thi đấu $3$ trận (1 điểm cho 1 thắng, $\frac{1}{2}$ điểm cho $1$ hòa). Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu trong vòng bảng của giải đấu?

Lời giải:

Mỗi bảng có $4$ đội, số trận đấu trong $1$ bảng là:
- Chọn $2$ đội ra thi đấu: $C_4^2 = 6$ .
- Mỗi trận đấu có $2$ đội thi đấu: $6 \times 3 = 18$ trận.
Tổng số trận đấu trong $8$ bảng là:

$$ 8 \times 6 = 48 $$

Kết quả: $48$ .

Bài 5. Canada, mã bưu chính nhân $5$ chữ cái in hoa (trong $26$ chữ cái tiếng Anh) và $3$ chữ số. Mỗi mã bưu chính bắt đầu bằng $1$ chữ cái và xen kẽ bằng $1$ chữ số.

a) Có thể tạo được bao nhiêu mẫu bưu chính?

b) Có thể tạo được bao nhiêu mã bưu chính bắt đầu bằng chữ $S$ ?

c) Có thể tạo được bao nhiêu mã bưu chính biết rằng mã bưu chính không có số $8$ ?

Lời giải:

a) Số cách tạo mã bưu chính:

Bước 1: Chọn chữ cái đầu tiên: $26$ .
Bước 2: Chọn số đầu tiên: $10$ .
Bước 3: Chọn chữ cái thứ hai: $26$ .
Bước 4: Chọn số thứ hai: $10$ .
Bước 5: Chọn chữ cái thứ ba: $26$ .
Bước 6: Chọn số thứ ba: $10$ .
Bước 7: Chọn chữ cái thứ tư: $26$ .
Bước 8: Chọn số thứ tư: $10$ .
Bước 9: Chọn chữ cái thứ năm: $26$ .

Tổng số cách tạo mã bưu chính:

$$ 26 \times 10 \times 26 \times 10 \times 26 \times 10 \times 26 = 26^5 \times 10^3 = 456,976,000 $$

b) Số cách tạo mã bưu chính bắt đầu bằng chữ $S$ :

Thay chữ cái đầu bằng $S$ , các bước còn lại giống phần a:

$$ 1 \times 10 \times 26 \times 10 \times 26 \times 10 \times 26 = 26^4 \times 10^3 = 17,576,000 $$

c) Số cách tạo mã bưu chính không có chữ số $8$ :

Thay số $8$ bị loại ra, còn $9$ số.

$$ 26 \times 9 \times 26 \times 9 \times 26 \times 9 \times 26 = 26^5 \times 9^3 = 333,135,504 $$

Kết quả: $456\,976\,000$ ; $17\,576\,000$ ; $333\,135\,504$ .

Bài 6. Một hãng thời trang đang đưa ra một mẫu áo sơ mi mới có $5$ màu: trắng, xanh, đen, đỏ, vàng; $3$ cỡ: S, M, L, XL, XXL.

a) Vẽ sơ đồ hình cây thể hiện các loại áo sơ mi với các màu và cỡ áo nói trên.

b) Nếu một cửa hàng muốn mua tất cả các loại áo sơ mi (có các màu và cỡ áo như trên) thì cần mua tất cả bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải:

a) Sơ đồ cây:

Bước 1: Chọn màu áo: $5$ nhánh (trắng, xanh, đen, đỏ, vàng).
Bước 2 (ứng với mỗi màu): Chọn cỡ áo: $5$ nhánh.

b) Số lượng áo cần mua:

Bước 1: Chọn màu áo: $5$ .
Bước 2: Chọn cỡ áo: $5$ .

Tổng số áo cần mua:

$$ 5 \times 5 = 25 $$

Kết quả: $25$ .

Bài 7. Một khách hàng căn nhắc giữa $2$ biệt thự $A$ và $B$ để mua.

Biệt thự $A$ :
- $2$ kiểu nhà: biệt thự, khách sạn.
- $3$ màu: trắng, hồng, vàng.
- $4$ kiểu mái: ngói, tôn, fibro xi măng, ngói xi măng.
Biệt thự $B$ :
- $3$ kiểu nhà: biệt thự, khách sạn, căn hộ.
- $4$ màu: trắng, hồng, vàng, tím.

a) Giúp khách hàng vẽ sơ đồ hình cây để quyết định mua biệt thự.

b) Tính kiểu cách nhà mua.

Lời giải:

a) Sơ đồ cây:

Biệt thự $A$ :
- Chọn kiểu nhà: $2$ nhánh.
- Chọn màu: $3$ nhánh (trắng, hồng, vàng).
- Chọn kiểu mái: $4$ nhánh.
Biệt thự $B$ :
- Chọn kiểu nhà: $3$ nhánh.
- Chọn màu: $4$ nhánh.

b) Số cách chọn biệt thự $A$ :

$$ 2 \times 3 \times 4 = 24 $$

Số cách chọn biệt thự $B$ :

$$ 3 \times 4 = 12 $$

Tổng số cách chọn:

$$ 24 + 12 = 36 $$

Kết quả: $36$ .

Bài 8. Cho kiểu gen $AaBbDdEe$ . Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, hỏi có tất cả bao nhiêu loại giao tử có thể tạo ra?

Lời giải:

Mỗi kiểu gen có $2$ loại alen.
Tổng số alen: $4$ .
Số giao tử: $2^4 = 16$ .

Kết quả: $16$ .

Trang 12 — Hoán vị, chỉnh hợp

Bài 1. Hoán vị

Định nghĩa

Hoán vị là một sắp xếp thứ tự của các thành phần trong một tập hợp.

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử ( $n \in \mathbb{N}^*$ ). mỗi cách sắp xếp thứ tự của $n$ phần tử của tập hợp $A$ gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Ví dụ: Hãy liệt kê các hoán vị của ba chữ cái A, B, C.

Giải:

Các hoán vị của ba chữ cái A, B, C là: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Số các hoán vị

Một bộ được thành lập 3 nhóm A, B, C tham gia hoạt động đồng đội, các nhóm thực hiện xong hoạt động, giáo viên sắp xếp thứ tự thi đấu của 3 nhóm.

a) Có bao nhiêu cách chọn trình thi thứ ba?

b) Sau khi đã chọn nhóm trình thi thứ ba và thứ hai, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình thi thứ nhất?

c) Sau khi đã chọn nhóm trình thi thứ ba và thứ hai, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình thi thứ hai?

d) Với các câu hỏi trên, giáo viên tạo ra một hoán vị của 3 phần tử. Tính các hoán vị?

Theo quy tắc nhân, số hoán vị của 3 phần tử là: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6.$

Bài 2. (Không có đề bài trên trang này)

Không có bài tập nào trên trang này ngoài lý thuyết.

Vậy trả lời là: SKIP