Giải Toán 10 Tập 2 trang 92-95 - Cánh diều

Trang 92 — Đường tròn

Bài 1. Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

a) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 7 = 0$;

b) $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 9 = 0$.

Lời giải:

a) Để kiểm tra phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 7 = 0$ là phương trình đường tròn, ta cần đưa nó về dạng chính tắc:

$$x^2 - 2x + y^2 + 4y = 7$$

Hoàn thành bình phương:

$$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 7 + 1 + 4$$ $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 12$$

Phương trình này có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, do đó đây là phương trình đường tròn.

b) Để kiểm tra phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 9 = 0$ là phương trình đường tròn, ta cần đưa nó về dạng chính tắc:

$$x^2 - 2x + y^2 + 4y = -9$$

Hoàn thành bình phương:

$$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -9 + 1 + 4$$ $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = -4$$

Vì $-4 < 0$, nên phương trình này không có nghiệm thực và không phải là phương trình đường tròn.

Kết quả: a) Là phương trình đường tròn; b) Không là phương trình đường tròn.

Bài 2. Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$;

b) $x^2 + (y - 7)^2 = 15$;

c) $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$.

Lời giải:

a) Phương trình $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ đã có dạng chính tắc:

$$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 3^2$$

Tâm $I(1, -2)$, bán kính $R = 3$.

b) Phương trình $x^2 + (y - 7)^2 = 15$ đã có dạng chính tắc:

$$(x - 0)^2 + (y - 7)^2 = (\sqrt{15})^2$$

Tâm $I(0, 7)$, bán kính $R = \sqrt{15}$.

c) Để tìm tâm và bán kính, ta hoàn thành bình phương:

$$x^2 - 6x + y^2 - 8y = -21$$ $$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = -21 + 9 + 16$$ $$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$$ $$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 2^2$$

Tâm $I(3, 4)$, bán kính $R = 2$.

Kết quả:

• a) Tâm $I(1, -2)$, $R = 3$.
• b) Tâm $I(0, 7)$, $R = \sqrt{15}$.
• c) Tâm $I(3, 4)$, $R = 2$.

Bài 3. Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn tâm $I(- 3; 4)$; bán kính $R = 9$;

b) Đường tròn tâm $I(5; - 2)$ và đi qua điểm $M(4; - 1)$;

c) Đường tròn có đường kính $AB$, với $A(1; 3)$ và $B(3; - 1)$;

d) Đường tròn đi qua ba điểm $A(1; 2); B(3; 1); C(0; - 2)$.

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn tâm $I(-3, 4)$, bán kính $R = 9$:

$$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 9^2$$ $$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 81$$

b) Bán kính $R = IM = \sqrt{(4-5)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn:

$$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = (\sqrt{2})^2$$ $$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 2$$

c) Tâm $I$ là trung điểm của $AB$:

$$I\left(\frac{1+3}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = I(2, 1)$$

Bán kính $R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(3-1)^2 + (-1-3)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4+16}}{2} = \sqrt{5} $$

Phương trình:

$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$$ $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$$

d) Gọi phương trình đường tròn:

$$x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$$

Đi qua các điểm $A(1, 2)$, $B(3, 1)$, $C(0, -2)$:

• $1 + 4 + 2a + 4b + c = 0$ $\Rightarrow$ $2a + 4b + c = -5$.
• $9 + 1 + 6a + 2b + c = 0$ $\Rightarrow$ $6a + 2b + c = -10$.
• $4 - 4b + c = 0$ $\Rightarrow$ $c = 4b - 4$.

Thay $c = 4b - 4$ vào hai phương trình trên:

• $2a + 4b + 4b - 4 = -5$ $\Rightarrow$ $2a + 8b = -1$.
• $6a + 2b + 4b - 4 = -10$ $\Rightarrow$ $6a + 6b = -6$.

Giải hệ:

$$\begin{cases} 2a + 8b = -1 \\ 6a + 6b = -6 \end{cases}$$

$\Rightarrow a = -\frac{3}{2}, b = -\frac{1}{4}, c = -5$.

Phương trình:

$$x^2 + y^2 - 3x - \frac{1}{2}y - 5 = 0$$

Kết quả:

• a) $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 81$.
• b) $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 2$.
• c) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$.
• d) $x^2 + y^2 - 3x - \frac{1}{2}y - 5 = 0$.

---

Trang 93 — Bài tập phương trình đường tròn

Bài 4

Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C)$: $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 169$. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1; 1)$ thuộc đường tròn $(C)$.

Lời giải: Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2; 2)$ và bán kính $R = 13$.

Ta có điểm $M(-1; 1)$ thuộc đường tròn $(C)$, và vector $\overrightarrow{IM} = (-1 - (-2); 1 - 2) = (1; -1)$.

Vector pháp tuyến của đường thẳng tiếp tuyến tại $M$ là $\overrightarrow{n} = (1; -1)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M(-1; 1)$ là: $$ 1(x + 1) - 1(y - 1) = 0 $$ hay $$ x - y + 2 = 0. $$

Kết quả: $x - y + 2 = 0$.

Bài 5

Bài 5. Tìm $m$ sao cho đường thẳng $3x + 4y + m = 0$ tiếp xúc với đường tròn $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$.

Lời giải: Đường tròn có tâm $I(-1; 2)$ và bán kính $R = 2$.

Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $d: 3x + 4y + m = 0$ là: $$ d(I, d) = \frac{|3(-1) + 4(2) + m|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-3 + 8 + m|}{5} = \frac{|m + 5|}{5}. $$

Để đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn, ta có: $$ d(I, d) = R \iff \frac{|m + 5|}{5} = 2 \iff |m + 5| = 10 \iff \left[ \begin{aligned} &m + 5 = 10 \ &m + 5 = -10 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &m = 5 \ &m = -15 \end{aligned} \right. $$

Kết quả: $m = 5$ hoặc $m = -15$.

Bài 6

Bài 6. Hình $46$ mô phỏng một trạm thu phí đặt tại điểm $I$ có toạ độ $(-2; 1)$ trong mặt phẳng toạ độ. Hãy a) Lập phương trình đường tròn tâm $I(-2; 1)$ bán kính $r = 3$ km.

Lời giải: Phương trình đường tròn tâm $I(-2; 1)$ bán kính $r = 3$ là: $$ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9. $$

Kết quả: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$.

b) Nếu người sử dụng dịch vụ trạm thu phí thì phải đi theo các đường $d_1: x + 2y - 5 = 0$ và $d_2: x - 2y + 1 = 0.$ Hỏi người đó có sử dụng dịch vụ của trạm này không?

Lời giải: Tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ: $$ \begin{cases} x + 2y - 5 = 0 \ x - 2y + 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 \ y = \frac{3}{2} \end{cases}. $$

Khoảng cách từ $I(-2; 1)$ đến $M(2; \frac{3}{2})$ là: $$ IM = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (\frac{3}{2} - 1)^2} = \sqrt{16 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{65}{4}} \approx 4.03 > 3. $$

Vậy người đó không sử dụng dịch vụ của trạm này.

Kết quả: Không.

c) Tính độ dài quãng đường mà người đó đã đi từ điểm $A$ đến điểm $B$ (đường $d_1$ và $d_2$).

Lời giải: Tọa độ $A, B$ là giao của $d_1, d_2$ với đường tròn.

Giải hệ $$ \begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 \ x + 2y - 5 = 0 \end{cases} $$ ta được $x = 0, y = \frac{5}{2}$ hoặc $x = -4, y = \frac{9}{2}.$

Giải hệ $$ \begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9 \ x - 2y + 1 = 0 \end{cases} $$ ta được $x = 0, y = \frac{1}{2}$ hoặc $x = -4, y = -\frac{3}{2}.$

Chọn $A(0, \frac{5}{2}), B(0, \frac{1}{2}).$

Độ dài $AB$ là: $$ AB = \left| \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \right| = 2. $$

Kết quả: $2$ km.

---

Trang 94

Bài 7

Bài 7. Ném đĩa là hoạt động trong Thế vận hội môn điền kinh. Khi thực hiện, vận động viên thường bắt đầu từ vị trí có toạ độ $O(0; 0)$ rồi chạy theo hướng góc $37^\circ$ so với đường thẳng đứng và ném đĩa ra phía trước. Đến điểm $M$ đĩa được ném đi (Hình $47$). Trong những giây đầu tiên ngay khi được ném đi, quĩ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình $y = \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 + \tan \alpha \cdot x$, với $g$ là gia tốc trọng trường (lấy $g \approx 9.8 m/s^2$), $\alpha$ là góc ném và $v_0$ là vận tốc ban đầu của đĩa (với $v_0 = 36 \text{ km/h}$).

Giả sử đĩa chuyển động trên quĩ đạo của một phần tư parabol trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên cả hai trục là mét).

a) Xác định toạ độ điểm $M$ mà tại đó đĩa được ném đi.

Lời giải: $$ \begin{aligned} y &= \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 + \tan \alpha \cdot x \ &= \frac{-9.8}{2 \cdot 10^2 \cos^2 37^\circ} x^2 + \tan 37^\circ \cdot x \ &\approx -0.015x^2 + 0.754x. \end{aligned} $$

Đĩa bay qua $y = 0$ tại $$ 0 = -0.015x^2 + 0.754x \iff x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{0.754}{0.015} \approx 50.27. $$

Chọn $M(50.27; 0).$

Kết quả: $(50.27; 0).$

---

Trang 94 — Ba đường conic

Trang này chỉ chứa phần lý thuyết về đường conic và đường elip, không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.

SKIP

---

Trang 95 — Phương trình chính tắc của elip

Bài tập

Không có bài tập, chỉ có lý thuyết về phương trình chính tắc của elip.

Vì vậy, chúng ta sẽ SKIP trang này vì không có bài tập cụ thể cần giải.