Giải Toán 10 Tập 2 trang 96-99 - Cánh diều

Trang 96 — Phương trình đường elip

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip?

a) $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1$

b) $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = -1$

c) $x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$

d) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1.$

Lời giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a>b>0$ nên chỉ có trường hợp a) thỏa mãn.

Kết quả: a)

Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip $(E)$ có một tiêu điểm $F_2(5; 0)$ và đi qua điểm $M(0; 3).$

Lời giải:

Elip $(E)$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\, (a>b>0)\, .$

• Do $F_2(5;0)$ là một tiêu điểm của $(E)$ nên $c=5.$ Điểm $M(0;3)$ nằm trên $(E)$ nên $\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1$ hay $\frac{9}{b^2}=1$ suy ra $b^2=9.$

• Do $a^2=b^2+c^2=9+5^2=34.$

Vậy elip $(E)$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x^2}{34} + \frac{y^2}{9} = 1\, .$

Kết quả: $\frac{x^2}{34} + \frac{y^2}{9} = 1$

---

Trang 97 — Đường hypebol

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải trên trang này. Toàn bộ nội dung trang 97 là phần lý thuyết về đường hypebol.

SKIP

---

Trang 98 — Phương trình chính tắc của đường hypebol

Trang này có nội dung lý thuyết về phương trình chính tắc của đường hypebol trong mặt phẳng tọa độ. Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cụ thể cần giải.

SKIP

---

Trang 99 — Đường conic

Bài tập

Vídụ 3

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của một hypebol?

a) $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = -1$

b) $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

c) $x^2 - \frac{y^2}{4} = 1$

d) $\frac{4x^2}{9} - \frac{9y^2}{4} = 1.$

Lời giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a > 0, b > 0$ nên các phương trình b), c), d) là phương trình chính tắc của một hypebol.

Kết quả: b), c), d).

Vídụ 4

Viết phương trình chính tắc của đường hypebol $(H)$ có một tiêu điểm là $F_1(6; 0)$ và đi qua điểm $A_2(4; 0)$.

Lời giải:

Giả sử hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > 0, b > 0.$

Do $A_2(4; 0)$ thuộc $(H)$ nên $\frac{4^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1,$ suy ra $a = 4.$

Mà $F_1(6; 0)$ là tiêu điểm của $(H)$ nên $c = 6.$

Suy ra $$ \begin{aligned} b^2 &= c^2 - a^2 \ &= 36 - 16 \ &= 20. \end{aligned} $$

Vậy hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$.

Kết quả: $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$