Trang 100 — Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho tam giác đều ABCABC có HH là trung điểm của cạnh BCBC. Tính các góc: (AB→,AC→),(AB→,BC→),(AH→,BC→),(BH→,BC→),(HB→,BC→)(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}), (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}), (\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}), (\overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC}), (\overrightarrow{HB}, \overrightarrow{BC}).

Lời giải:

Vì tam giác ABCABC đều nên ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ.

Do đó, (AB→,AC→)=60∘(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 60^\circ.

Ta có AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, suy ra AB→,BC→=120∘\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} = 120^\circ.

Vì HH là trung điểm của BCBC và tam giác ABCABC đều nên AH⊥BCAH \perp BC.

Suy ra (AH→,BC→)=90∘(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}) = 90^\circ.

Mặt khác, vì HH là trung điểm của BCBC và tam giác ABCABC đều nên BH=HCBH = HC và BH∥HBBH \parallel HB.

Do đó, (BH→,BC→)=0∘(\overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC}) = 0^\circ và (HB→,BC→)=180∘(\overrightarrow{HB}, \overrightarrow{BC}) = 180^\circ.

Kết quả: (\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{AC}) = 60^\\circ, (\\overrightarrow{AB}, \\overrightarrow{BC}) = 120^\\circ, (\\overrightarrow{AH}, \\overrightarrow{BC}) = 90^\\circ, (\\overrightarrow{BH}, \\overrightarrow{BC}) = 0^\\circ, (\\overrightarrow{HB}, \\overrightarrow{BC}) = 180^\\circ.

Bài 2. Một người dùng một lực F→\overrightarrow{F} có cường độ 10N10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100m100 m. Tính công sinh bởi lực F→\overrightarrow{F}, biết rằng góc giữa vecto F→\overrightarrow{F} và hướng di chuyển là 45∘45^\circ. (Công AA là tích của ba đại lượng: cường độ của lực F→\overrightarrow{F}, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vecto F→\overrightarrow{F} và độ dịch chuyển d→\overrightarrow{d}).

Lời giải:

Công sinh bởi lực F→\overrightarrow{F} là A=∣F→∣⋅∣d→∣⋅cos⁡(F→,d→)=10⋅100⋅cos⁡45∘A = |\overrightarrow{F}| \cdot |\overrightarrow{d}| \cdot \cos(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{d}) = 10 \cdot 100 \cdot \cos 45^\circ.

Ta có cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Do đó, A=10⋅100⋅22=5002 JA = 10 \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 500\sqrt{2} \ \text{J}.

Kết quả: 5002 J500\sqrt{2} \ \text{J}.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABCABC có cạnh bằng 44 và có đường cao AHAH. Tính các tích vô hướng: a) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC};

b) AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC};

c) AH→⋅BC→\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABCABC đều nên AB=AC=4AB = AC = 4 và (AB→,AC→)=60∘(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 60^\circ.

Do đó, AB→⋅AC→=∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅cos⁡(AB→,AC→)=4⋅4⋅cos⁡60∘=16⋅12=8\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 4 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8.

b) Ta có ∣AB→∣=4,∣BC→∣=4|\overrightarrow{AB}| = 4, |\overrightarrow{BC}| = 4 và (AB→,BC→)=120∘(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 120^\circ.

Suy ra AB→⋅BC→=∣AB→∣⋅∣BC→∣⋅cos⁡(AB→,BC→)=4⋅4⋅cos⁡120∘=16⋅(−12)=−8\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 16 \cdot (-\frac{1}{2}) = -8.

c) Ta có AH=23AH = 2\sqrt{3} và (AH→,BC→)=90∘(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}) = 90^\circ.

Do đó, AH→⋅BC→=∣AH→∣⋅∣BC→∣⋅cos⁡(AH→,BC→)=23⋅4⋅cos⁡90∘=0\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AH}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}) = 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 90^\circ = 0.

Kết quả: a) 88; b) −8-8; c) 00.

Trang 101 — Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông ABCDABCD có cạnh bằng 44. Tính AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}, AH→⋅BC→\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} (với HH là chân đường cao vẽ từ BB).

Lời giải:

Ta có:

  • AB→⋅AC→=∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅cos⁡(AB→,AC→)=4⋅42⋅cos⁡45∘=4⋅42⋅22=16\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16.

  • AB→⋅BC→=∣AB→∣⋅∣BC→∣⋅cos⁡(AB→,BC→)=4⋅4⋅cos⁡90∘=4⋅4⋅0=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 4 \cdot 4 \cdot \cos 90^\circ = 4 \cdot 4 \cdot 0 = 0.

  • AH→⋅BC→=∣AH→∣⋅∣BC→∣⋅cos⁡(AH→,BC→)=∣AH→∣⋅∣BC→∣⋅cos⁡90∘=0\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AH}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AH}, \overrightarrow{BC}) = |\overrightarrow{AH}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos 90^\circ = 0.

Kết quả: AB→⋅AC→=16\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 16, AB→⋅BC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0, AH→⋅BC→=0\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0.

Bài 2. Cho tam giác ABCABC vuông cân tại AA, có cạnh huyền bằng 2\sqrt{2}. Tính các tích vô hướng AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, AC→⋅BC→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}, BA→⋅BC→\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}.

Lời giải:

Gọi AB=AC=aAB = AC = a. Theo định lý Pythagore:

AB2+AC2=BC2  ⟺  a2+a2=(2)2  ⟺  2a2=2  ⟺  a2=1  ⟺  a=1 .AB^2 + AC^2 = BC^2 \iff a^2 + a^2 = (\sqrt{2})^2 \iff 2a^2 = 2 \iff a^2 = 1 \iff a = 1\,.

Do đó AB=AC=1AB = AC = 1.

  • AB→⋅AC→=∣AB→∣⋅∣AC→∣⋅cos⁡(AB→,AC→)=1⋅1⋅cos⁡90∘=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 1 \cdot 1 \cdot \cos 90^\circ = 0.

  • AC→⋅BC→=∣AC→∣⋅∣BC→∣⋅cos⁡(AC→,BC→)=1⋅2⋅cos⁡45∘=1⋅2⋅22=1\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1.

  • BA→⋅BC→=∣BA→∣⋅∣BC→∣⋅cos⁡(BA→,BC→)=1⋅2⋅cos⁡45∘=1\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = 1.

Kết quả: AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0, AC→⋅BC→=1\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 1, BA→⋅BC→=1\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 1.

Bài 3. Hai vectơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} có độ dài lần lượt là 33 và 88 và có tích vô hướng là 12212\sqrt{2}. Tính góc giữa hai vectơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}.

Lời giải:

Ta có: a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}).

Suy ra

cos⁡(a→,b→)=a→⋅b→∣a→∣⋅∣b→∣=1223⋅8=22 .\begin{aligned} \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) &= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} \\ &= \frac{12\sqrt{2}}{3 \cdot 8} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\,. \end{aligned}

Do đó góc giữa hai vectơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} là 45∘45^\circ.

Kết quả: 45∘45^\circ.

Bài 4. Một người dùng một lực F→\overrightarrow{F} có độ lớn là 20 N20\,\text{N} kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m50\,\text{m} cùng hướng với F→\overrightarrow{F}. Tính công sinh bởi lực F→\overrightarrow{F}.

Lời giải:

Công sinh bởi lực F→\overrightarrow{F} là A=F→⋅d→=∣F→∣⋅∣d→∣⋅cos⁡(F→,d→)=20⋅50⋅cos⁡0∘=20⋅50⋅1=1000 JA = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{F}| \cdot |\overrightarrow{d}| \cdot \cos(\overrightarrow{F}, \overrightarrow{d}) = 20 \cdot 50 \cdot \cos 0^\circ = 20 \cdot 50 \cdot 1 = 1000\,\text{J}.

Kết quả: 1000 J1000\,\text{J}.

Bài tập

1. Cho hình vuông ABCDABCD có cạnh bằng aa. Tính các tích vô hướng: AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}, AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, AC→⋅CB→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}, AC→⋅BD→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}.

Lời giải:

Trong hình vuông ABCDABCD, ta có:

  • AB→⋅AD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 (vì AB→⊥AD→\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD})
  • AC→=AB→+BC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} (vì ABCDABCD là hình vuông)
  • Độ dài AC→\overrightarrow{AC} là AC=a2AC = a\sqrt{2}

Tính tích vô hướng:

  1. AB→⋅AD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0
  2. AB→⋅AC→=AB→⋅(AB→+AD→)=AB2=a2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = AB^2 = a^2
  3. AC→⋅CB→=−CA→⋅CB→=−(CB→+BA→)⋅CB→=−CB2=−a2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) \cdot \overrightarrow{CB} = -CB^2 = -a^2
  4. AC→⋅BD→=(AB→+AD→)⋅(BA→+AD→)=AB→⋅BA→+AB→⋅AD→+AD→⋅BA→+AD→⋅AD→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD}
    =−a2+0−0+a2=0= -a^2 + 0 - 0 + a^2 = 0

Kết quả: 0,a2,−a2,00, a^2, -a^2, 0.

2. Cho hình chữ nhật ABCDABCD có tâm OO và cho AD=a,AB=2aAD = a, AB = 2a. Tính:

a) AB→⋅AO→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO}
b) AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}

Lời giải:

a) AB→⋅AO→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO}

AB→⋅AO→=AB→⋅(AB→+BO→)=AB2+AB→⋅12AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO}) = AB^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}
=(2a)2+2a⋅12a⋅cos⁡90∘=4a2= (2a)^2 + 2a \cdot \frac{1}{2}a \cdot \cos 90^\circ = 4a^2

b) AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}

AB→⋅AD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 (vì AB→⊥AD→\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD})

Kết quả: 4a2,04a^2, 0.

3. Cho ba điểm O,A,BO, A, B thẳng hàng và OA=a,OB=bOA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA→⋅OB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} trong hai trường hợp:

a) Điểm OO nằm ngoài đoạn thẳng ABAB
b) Điểm OO nằm trong đoạn thẳng ABAB

Lời giải:

a) Điểm OO nằm ngoài đoạn thẳng ABAB

OA→⋅OB→=∣OA→∣⋅∣OB→∣⋅cos⁡(OA→,OB→)=abcos⁡180∘=−ab\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \cos (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = ab \cos 180^\circ = -ab

b) Điểm OO nằm trong đoạn thẳng ABAB

OA→⋅OB→=∣OA→∣⋅∣OB→∣⋅cos⁡(OA→,OB→)=abcos⁡0∘=ab\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \cos (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}) = ab \cos 0^\circ = ab

Kết quả: −ab,ab-ab, ab.

4. Cho đoạn thẳng ABAB có OO là trung điểm và cho điểm MM tùy ý. Chứng minh rằng:

MA→⋅MB→=MO2−OA2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 - OA^2

Lời giải:

MA→⋅MB→=(MO→+OA→)(MO→+OB→)=MO2+MO→⋅(OA→+OB→)+OA→⋅OB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}) = MO^2 + \overrightarrow{MO} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}
=MO2+MO→⋅0→+OA→⋅OB→= MO^2 + \overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{0} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}
=MO2+OA→⋅OB→= MO^2 + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}

Mà OA→=−OB→⇒OA→⋅OB→=−OA2\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OB} \Rightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -OA^2
⇒MA→⋅MB→=MO2−OA2\Rightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 - OA^2

Kết quả: MA→⋅MB→=MO2−OA2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 - OA^2.

5. Một người dùng một lực F→\overrightarrow{F} có độ lớn là 90 N90 \text{ N} làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m100 \text{ m}. Biết lực F→\overrightarrow{F} hợp với hướng dịch chuyển một góc 60∘60^\circ. Tính công sinh bởi lực F→\overrightarrow{F}.

Lời giải:

Công sinh bởi lực F→\overrightarrow{F} là A=F→⋅d→=∣F→∣⋅∣d→∣⋅cos⁡(F→,d→)=90⋅100⋅cos⁡60∘=90⋅100⋅12=4500 JA = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{F}| \cdot |\overrightarrow{d}| \cdot \cos (\overrightarrow{F}, \overrightarrow{d}) = 90 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ = 90 \cdot 100 \cdot \frac{1}{2} = 4500 \text{ J}

Kết quả: 4500 J4500 \text{ J}.

6. Cho hai vecto có độ dài lần lượt là 33 và 44 và có tích vô hướng là −6-6. Tính góc giữa hai vecto đó.

Lời giải:

a→⋅b→=∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})
⇒cos⁡(a→,b→)=a→⋅b→∣a→∣⋅∣b→∣=−63⋅4=−12\Rightarrow \cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{-6}{3 \cdot 4} = -\frac{1}{2}
⇒(a→,b→)=120∘\Rightarrow (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 120^\circ

Kết quả: 120∘120^\circ.

Trang 103 — Bài tập cuối chương V

Bài 1. Cho ba vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b}, c→\overrightarrow{c} đều khác vecto 0→\overrightarrow{0}. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} cùng phương với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương.

b) Nếu hai vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} cùng ngược hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

Lời giải:

a) Nếu hai vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} cùng phương với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương.

  • Hai vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} cùng phương với c→\overrightarrow{c} nghĩa là a→\overrightarrow{a} và c→\overrightarrow{c} cùng phương, b→\overrightarrow{b} và c→\overrightarrow{c} cùng phương.

  • Theo tính chất bắc cầu, nếu a→\overrightarrow{a} và c→\overrightarrow{c} cùng phương, b→\overrightarrow{b} và c→\overrightarrow{c} cùng phương thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương.

  • Vậy khẳng định a) đúng.

b) Nếu hai vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} cùng ngược hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

  • Hai vecto a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} cùng ngược hướng với c→\overrightarrow{c} nghĩa là a→\overrightarrow{a} và c→\overrightarrow{c} ngược hướng, b→\overrightarrow{b} và c→\overrightarrow{c} ngược hướng.

  • Nếu a→\overrightarrow{a} và c→\overrightarrow{c} ngược hướng, b→\overrightarrow{b} và c→\overrightarrow{c} ngược hướng thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

  • Vậy khẳng định b) đúng.

Kết quả: a) Đúng; b) Đúng.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCDABCD có OO là giao điểm của hai đường chéo và AB=aAB = a, BC=3aBC = 3a.

a) Tính độ dài của các vecto AC→\overrightarrow{AC}, BD→\overrightarrow{BD}.

b) Tìm trong hình các cặp vecto đối nhau và có độ dài bằng a102\frac{a\sqrt{10}}{2}.

Lời giải:

a) Tính độ dài của các vecto AC→\overrightarrow{AC}, BD→\overrightarrow{BD}.

  • Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABCABC, ta có: AC2=AB2+BC2=a2+(3a)2=10a2AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (3a)^2 = 10a^2 ⇒AC=10a2=a10.\Rightarrow AC = \sqrt{10a^2} = a\sqrt{10}.

  • Do OO là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCDABCD nên OO là trung điểm của ACAC và BDBD.

  • Suy ra AO=OC=BO=OD=a102.AO = OC = BO = OD = \frac{a\sqrt{10}}{2}.

  • Độ dài các vecto AC→\overrightarrow{AC} và BD→\overrightarrow{BD} là ∣AC→∣=AC=a10,|\overrightarrow{AC}| = AC = a\sqrt{10}, ∣BD→∣=BD=a10.|\overrightarrow{BD}| = BD = a\sqrt{10}.

b) Tìm trong hình các cặp vecto đối nhau và có độ dài bằng a102\frac{a\sqrt{10}}{2}.

  • Các cặp vecto đối nhau là AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}, AD→\overrightarrow{AD} và CB→\overrightarrow{CB}.

  • Độ dài của các vecto AB→\overrightarrow{AB}, CD→\overrightarrow{CD}, AD→\overrightarrow{AD}, CB→\overrightarrow{CB} lần lượt là aa, aa, 3a3a, 3a3a.

  • Ta có a102=(a2)2+(3a)2=(3a2)2+a2.\frac{a\sqrt{10}}{2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{2}\right)^2 + a^2}.

  • Các vecto OB→\overrightarrow{OB}, DO→\overrightarrow{DO} và AO→\overrightarrow{AO}, CO→\overrightarrow{CO} có độ dài bằng a102\frac{a\sqrt{10}}{2} và là các cặp vecto đối nhau.

Kết quả: a) ∣AC→∣=∣BD→∣=a10|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{10}; b) OB→\overrightarrow{OB} và DO→\overrightarrow{DO}, AO→\overrightarrow{AO} và CO→\overrightarrow{CO}.

Bài 3. Cho hình thoi ABCDABCD có cạnh bằng aa và có góc AA bằng 60∘60^\circ. Tìm độ dài các vecto sau: p→=AB→+AD→\overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}; u→=AB→−AD→\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}; v→=2AB→−AC→\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}.

Lời giải:

  • Hình thoi ABCDABCD có cạnh bằng aa và có góc AA bằng 60∘60^\circ ⇒\Rightarrow Tam giác ABCABC đều.

  • Độ dài các vecto AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD}, AC→\overrightarrow{AC} lần lượt là aa, aa, aa.

  • Ta có p→=AB→+AD→=AC→⇒∣p→∣=∣AC→∣=a.\overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \Rightarrow |\overrightarrow{p}| = |\overrightarrow{AC}| = a.

  • Ta có u→=AB→−AD→=DB→⇒∣u→∣=∣DB→∣=a.\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB} \Rightarrow |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{DB}| = a.

  • Ta có v→=2AB→−AC→=AB→+(AB→−AC→)=AB→+CA→+AB→=2AB→+CB→.\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}.

  • Gọi EE là điểm thỏa mãn CE→=AB→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}.

  • Khi đó BE=AC=aBE = AC = a, AE=BC=aAE = BC = a và góc ABEABE bằng 120∘120^\circ.

  • Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABEABE ta có AE2=AB2+BE2−2AB⋅BE⋅cos⁡120∘=a2+a2−2a2⋅(−12)=3a2.AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB \cdot BE \cdot \cos 120^\circ = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3a^2.

  • Độ dài vecto v→\overrightarrow{v} là ∣v→∣=3a.|\overrightarrow{v}| = \sqrt{3}a.

Kết quả: ∣p→∣=∣u→∣=a|\overrightarrow{p}| = |\overrightarrow{u}| = a; ∣v→∣=3a|\overrightarrow{v}| = \sqrt{3}a.

Bài 4. Cho hình bình hành ABCDABCD. Hai điểm MM và NN lần lượt là trung điểm của BCBC và ADAD. Vẽ điểm EE sao cho CE→=AN→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AN} (Hình 1).

Lời giải:

  • Ta có CE→=AN→=AM→.\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM}.

  • Suy ra tứ giác AMCEAMCE là hình bình hành.

  • Do đó AE→=MC→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{MC}.

  • Mặt khác, MC→=MD→+DC→=MD→+AB→.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{AB}.

  • Vậy AE→=MD→+AB→.\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{AB}.

Kết quả: AE→=MD→+AB→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{AB}.