Trang 104 — Chương Vecto

Bài 5. Cho a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b} là hai vecto khác vecto 0→\overrightarrow{0}. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) ∣a→+b→∣=∣a→∣+∣b→∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|;

b) ∣a→+b→∣=∣a→−b→∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|.

Lời giải:

a) ∣a→+b→∣=∣a→∣+∣b→∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}| đúng khi a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.

Khi a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng:

∣a→+b→∣=∣a→∣+∣b→∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|

vì

a→↑↑b→⇒a→+b→↑↑a→,b→.\overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b} \Rightarrow \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \uparrow\uparrow \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}.

b) ∣a→+b→∣=∣a→−b→∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| đúng khi a→⊥b→\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}.

Khi a→⊥b→\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}:

∣a→+b→∣2=(a→+b→)⋅(a→+b→)=a2+2a→⋅b→+b2=a2+b2|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = a^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + b^2 = a^2 + b^2 ∣a→−b→∣2=(a→−b→)⋅(a→−b→)=a2−2a→⋅b→+b2=a2+b2|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) = a^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + b^2 = a^2 + b^2

Do đó:

∣a→+b→∣2=∣a→−b→∣2|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2

Vậy ∣a→+b→∣=∣a→−b→∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| khi a→⊥b→\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}.

Kết quả: a) a→↑↑b→\overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b}; b) a→⊥b→\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}.

Bài 6. Cho ∣a→+b→∣=0|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vecto a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}.

Lời giải:

Ta có: ∣a→+b→∣=0⇒a→+b→=0→⇒a→=−b→|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=0 \Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}.

Do đó:

  • Độ dài: ∣a→∣=∣b→∣|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|.
  • Phương: cùng phương.
  • Hướng: ngược hướng.

Kết quả: ∣a→∣=∣b→∣|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|, cùng phương, ngược hướng.

Bài 7. Cho bốn điểm A,B,C,DA, B, C, D. Chứng minh rằng AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng ADAD và BCBC trùng nhau.

Lời giải:

Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của AD,BCAD, BC.

Ta có:

AB→=CD→⇔AM→+MB→=CN→+ND→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{ND} ⇔2MN→=AB→−CD→=0→⇔M≡N.\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow M \equiv N.

Kết quả: Trung điểm ADAD và BCBC trùng nhau.

Bài 8. Cho tam giác ABCABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,BCPO,CARSABIJ, BCPO, CARS. Chứng minh rằng RJ→+IQ→+PS→=0→\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}.

Lời giải:

Ta có:

RJ→=RA→+AJ→=RS→+CB→+BI→,\overrightarrow{RJ} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BI}, IQ→=IB→+BQ→=IB→+PO→=IB→+BC→,\overrightarrow{IQ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{PO} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC}, PS→=PC→+CS→=PC→+AR→.\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CS} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{AR}.

Cộng vế theo vế:

RJ→+IQ→+PS→=RS→+CB→+BI→+IB→+BC→+PC→+AR→=0→.\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{RS} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{AR} = \overrightarrow{0}.

Kết quả: RJ→+IQ→+PS→=0→\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}.

Bài 9. Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 4545 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 3838 m/s theo hướng nghiêng một góc 20∘20^\circ về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Lời giải:

Đặt v1→\overrightarrow{v_1} là vận tốc của máy bay so với mặt đất.

v2→\overrightarrow{v_2} là vận tốc của gió.

v→\overrightarrow{v} là vận tốc của máy bay.

Ta có:

v1→=v→+v2→.\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v_2}.

Từ hình vẽ:

v2=452−382=23,32 m/s.v_2 = \sqrt{45^2 - 38^2} = 23,32 \text{ m/s}.

Kết quả: 23,32 m/s23,32 \text{ m/s}.

Bài 10. Cho tam giác đều ABCABC có OO là trọng tâm và MM là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,FD, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ MM đến BC,AC,ABBC, AC, AB. Chứng minh rằng MD→+ME→+MF→=32MO→\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.

Lời giải:

Gọi SS là diện tích tam giác ABCABC.

Ta có:

S=12⋅BC⋅MD=12⋅AC⋅ME=12⋅AB⋅MF.S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot ME = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MF. MD→=2SBC,ME→=2SAC,MF→=2SAB.\overrightarrow{MD} = \frac{2S}{BC}, \overrightarrow{ME} = \frac{2S}{AC}, \overrightarrow{MF} = \frac{2S}{AB}. MD→+ME→+MF→=2S(1BC+1AC+1AB).\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = 2S \left( \frac{1}{BC} + \frac{1}{AC} + \frac{1}{AB} \right).

Mặt khác:

MO→=13(MD→+ME→+MF→).\overrightarrow{MO} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF}).

Do đó:

MD→+ME→+MF→=32MO→.\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \frac{3}{2} \overrightarrow{MO}.

Kết quả: MD→+ME→+MF→=32MO→\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.

Bài 11. Một xe goòng được kéo bởi một lực F→\overrightarrow{F} có độ lớn là 5050 N, di chuyển theo quãng đường từ AA đến BB có chiều dài 200200 m. Cho biết góc giữa F→\overrightarrow{F} và AB→\overrightarrow{AB} là 30∘30^\circ và F→\overrightarrow{F} được phân tích thành hai lực F1→\overrightarrow{F_1}, F2→\overrightarrow{F_2} (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực F→\overrightarrow{F}, F1→\overrightarrow{F_1} và F2→\overrightarrow{F_2}.

Lời giải:

Công sinh bởi lực F→\overrightarrow{F}:

AF=F→⋅AB→=∣F→∣⋅∣AB→∣⋅cos⁡30∘=50⋅200⋅32=50003 J.A_F = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{F}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot \cos 30^\circ = 50 \cdot 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5000 \sqrt{3} \text{ J}.

Công sinh bởi lực F1→\overrightarrow{F_1}:

AF1=F1→⋅AB→=0 J.A_{F_1} = \overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \text{ J}.

Công sinh bởi lực F2→\overrightarrow{F_2}:

AF2=F2→⋅AB→=0 J.A_{F_2} = \overrightarrow{F_2} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \text{ J}.

Kết quả: 50003 J5000 \sqrt{3} \text{ J}.

Bài 12. Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,750,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,201,20 m/s theo hướng bên phải. Gọi v1→\overrightarrow{v_1}, v2→\overrightarrow{v_2}, v→\overrightarrow{v} lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vecto v1→\overrightarrow{v_1}, v2→\overrightarrow{v_2}, v→\overrightarrow{v}.

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Lời giải:

a) Độ dài các vecto:

v1=0,75 m/s,v2=1,20 m/s.v_1 = 0,75 \text{ m/s}, v_2 = 1,20 \text{ m/s}. v=v12+v22=0,752+1,202=1,47 m/s.v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{0,75^2 + 1,20^2} = 1,47 \text{ m/s}.

b) Tốc độ dịch chuyển:

v=1,47 m/s.v = 1,47 \text{ m/s}.

c) Hướng di chuyển:

tan⁡θ=v2v1=1,200,75⇒θ=58∘.\tan \theta = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1,20}{0,75} \Rightarrow \theta = 58^\circ.

Kết quả: a) 0,750,75 m/s, 1,201,20 m/s, 1,471,47 m/s; b) 1,471,47 m/s; c) 58∘58^\circ.

Trang 105 — Chương VI Thống kê

Không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải trên trang này. Trang này chủ yếu trình bày phần lý thuyết và mục tiêu của chương.

Trả lời: SKIP

Trang 105 — Bài 1. Số gần đúng và sai số

Trang này có nội dung lý thuyết về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác, không có bài tập.

Trang 106 — Bài 1. Số gần đúng và sai số

Bài 1. Hãy do chiều dài của bàn học bạn đang sử dụng.

Trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta không thể xác định được giá trị chính xác. Ví dụ như chiều cao của một cây dừa hay tốc độ của một chiếc máy bay tại thời điểm nào đó. Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác nhau có thể sẽ cho ra các kết quả khác nhau. Vì vậy kết quả thu được thường chỉ là những số gần đúng.

Lời giải: Không có dữ liệu cụ thể để giải quyết bài toán này vì đây là một hoạt động thực hành đo chiều dài. Bạn cần đo chiều dài bàn học của mình và ghi lại kết quả.

Kết quả: Phụ thuộc vào kết quả đo thực tế.

Bài 2. Trong trích đoạn một báo cáo tài chính dưới đây, theo bạn, số nào là số đúng, số nào là số gần đúng?

Trong tháng 01/2021 có 47 dự án được cấp phép mới với vốn đăng kí đạt gần 1,3 tỉ USD, giảm khoảng 81,8%81,8\% so với số dự án và 70,3%70,3\% về số vốn đăng kí so với cùng kì năm trước; 46 lượt dự án đã cấp phép từ các năm trước đăng kí điều chỉnh vốn đầu tư với số vốn tăng thêm trên 0,50,5 USD, tăng gần 41,4%41,4\%.

Lời giải:

  • Số đúng: 47 (số dự án được cấp phép mới), 46 (lượt dự án đã cấp phép từ các năm trước).
  • Số gần đúng:
    • Gần 1,3 tỉ USD (vốn đăng kí).
    • 81,8%81,8\% (giảm so với số dự án cùng kì năm trước).
    • 70,3%70,3\% (giảm về số vốn đăng kí so với cùng kì năm trước).
    • 0,50,5 USD (số vốn tăng thêm).
    • 41,4%41,4\% (tăng số vốn).

Kết quả:

  • Số đúng: 47, 46.
  • Số gần đúng: 1,3 tỉ USD, 81,8%81,8\%, 70,3%70,3\%, 0,50,5 USD, 41,4%41,4\%.

Bài 3. Vinh và Hoa đo chiều dài trang bìa của một quyển sách (Hình 2). Vinh đọc kết quả là 2121 cm. Hoa đọc kết quả là 20,720,7 cm. Kết quả của bạn nào có sai số nhỏ hơn?

Lời giải:

  • Nếu a là số gần đúng của số đúng a‾\overline{a} thì Δa=∣a‾−a∣\Delta_a = | \overline{a} - a | được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng aa.

Gọi a‾\overline{a} là chiều dài thực tế của trang bìa.

  • Sai số tuyệt đối của Vinh: Δa1=∣a‾−21∣\Delta_{a_1} = | \overline{a} - 21 |.
  • Sai số tuyệt đối của Hoa: Δa2=∣a‾−20,7∣\Delta_{a_2} = | \overline{a} - 20,7 |.

Kết quả:

  • Để so sánh, cần biết giá trị thực tế a‾\overline{a}. Nếu a‾\overline{a} gần 20,720,7 hơn 2121 thì Hoa có sai số nhỏ hơn và ngược lại.

Trang 107

Bài 4. Nếu a‾\overline{a} là số gần đúng của số đúng aa thì Δa=∣a‾−a∣\Delta_a = | \overline{a} - a | được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a‾\overline{a}.

Trên thực tế ta thường không biết số đúng aa nên không thể tính được chính xác Δa\Delta_a. Thay vào đó, ta thường tìm cách không chế sai số tuyệt đối Δa\Delta_a không vượt quá mức d>0d > 0 cho trước, tức là $$ \Delta_a = | \overline{a} - a | \le d \text{ hay } a - d \le \overline{a} \le a + d $$

Lời giải:

  • Đây là nội dung lý thuyết về sai số tuyệt đối và cách ước lượng.

Kết quả:

  • Không có kết quả số học cụ thể.

Trang 107 —

Hoạt động khởi động

Trang này có đề cập đến các vấn đề về sai số trong toán học, nhưng không có bài tập cụ thể yêu cầu giải. Thay vào đó, nó tập trung vào phần lý thuyết về sai số tuyệt đối, sai số tương đối và cách ước lượng độ chính xác của các phép đo.

Tuy nhiên, có một vài câu hỏi và hoạt động nhỏ được đề cập để làm rõ lý thuyết:

  1. Ví dụ 1: Tính diện tích của hình tròn với bán kính r=4r = 4 cm, sử dụng π≈3.145\pi \approx 3.145, và ước lượng độ chính xác.

  2. Hoạt động 1: Cho biết 1.41<2<1.421.41 < \sqrt{2} < 1.42. Hãy tính độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1010 cm và xác định độ chính xác của kết quả.

  3. Hoạt động 2: Một tấm bìa có kích thước 170×240 (±2 mm)170 \times 240 \, (\pm 2 \text{ mm}). Hãy ước lượng kích thước của tấm bìa và tính diện tích.

  4. Hoạt động 3: So sánh sai số tương đối của phép đo tuổi của vũ trụ (13,799±2113,799 \pm 21 triệu năm) và thời gian chạy 100100 m của vận động viên (10.3±0.110.3 \pm 0.1 giây).

Vì không có bài tập yêu cầu giải cụ thể, câu trả lời sẽ là:

SKIP