Giải Toán 10 Tập 1 trang 116-119 - Chân trời sáng tạo

Trang 116 — Ý nghĩa của số trung vị

Bài tập

Bài tập 1

Bài tập: Hãy tìm trung vị của các số liệu ở $\boxed{1}$ và $\boxed{2}$.

Lời giải:

Để tìm trung vị của các số liệu, trước tiên ta cần sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Tuy nhiên, đề bài không cung cấp cụ thể các số liệu ở $\boxed{1}$ và $\boxed{2}$. Dựa vào nội dung lý thuyết và các ví dụ trong SGK, ta có thể đưa ra cách giải tổng quát như sau:

• Nếu số lượng các số liệu (cỡ mẫu $n$) là lẻ $(n = 2k + 1)$ thì trung vị là giá trị thứ $k + 1$.
• Nếu số lượng các số liệu (cỡ mẫu $n$) là chẵn $(n = 2k)$ thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị thứ $k$ và $k+1$.

Do không có thông tin cụ thể về các số liệu ở $\boxed{1}$ và $\boxed{2}$, bạn cần cung cấp hoặc kiểm tra lại đề bài để có thể tính toán chính xác.

Kết quả: Cần thêm thông tin về các số liệu ở $\boxed{1}$ và $\boxed{2}$.

Bài tập 2

Không có bài tập 2 nào trên trang này ngoài lý thuyết và các ví dụ minh họa.

Vậy nên chúng ta sẽ chuyển sang trang tiếp theo nếu có bài tập nào cần giải.

---

Trang 117 —

Bài tập

Bài 1.

Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

50	56	57	62	58	52	66	61	54	61
64	69	52	65	58	68	67	56	59	54

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp $20$ vận động viên trên thành $4$ nhóm, mỗi nhóm gồm $25\%$ số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Lời giải:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

$$50, 52, 52, 54, 54, 56, 56, 58, 58, 59, 61, 61, 62, 64, 65, 66, 67, 68, 69$$

Vì cỡ mẫu $n = 20$ là số chẵn, nên ta có:

• Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ là số trung vị của mẫu: $\frac{59 + 61}{2} = 60.$

• Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là trung vị của nửa mẫu: $50, 52, 52, 54, 54, 56, 56, 58, 58, 59$ $\implies Q_1 = \frac{54+56}{2} = 55.$

• Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là trung vị của nửa mẫu: $61, 61, 62, 64, 65, 66, 67, 68, 69$ $\implies Q_3 = \frac{65 + 66}{2} = 65.5.$

Kết quả:

• Nhóm $1$: gồm các vận động viên có cân nặng từ $50$ đến $55$ (kg).
• Nhóm $2$: gồm các vận động viên có cân nặng từ $56$ đến $60$ (kg).
• Nhóm $3$: gồm các vận động viên có cân nặng từ $61$ đến $65.5$ (kg).
• Nhóm $4$: gồm các vận động viên có cân nặng từ $66$ đến $69$ (kg).

---

Trang 118 — Chương 4: Thống kê

Bài tập

Bài 1. Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) $10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7$

Lời giải:

1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15$

2. Tính cỡ mẫu: $n = 8$, là số chẵn.

3. Tính tứ phân vị thứ hai $\left(Q_2\right)$: $$ Q_2 = \frac{1}{2} \cdot (7 + 10) = \frac{17}{2} = 8.5 $$

4. Tính tứ phân vị thứ nhất $\left(Q_1\right)$:

   • Lấy mẫu số liệu từ $2; 2; 5; 7$ (một nửa mẫu số liệu bên trái $Q_2$).
   • $Q_1 = \frac{1}{2} \cdot (2 + 5) = \frac{7}{2} = 3.5$

5. Tính tứ phân vị thứ ba $\left(Q_3\right)$:

   • Lấy mẫu số liệu từ $10; 10; 13; 15$ (một nửa mẫu số liệu bên phải $Q_2$).
   • $Q_3 = \frac{1}{2} \cdot (10 + 13) = \frac{23}{2} = 11.5$

Kết quả: $Q_1 = 3.5, Q_2 = 8.5, Q_3 = 11.5$

b) $15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15$

Lời giải:

1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19$

2. Tính cỡ mẫu: $n = 10$, là số chẵn.

3. Tính tứ phân vị thứ hai $\left(Q_2\right)$: $$ Q_2 = \frac{1}{2} \cdot (9 + 10) = \frac{19}{2} = 9.5 $$

4. Tính tứ phân vị thứ nhất $\left(Q_1\right)$:

   • Lấy mẫu số liệu từ $1; 2; 5; 5; 9$ (một nửa mẫu số liệu bên trái $Q_2$).
   • $Q_1 = 5$

5. Tính tứ phân vị thứ ba $\left(Q_3\right)$:

   • Lấy mẫu số liệu từ $10; 10; 15; 15; 19$ (một nửa mẫu số liệu bên phải $Q_2$).
   • $Q_3 = 15$

Kết quả: $Q_1 = 5, Q_2 = 9.5, Q_3 = 15$

Bài 2. Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày $14$ tháng $2$ theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:

Loại hoa	Hồng bạch	Hồng nhung	Hồng vàng	Hồng kem
Số bông bán được	$120$	$230$	$180$	$150$

Cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nào nhiều nhất để bán trong ngày $14$ tháng $2$ năm tiếp theo? Tại sao?

Lời giải:

• Loại hoa hồng có số lượng bán được nhiều nhất là $\text{hoa hồng nhung}$ với $230$ bông.

• Lý do cửa hàng nên nhập nhiều hoa hồng nhung:

  • Hoa hồng nhung có số lượng bán được cao nhất $\left(230\right)$, lớn hơn tất cả các loại hoa khác.

Kết quả: Cửa hàng nên nhập nhiều hoa hồng nhung nhất.

Bài 3. Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là $M_o$.

Ví dụ 5. Số vụ va chạm giao thông mỗi ngày tại một ngã tư được ghi lại trong bảng tần số sau:

Số vụ va chạm	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Số ngày	$12$	$17$	$6$	$4$	$1$

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

• Giá trị có tần số lớn nhất là $1$ $\left(17 \, \text{ngày}\right)$.

• Vậy mốt của mẫu số liệu trên là $M_o = 1$.

Kết quả: $M_o = 1$.

Bài 4. Ý nghĩa của mốt

Mốt đặc trưng cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Bài 5. Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra của các bạn Tổ $1$ trong bảng điểm (giả sử có).

• Dựa vào dữ liệu thực tế của bảng điểm, xác định giá trị có tần số lớn nhất.

• Nếu không có bảng điểm cụ thể:

Kết quả: Phụ thuộc vào dữ liệu thực tế.

---

Trang 119 — Bài tập

Bài 1. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau: a) $23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41$ b) $12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78$

Lời giải:

a)

• Số trung bình:

  $$\bar{x} = \frac{23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41}{8} = \frac{370}{8} = 46.25$$

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: $23, 29, 41, 41, 45, 48, 71, 72$

• Tứ phân vị:

  • $Q_2 = \frac{41 + 45}{2} = 43$
  • $Q_1 = \frac{29 + 41}{2} = 35$
  • $Q_3 = \frac{48 + 71}{2} = 59.5$

• Mốt: $41$ (xuất hiện 2 lần)

b)

• Số trung bình:

  $$\bar{x} = \frac{12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78}{9} = \frac{449}{9} \approx 49.89$$

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: $12, 12, 24, 32, 54, 66, 78, 78, 93$

• Tứ phân vị:

  • $Q_2 = 54$
  • $Q_1 = 24$
  • $Q_3 = 78$

• Mốt: $12, 78$ (xuất hiện 2 lần)

Kết quả:

• a) $\bar{x} = 46.25, Q_1 = 35, Q_2 = 43, Q_3 = 59.5$, mốt $= 41$
• b) $\bar{x} \approx 49.89, Q_1 = 24, Q_2 = 54, Q_3 = 78$, mốt $= 12, 78$

Bài 2. Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau: a)

Giá trị	23	25	28	31	33	37
Tần số	6	8	10	6	4	3

b)

Giá trị	0	2	4	5
Tần số tương đối	0.6	0.2	0.1	0.1

Lời giải:

a)

• Số trung bình:

  $$\bar{x} = \frac{23\cdot6 + 25\cdot8 + 28\cdot10 + 31\cdot6 + 33\cdot4 + 37\cdot3}{6+8+10+6+4+3} = \frac{23\cdot6 + 25\cdot8 + 28\cdot10 + 31\cdot6 + 33\cdot4 + 37\cdot3}{37} \approx 28.62$$

• Sắp xếp giá trị theo thứ tự tăng dần: $23, 23, 23, 23, 23, 23, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 31, 31, 31, 31, 31, 31, 33, 33, 33, 33, 37, 37, 37$

• Tứ phân vị:

  • $Q_2 = 28$
  • $Q_1 = \frac{25+25}{2} = 25$
  • $Q_3 = \frac{31+31}{2} = 31$

• Mốt: $28$ (xuất hiện 10 lần)

b)

• Số trung bình:

  $$\bar{x} = 0\cdot0.6 + 2\cdot0.2 + 4\cdot0.1 + 5\cdot0.1 = 1.3$$

• Tứ phân vị:

  • $Q_2 = 0$ (vì $0.5$ nằm trong khoảng $0.6$ đầu tiên)
  • $Q_1 = 0$
  • $Q_3 = 2$

• Mốt: $0$ (có tần số tương đối lớn nhất $0.6$)

Kết quả:

• a) $\bar{x} \approx 28.62, Q_1 = 25, Q_2 = 28, Q_3 = 31$, mốt $= 28$
• b) $\bar{x} = 1.3, Q_1 = 0, Q_2 = 0, Q_3 = 2$, mốt $= 0$

Bài 3. An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra đó rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Số bóng đỏ	0	1	2	3
Số lần	10	30	40	20

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Lời giải:

• Số trung bình:

  $$\bar{x} = \frac{0\cdot10 + 1\cdot30 + 2\cdot40 + 3\cdot20}{100} = \frac{130}{100} = 1.3$$

• Sắp xếp giá trị theo thứ tự tăng dần: $0, 0, ..., 0$ (10 lần), $1, 1, ..., 1$ (30 lần), $2, 2, ..., 2$ (40 lần), $3, 3, ..., 3$ (20 lần)

• Tứ phân vị:

  • $Q_2 = 1$
  • $Q_1 = 1$
  • $Q_3 = 2$

• Mốt: $2$ (xuất hiện 40 lần)

Kết quả: $\bar{x} = 1.3, Q_1 = 1, Q_2 = 1, Q_3 = 2$, mốt $= 2$

Bài 4. Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

Thời gian (đơn vị: phút)	5	6	7	8	35
Số thí sinh	1	3	5	2	1

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Lời giải:

a)

• Số trung bình:

  $$\bar{x} = \frac{5 + 3\cdot6 + 5\cdot7 + 2\cdot8 + 35}{1+3+5+2+1} = \frac{5 + 18 + 35 + 16 + 35}{12} = \frac{109}{12} \approx 9.08$$

• Sắp xếp giá trị theo thứ tự tăng dần: $5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 35$

• Tứ phân vị:

  • $Q_2 = 7$
  • $Q_1 = 6$
  • $Q_3 = 7.5$

• Mốt: $7$ (xuất hiện 5 lần)

b)

• Năm nay: $\bar{x} \approx 9.08, Q_2 = 7$
• Năm ngoái: $\bar{x} = 7, Q_2 = 7$

Kết quả:

• a) $\bar{x} \approx 9.08, Q_1 = 6, Q_2 = 7, Q_3 = 7.5$, mốt $= 7$
• b) Thời gian thi năm nay dài hơn năm ngoái.

Bài 5. Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:

	1	2	3	4	5	6	7	8
Bác Dũng	2	7	3	6	1	4	1	4
Bác Thu	1	3	1	2	3	4	20	2

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số cuộc điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

c) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

d) Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc gọi điện thoại hơn mỗi ngày?

Lời giải:

a)

• Bác Dũng:

  • Số trung bình: $$\bar{x}_D = \frac{2 + 7 + 3 + 6 + 1 + 4 + 1 + 4}{8} = \frac{28}{8} = 3.5$$
  • Tứ phân vị:
    • Sắp xếp: $1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7$
    • $Q_2 = \frac{3+4}{2} = 3.5$
    • $Q_1 = 2$
    • $Q_3 = 4$
  • Mốt: không có

• Bác Thu:

  • Số trung bình: $$\bar{x}_T = \frac{1 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 20 + 2}{8} = \frac{36}{8} = 4.5$$
  • Tứ phân vị:
    • Sắp xếp: $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 20$
    • $Q_2 = \frac{2+3}{2} = 2.5$
    • $Q_1 = 1.5$
    • $Q_3 = 3$

b) $\bar{x}_T > \bar{x}_D$, bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn.

c) $Q_2$ của bác Thu $= 2.5$ nhỏ hơn $Q_2$ của bác Dũng $= 3.5$, bác Dũng có nhiều cuộc điện thoại hơn.

d) Nên dùng số trung vị để so sánh, vì số trung vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai (trường hợp bác Thu có 20 cuộc gọi).

Kết quả:

• a)
  • Bác Dũng: $\bar{x} = 3.5, Q_1 = 2, Q_2 = 3.5, Q_3 = 4$, không có mốt.
  • Bác Thu: $\bar{x} = 4.5, Q_1 = 1.5, Q_2 = 2.5, Q_3 = 3$, mốt $= 1, 2, 3$
• b) Bác Thu
• c) Bác Dũng
• d) Số trung vị.