Giải Toán 10 Tập 1 trang 128-131 - Chân trời sáng tạo

Trang 128 —

Bài 5. Bạn Châu cân lần lượt 50 quả vải thiều Thanh Hà được lựa chọn ngẫu nhiên từ vườn nhà mình và được kết quả như sau:

Cân nặng (đơn vị: gam)	Số quả
8	1
19	10
20	19
21	17
22	3

a) Hãy tìm số trung bình, trung vị, mốt của mẫu số liệu trên.

b) Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

a) Số trung bình:

• Tổng số gam của 50 quả vải: $8 \cdot 1 + 19 \cdot 10 + 20 \cdot 19 + 21 \cdot 17 + 22 \cdot 3 = 8 + 190 + 380 + 357 + 66 = 1001$
• Số trung bình: $\bar{x} = \frac{1001}{50} = 20.02$ gam

Trung vị:

• Dãy dữ liệu xếp theo thứ tự tăng dần: $8, 19, 19, ..., 22, 22, 22$
• Có 50 số liệu (chẵn), nên trung vị là: $\frac{20 + 20}{2} = 20$ gam

Mốt: $20$ (19 quả)

b) Độ lệch chuẩn:

• Phương sai: $$\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{49} \cdot [ (8-20.02)^2 + 10 \cdot (19-20.02)^2 + 19 \cdot (20-20.02)^2 + 17 \cdot (21-20.02)^2 + 3 \cdot (22-20.02)^2 ] \\ &= \frac{1}{49} \cdot [ (12.02)^2 + 10 \cdot (1.02)^2 + 19 \cdot (0.02)^2 + 17 \cdot (0.98)^2 + 3 \cdot (1.98)^2 ] \\ &= \frac{1}{49} \cdot [ 144.48 + 10.404 + 0.068 + 16.322 + 11.772 ] \\ &= \frac{183.026}{49} \\ &\approx 3.73 \end{aligned}$$
• Độ lệch chuẩn: $s \approx \sqrt{3.73} \approx 1.93$

Khoảng biến thiên: $22 - 8 = 14$

Khoảng tứ phân vị:

• Tứ phân vị: $Q_1 = 20, Q_3 = 21$
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 1$

Giá trị ngoại lệ: $> Q_3 + 1.5 \Delta_Q = 21 + 1.5 \cdot 1 = 22.5$

Kết quả: $\bar{x} = 20.02, M_0 = 20, M_e = 20, s \approx 1.93, \Delta_R = 14, \Delta_Q = 1$

Bài 6. Độ tuổi của 22 cầu thủ ở đội hình xuất phát của hai đội bóng đá được ghi lại ở bảng sau:

Đội A	Đội B
28	32
24	20
26	19
25	21
25	28
23	29
20	21
29	22
21	29
24	19
24	29

a) Hãy tìm số trung bình, mốt, độ lệch chuẩn và tứ phân vị của tuổi mỗi cầu thủ của từng đội bóng.

b) Tuổi của các cầu thủ ở đội bóng nào đồng đều hơn? Tại sao?

Lời giải:

a) Đội A:

• Số trung bình: $\bar{x}_A = \frac{28 + 24 + 26 + 25 + 25 + 23 + 20 + 29 + 21 + 24 + 24}{11} = \frac{269}{11} \approx 24.45$
• Mốt: $24, 25$
• Phương sai: $$\begin{aligned} s_A^2 &= \frac{1}{10} \cdot [ (28-24.45)^2 + (24-24.45)^2 + (26-24.45)^2 + (25-24.45)^2 + (25-24.45)^2 + (23-24.45)^2 + (20-24.45)^2 + (29-24.45)^2 + (21-24.45)^2 + (24-24.45)^2 + (24-24.45)^2 ] \\ &= \frac{1}{10} \cdot [ 3.55^2 + 0.45^2 + 1.55^2 + 0.55^2 + 0.55^2 + 1.45^2 + 4.45^2 + 4.55^2 + 3.45^2 + 0.45^2 + 0.45^2 ] \\ &= \frac{1}{10} \cdot [ 12.6025 + 0.2025 + 2.4025 + 0.3025 + 0.3025 + 2.1025 + 19.8025 + 20.7025 + 11.9025 + 0.2025 + 0.2025 ] \\ &= \frac{70.2225}{10} \\ &= 7.02225 \end{aligned}$$
• Độ lệch chuẩn: $s_A \approx \sqrt{7.02225} \approx 2.65$

Tứ phân vị: $Q_1 = 24, Q_2 = 25, Q_3 = 25.5$

Đội B:

• Số trung bình: $\bar{x}_B = \frac{32 + 20 + 19 + 21 + 28 + 29 + 21 + 22 + 29 + 19 + 29}{11} = \frac{250}{11} \approx 22.73$
• Mốt: $29$
• Phương sai: $$\begin{aligned} s_B^2 &= \frac{1}{10} \cdot [ (32-22.73)^2 + (20-22.73)^2 + (19-22.73)^2 + (21-22.73)^2 + (28-22.73)^2 + (29-22.73)^2 + (21-22.73)^2 + (22-22.73)^2 + (29-22.73)^2 + (19-22.73)^2 + (29-22.73)^2 ] \\ &= \frac{1}{10} \cdot [ 9.27^2 + 2.73^2 + 3.73^2 + 1.73^2 + 5.27^2 + 6.27^2 + 1.73^2 + 0.73^2 + 6.27^2 + 3.73^2 + 6.27^2 ] \\ &= \frac{1}{10} \cdot [ 85.9329 + 7.4529 + 13.9129 + 2.9929 + 27.7729 + 39.3129 + 2.9929 + 0.5329 + 39.3129 + 13.9129 + 39.3129 ] \\ &= \frac{1}{10} \cdot 273.1602 \\ &= 27.31602 \end{aligned}$$
• Độ lệch chuẩn: $s_B \approx \sqrt{27.31602} \approx 5.23$

Tứ phân vị: $Q_1 = 20, Q_2 = 22, Q_3 = 29$

b) Độ lệch chuẩn của đội A là $2.65$ nhỏ hơn đội B là $5.23$ nên tuổi của các cầu thủ ở đội A đồng đều hơn.

Kết quả: $\bar{x}_A = 24.45, \bar{x}_B = 22.73, s_A = 2.65, s_B = 5.23$

Bài 7. Một cửa hàng bán xe ô tô thay đổi chiến lược kinh doanh vào cuối năm 2019. Số xe cửa hàng bán được mỗi tháng trong năm 2019 và 2020 được ghi lại ở bảng sau:

Tháng	Năm 2019	Năm 2020
1	54	45
2	22	28
3	24	31
4	30	34
5	35	32
6	40	35
7	31	37
8	29	33
9	29	33
10	37	35
11	40	34
12	31	37

a) Hãy tính số trung bình, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của số lượng xe bán được trong năm 2019 và năm 2020.

b) Nếu nhận xét về tác động của chiến lược kinh doanh mới lên số lượng xe bán ra hằng tháng.

Lời giải:

a) Năm 2019:

• Số trung bình: $\bar{x}_{2019} = \frac{54 + 22 + 24 + 30 + 35 + 40 + 31 + 29 + 29 + 37 + 40 + 31}{12} = \frac{382}{12} \approx 31.83$
• Phương sai: $$\begin{aligned} s_{2019}^2 &= \frac{1}{11} \cdot [ (54-31.83)^2 + (22-31.83)^2 + (24-31.83)^2 + (30-31.83)^2 + (35-31.83)^2 + (40-31.83)^2 + (31-31.83)^2 + (29-31.83)^2 + (29-31.83)^2 + (37-31.83)^2 + (40-31.83)^2 + (31-31.83)^2 ] \\ &= \frac{1}{11} \cdot [ 22.17^2 + 9.83^2 + 7.83^2 + 1.83^2 + 3.17^2 + 8.17^2 + 0.83^2 + 2.83^2 + 2.83^2 + 5.17^2 + 8.17^2 + 0.83^2 ] \\ &= \frac{1}{11} \cdot [ 491.2689 + 96.6689 + 61.3289 + 3.3489 + 10.0689 + 66.7489 + 0.6889 + 8.0089 + 8.0089 + 26.7289 + 66.7489 + 0.6889 ] \\ &= \frac{1}{11} \cdot 839.7494 \\ &= 76.3404 \end{aligned}$$
• Độ lệch chuẩn: $s_{2019} \approx \sqrt{76.3404} \approx 8.74$

Tứ phân vị: $Q_1 = 29, Q_2 = 31, Q_3 = 35$

Năm 2020:

• Số trung bình: $\bar{x}_{2020} = \frac{45 + 28 + 31 + 34 + 32 + 35 + 37 + 33 + 33 + 35 + 34 + 37}{12} = \frac{387}{12} \approx 32.25$
• Phương sai: $$\begin{aligned} s_{2020}^2 &= \frac{1}{11} \cdot [ (45-32.25)^2 + (28-32.25)^2 + (31-32.25)^2 + (34-32.25)^2 + (32-32.25)^2 + (35-32.25)^2 + (37-32.25)^2 + (33-32.25)^2 + (33-32.25)^2 + (35-32.25)^2 + (34-32.25)^2 + (37-32.25)^2 ] \\ &= \frac{1}{11} \cdot [ 12.75^2 + 4.25^2 + 1.25^2 + 1.75^2 + 0.25^2 + 2.75^2 + 4.75^2 + 0.75^2 + 0.75^2 + 2.75^2 + 1.75^2 + 4.75^2 ] \\ &= \frac{1}{11} \cdot [ 162.5625 + 18.0625 + 1.5625 + 3.0625 + 0.0625 + 7.5625 + 22.5625 + 0.5625 + 0.5625 + 7.5625 + 3.0625 + 22.5625 ] \\ &= \frac{1}{11} \cdot 249.5 \\ &= 22.6818 \end{aligned}$$
• Độ lệch chuẩn: $s_{2020} \approx \sqrt{22.6818} \approx 4.76$

Tứ phân vị: $Q_1 = 33, Q_2 = 34, Q_3 = 35$

b) Độ lệch chuẩn của năm 2020 là $4.76$ nhỏ hơn năm 2019 là $8.74$ nên chiến lược kinh doanh mới giúp làm giảm sự biến động số lượng xe bán ra hàng tháng.

Kết quả: $\bar{x}_{2019} = 31.83, \bar{x}_{2020} = 32.25, s_{2019} = 8.74, s_{2020} = 4.76$

---

Trang 128 — Hoạt động thực hành và trải nghiệm

Bài 1. Dùng máy tính cầm tay để tính toán với số gần đúng và tính các số đặc trưng của mẫu số liệu thống kê

Lời giải:

Hoạt động 1. Sử dụng máy tính cầm tay để tính toán với các số gần đúng

1. Tìm hiểu cách cài đặt làm tròn số trên máy tính cầm tay

• Sau khi mở máy, ấn liên tiếp các phím $\text{SHIFT} \space \text{MENU}$ để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

• Ấn các phím $\boxed{3}$ để chọn mục Number Format (định dạng số).

• Ấn phím $\boxed{1}$ để chọn cài đặt làm tròn số thập phân (Fix).

• Sau đó, chọn số chữ số ở phần thập phân bằng cách ấn phím số tương ứng (chọn số từ $0$ đến $9$).

  • Ví dụ: Ấn phím $\boxed{5}$ để chọn làm tròn số đến số thập phân thứ $5$.

2. Thực hành

• Ví dụ: Tính giá trị của $\sqrt{2}$, làm tròn đến số thập phân thứ $5$.

  • Ấn liên tiếp các phím $\text{AC} \space \sqrt{2} \space \boxed{=}$, ta được kết quả làm tròn đến số thập phân thứ $5$ như trong hình bên.

  • Kết quả: $1.41421$

Kết quả: $1.41421$

---

Trang 130 — Thực hành sử dụng máy tính cầm tay để tính toán với số gần đúng

Bài tập:

Thực hiện các phép tính sau trên máy tính cầm tay (trong kết quả lấy 4 chữ số ở phần thập phân):

a) $4^6 \cdot \sqrt{0.1}$;

b) $\sqrt{2.1^8} + 1 - \sqrt{2.1^{12} + 1}$;

c) $\frac{1.5^3}{\sqrt[6]{8}}$.

Lời giải:

a) $4^6 \cdot \sqrt{0.1}$

Bước 1:

• Bật máy tính và chuyển sang chế độ tính toán thường.
• Nhập vào máy tính: 4^6 * sqrt(0.1)
• Tính toán: $4^6 = 4096$ và $\sqrt{0.1} \approx 0.3162$.
• Nhân hai giá trị: $4096 \cdot 0.3162 \approx 1295.0912$.

Bước 2:

• Làm tròn đến 4 chữ số ở phần thập phân: $1295.0912 \approx 1295.0912$.

Kết quả: $1295.0912$

b) $\sqrt{2.1^8} + 1 - \sqrt{2.1^{12} + 1}$

Bước 1:

• Nhập vào máy tính: sqrt(2.1^8) + 1 - sqrt(2.1^12 + 1)
• Tính toán:
  • $2.1^8 \approx 17.4354$,
  • $\sqrt{17.4354} \approx 4.1762$,
  • $2.1^{12} \approx 88.3823$,
  • $\sqrt{88.3823 + 1} \approx \sqrt{89.3823} \approx 9.4536$.

Bước 2:

• Tổng hợp phép tính: $4.1762 + 1 - 9.4536 \approx -4.2774$.

Kết quả: $-4.2774$

c) $\frac{1.5^3}{\sqrt[6]{8}}$

Bước 1:

• Nhập vào máy tính: (1.5^3) / (8^(1/6))
• Tính toán:
  • $1.5^3 = 3.375$,
  • $\sqrt[6]{8} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.4142$.

Bước 2:

• Phép chia: $\frac{3.375}{1.4142} \approx 2.3864$.

Kết quả: $2.3864$

Hoạt động 2: Sử dụng máy tính cầm tay để tính các số đặc trưng của mẫu số liệu thống kê

Dữ liệu:

Số thành viên	2	3	4	5	6	7
Số hộ gia đình	14	21	32	19	8	5

Hướng dẫn:

1. Bật chế độ bảng tần số

• Bật máy tính.
• Nhấn SHIFT MENU và phím di chuyển để chọn Statistics.
• Chọn 1:On để bật bảng tần số.

2. Chuyển máy tính sang chế độ thống kê và nhập dữ liệu thống kê

• Nhấn MENU 6 1 để chuyển sang chế độ thống kê.
• Nhập số thành viên vào cột $x$ và số hộ gia đình vào cột $Freq$.

Kết luận:

Trang này có bài tập cần giải.

---

Trang 131 —

Trang 131 — Tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và mức độ phân tán

Kết quả điều tra về số xe máy của mỗi hộ gia đình trong một khu phố được cho bởi bảng tần số sau:

Số xe máy	0	1	2	3	4	5
Số hộ gia đình	12	25	40	5	3	2

Lời giải:

1. Tính số trung bình

Số trung bình $\overline{x}$ được tính theo công thức:

$$\overline{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}$$

Trong đó:

• $x_i$: số xe máy
• $n_i$: số hộ gia đình

Dữ liệu:

• $0 \cdot 12 + 1 \cdot 25 + 2 \cdot 40 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 0 + 25 + 80 + 15 + 12 + 10 = 142$
• $12 + 25 + 40 + 5 + 3 + 2 = 87$

$$\overline{x} = \frac{142}{87} \approx 1,63$$

2. Tính phương sai mẫu $S^2$

Phương sai mẫu được tính theo công thức:

$$S^2 = \frac{\sum n_i \cdot (x_i - \overline{x})^2}{\sum n_i - 1}$$

Tính từng bước:

• $(0-1,63)^2 \cdot 12 + (1-1,63)^2 \cdot 25 + (2-1,63)^2 \cdot 40 + (3-1,63)^2 \cdot 5 + (4-1,63)^2 \cdot 3 + (5-1,63)^2 \cdot 2$
• $= (2,65) \cdot 12 + (0,39) \cdot 25 + (0,13) \cdot 40 + (1,87) \cdot 5 + (5,39) \cdot 3 + (11,39) \cdot 2$
• $= 31,8 + 9,75 + 5,2 + 9,35 + 16,17 + 22,78 = 95,05$

$$S^2 = \frac{95,05}{86} \approx 1,10$$

3. Tính độ lệch chuẩn $S$

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai:

$$S = \sqrt{S^2} = \sqrt{1,10} \approx 1,05$$

4. Tính phương sai hiệu chỉnh $\tilde{s}^2$

Phương sai hiệu chỉnh:

$$\tilde{s}^2 = \frac{\sum n_i \cdot (x_i - \overline{x})^2}{\sum n_i} = \frac{95,05}{87} \approx 1,09$$

5. Các giá trị khác

• Giá trị nhỏ nhất: $0$
• Giá trị lớn nhất: $5$
• Trung vị: vì $n = 87$ (chẵn), trung vị là giá trị thứ $\frac{87+1}{2} = 44$. Cộng dồn: $12 + 25 = 37$, thêm $40$ nữa thì vượt 44. Do đó, trung vị nằm trong nhóm có $2$ xe máy. Vậy trung vị $M_e = 2$.
• Tứ phân vị:
  • Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$: vị trí $\frac{87+1}{4} = 22$. Cộng dồn $12 + 25 = 37$, nên $Q_1 = 1$.
  • Tứ phân vị thứ ba $Q_3$: vị trí $3 \cdot 22 = 66$. Cộng dồn đến $12 + 25 + 40 = 77$, nên $Q_3 = 2$.

Kết quả:

• Số trung bình: $\overline{x} \approx 1,63$
• Phương sai: $S^2 \approx 1,10$
• Độ lệch chuẩn: $S \approx 1,05$
• Phương sai hiệu chỉnh: $\tilde{s}^2 \approx 1,09$
• Giá trị nhỏ nhất: $0$
• Giá trị lớn nhất: $5$
• Trung vị: $M_e = 2$
• Tứ phân vị thứ nhất: $Q_1 = 1$
• Tứ phân vị thứ ba: $Q_3 = 2$