Trang 17 — Bài 2. Tập hợp

Bài 1. a) Lấy ba ví dụ về tập hợp và chỉ ra một số phần tử của chúng.

Lời giải:

Tập hợp là một nhóm đối tượng xác định. Dưới đây là ba ví dụ về tập hợp và một số phần tử của chúng:

  1. Tập hợp các học sinh trong một lớp học.

    • Ví dụ: Tập hợp AA gồm các học sinh trong lớp 10A, một số phần tử của AA có thể là: Nguyễn Văn A, Trần Thị B.

  2. Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 1010.

    • Tập hợp này có thể kí hiệu là B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}. Một số phần tử của BB là 0,1,20, 1, 2.

  3. Tập hợp các chữ cái trong từ "Toán học".

    • Tập hợp này có thể kí hiệu là C={T,o^,a,n,h,o^,c}C = \{\text{T}, \hat{o}, \text{a}, \text{n}, \text{h}, \hat{o}, \text{c}\}. Một số phần tử của CC là T,o^,a\text{T}, \hat{o}, \text{a}.

Bài 1 (tiếp). b) Với mỗi tập hợp N,Z,Q,R\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, hãy sử dụng kí hiệu ∈\in và ∉\notin để chỉ ra hai phần tử thuộc, hai phần tử không thuộc tập hợp đó.

Lời giải:

Dưới đây là các tập hợp và hai phần tử thuộc, không thuộc mỗi tập hợp:

  1. Tập hợp N\mathbb{N} (các số tự nhiên):

    • Hai phần tử thuộc: 2∈N,5∈N2 \in \mathbb{N}, 5 \in \mathbb{N}.
    • Hai phần tử không thuộc: −1∉N,12∉N-1 \notin \mathbb{N}, \frac{1}{2} \notin \mathbb{N}.

  2. Tập hợp Z\mathbb{Z} (các số nguyên):

    • Hai phần tử thuộc: 3∈Z,−4∈Z3 \in \mathbb{Z}, -4 \in \mathbb{Z}.
    • Hai phần tử không thuộc: 12∉Z,2∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}, \sqrt{2} \notin \mathbb{Z}.

  3. Tập hợp Q\mathbb{Q} (các số hữu tỉ):

    • Hai phần tử thuộc: 12∈Q,−34∈Q\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}, -\frac{3}{4} \in \mathbb{Q}.
    • Hai phần tử không thuộc: 2∉Q,π∉Q\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}, \pi \notin \mathbb{Q}.

  4. Tập hợp R\mathbb{R} (các số thực):

    • Hai phần tử thuộc: 2∈R,−3∈R2 \in \mathbb{R}, -\sqrt{3} \in \mathbb{R}.
    • Hai phần tử không thuộc: Không có số thực nào không thuộc R\mathbb{R} vì mọi số thực đều thuộc R\mathbb{R}. Tuy nhiên, có thể lấy ví dụ các phần tử không thuộc R\mathbb{R} trong các tập hợp mở rộng như C\mathbb{C} (số phức): i∉R,−i∉Ri \notin \mathbb{R}, -i \notin \mathbb{R}.

Kết quả:

  • Tập hợp 1: Caˊc học sinh lớp 10A\text{Các học sinh lớp 10A}
  • Tập hợp 2: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
  • Tập hợp 3: {T,o^,a,n,h,o^,c}\{\text{T}, \hat{o}, \text{a}, \text{n}, \text{h}, \hat{o}, \text{c}\}

Trang 17 — Chương 1: Mệnh đề và tập hợp

Bài tập

1. Viết mỗi tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử:

a) Tập hợp AA các ước dương của 1818;

b) Tập hợp BB các nghiệm của phương trình x2+3x−4=0x^2 + 3x - 4 = 0;

c) Tập hợp CC các số tự nhiên lẻ;

d) Tập hợp DD các nghiệm của phương trình x+3y=1x + 3y = 1.

Lời giải:

a) Các ước dương của 1818 là: 1;2;3;6;9;181; 2; 3; 6; 9; 18.

Do đó A={1;2;3;6;9;18}A = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}.

b) Ta có: x2+3x−4=0⇔(x+4)(x−1)=0x^2 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow (x+4)(x-1)=0

⇔[x+4=0x−1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+4=0 \\ & x-1=0 \end{aligned} \right.

⇔[x=−4x=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-4 \\ & x=1 \end{aligned} \right.

Do đó B={−4;1}B = \{-4; 1\}.

c) Ta có thể viết dưới dạng liệt kê các phần tử:

C={1;3;5;7;...}C = \{1; 3; 5; 7; ...\}.

Ta cũng có thể viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:

C={x∈N ∣ x laˋ soˆˊ lẻ}C = \{x \in \mathbb{N} \,|\, x \text{ là số lẻ} \}

hoặc

C={x ∣ x=2n+1,n∈N}C = \{x \,|\, x = 2n + 1, n \in \mathbb{N} \}.

d) Ta viết D={(x;y) ∣ x,y∈R,x+3y=1}D = \{(x; y) \,|\, x, y \in \mathbb{R}, x + 3y = 1 \}.

Kết quả:

  • A={1;2;3;6;9;18}A = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}
  • B={−4;1}B = \{-4; 1\}
  • C={1;3;5;7;...}C = \{1; 3; 5; 7; ...\}
  • D={(x;y) ∣ x,y∈R,x+3y=1}D = \{(x; y) \,|\, x, y \in \mathbb{R}, x + 3y = 1 \}

Trang 19 — Tập hợp

Bài 1. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử và tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:

a) Tập hợp AA các ước của 2424;

b) Tập hợp BB gồm các chữ số trong số 11133051113305;

c) C={n∈N∣nC = \{n \in \mathbb{N} | n là bội của 55 và n≤30}n \le 30\};

d) D={x∈R∣x2−2x+3=0}D = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2x + 3 = 0\}.

Lời giải:

a) Các ước của 2424 là: 1,2,3,4,6,8,12,241, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Do đó A={1;2;3;4;6;8;12;24}A = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\} có 88 phần tử.

b) Các chữ số của số 11133051113305 là: 1,1,1,3,3,0,51, 1, 1, 3, 3, 0, 5.

Do đó B={0;1;3;5}B = \{0; 1; 3; 5\} có 44 phần tử.

c) Các bội của 55 và n≤30n \le 30 là: 0,5,10,15,20,25,300, 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Do đó C={0;5;10;15;20;25;30}C = \{0; 5; 10; 15; 20; 25; 30\} có 77 phần tử.

d) Ta có x2−2x+3=0x^2 - 2x + 3 = 0 có Δ=(−2)2−4⋅1⋅3=4−12=−8<0\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0.

Phương trình vô nghiệm.

Do đó D=∅D = \emptyset có 00 phần tử.

Kết quả:

  • A={1;2;3;4;6;8;12;24}A = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}, n(A)=8n(A) = 8
  • B={0;1;3;5}B = \{0; 1; 3; 5\}, n(B)=4n(B) = 4
  • C={0;5;10;15;20;25;30}C = \{0; 5; 10; 15; 20; 25; 30\}, n(C)=7n(C) = 7
  • D=∅D = \emptyset, n(D)=0n(D) = 0

Bài 2. Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử.

a) A={1;3;5;...;15}A = \{1; 3; 5; ...; 15\};

b) B={0;5;10;15;20;...}B = \{0; 5; 10; 15; 20; ...\};

c) Tập hợp CC các nghiệm của bất phương trình 2x+5>02x + 5 > 0.

Lời giải:

a) Tập hợp AA gồm các số tự nhiên lẻ từ 11 đến 1515.

Do đó A={n∈N∣nA = \{n \in \mathbb{N} | n là số lẻ và 1≤n≤15}1 \le n \le 15\}.

b) Tập hợp BB gồm các số tự nhiên là bội của 55.

Do đó B={n∈N∣nB = \{n \in \mathbb{N} | n là bội của 5}5\}.

c) Ta có 2x+5>0⇔x>−522x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{5}{2}.

Do đó C={x∈R∣x>−52}C = \{x \in \mathbb{R} | x > -\frac{5}{2}\}.

Kết quả:

  • A={n∈N∣nA = \{n \in \mathbb{N} | n là số lẻ và 1≤n≤15}1 \le n \le 15\}
  • B={n∈N∣nB = \{n \in \mathbb{N} | n là bội của 5}5\}
  • C={x∈R∣x>−52}C = \{x \in \mathbb{R} | x > -\frac{5}{2}\}

Trang 20 —

Bài tập

Bài 4.

Xét quan hệ bao hàm giữa mỗi cặp tập hợp sau. Chúng có bằng nhau không?

a) A={0;1;2;3;4}A=\{0; 1; 2; 3; 4\} và B={0;2;4}B=\{0; 2; 4\};

b) C={x∈R∣x2=4}C=\{x \in \mathbb{R} | x^2 = 4\} và D={x∈R∣x∣=2}D=\{x \in \mathbb{R} | x | = 2\};

c) EE là tập hợp các hình bình hành và FF là tập hợp các tứ giác có hai cặp cạnh đối song song;

d) G={x∈N∣x laˋ bội của 3}G=\{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của } 3\} và H={x∈N∣x laˋ bội của 6}H=\{x \in \mathbb{N} | x \text{ là bội của } 6\}.

Lời giải:

a) Ta thấy mỗi phần tử của BB đều là phần tử của AA, do đó B⊂AB \subset A. Có 1∈A1 \in A nhưng 1∉B1 \notin B, do đó A⊄BA \not\subset B. Vậy A≠BA \neq B.

b) Hai phương trình x2=4x^2 = 4 và ∣x∣=2|x| = 2 đều có hai nghiệm là x=2x = 2 và x=−2x = -2. Do đó, C=D={−2;2}C=D=\{-2; 2\}.

c) Ta biết rằng, một hình tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nó có hai cặp cạnh đối song song. Do đó, nếu x∈Ex \in E thì x∈Fx \in F và ngược lại. Bởi vậy, E=FE = F.

d) Giả sử x∈Hx \in H, tức xx là bội của 66. Khi đó có k∈Nk \in \mathbb{N} sao cho x=6k=3⋅2kx=6k=3 \cdot 2k. Suy ra xx cũng là bội của 33 hay x∈Gx \in G. Vậy H⊂GH \subset G. Mặt khác, có 3∈G3 \in G nhưng 3∉H3 \notin H. Do đó, G≠HG \neq H.

Kết quả:

  • B⊂AB \subset A nhưng A≠BA \neq B
  • C=DC = D
  • E=FE = F
  • H⊂GH \subset G nhưng G≠HG \neq H

Bài tập thêm

Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) A={−3;3}A=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\} và B={x∈R∣x2−3=0}B=\{x \in \mathbb{R} | x^2-3=0\};

b) CC là tập hợp các tam giác đều và DD là tập hợp các tam giác cân;

c) E={x∈N∣x laˋ ước của 12}E=\{x \in \mathbb{N} | x \text{ là ước của } 12\} và F={x∈N∣x laˋ ước của 24}F=\{x \in \mathbb{N} | x \text{ là ước của } 24\}.

Lời giải:

a) Ta có:

  • A={−3;3}A=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}
  • B={x∈R∣x2−3=0}={−3;3}B=\{x \in \mathbb{R} | x^2-3=0\} = \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}

Do đó, A=BA = B.

b) Ta biết rằng, một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó là tam giác cân và có một góc bằng 60∘60^\circ. Do đó, nếu x∈Cx \in C thì x∈Dx \in D và C⊂DC \subset D. Tuy nhiên, không phải mọi tam giác cân đều là tam giác đều. Do đó, C≠DC \neq D.

c) Ta có:

  • E={x∈N∣x laˋ ước của 12}={1;2;3;4;6;12}E=\{x \in \mathbb{N} | x \text{ là ước của } 12\} = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}
  • F={x∈N∣x laˋ ước của 24}={1;2;3;4;6;8;12;24}F=\{x \in \mathbb{N} | x \text{ là ước của } 24\} = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}

Do đó, E⊂FE \subset F nhưng E≠FE \neq F.

Kết quả:

  • A=BA = B
  • C⊂DC \subset D nhưng C≠DC \neq D
  • E⊂FE \subset F nhưng E≠FE \neq F