Giải Toán 10 Tập 1 trang 25-28 - Chân trời sáng tạo

Trang 25 —

Ví dụ 3

Cho $U=\{x \in \mathbb{N} | x < 10\}$, $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$, $B = \{3; 4; 5\}$.

Xác định các tập hợp sau đây:

a) $A\backslash B$, $B\backslash A$ và $(A\backslash B) \cap (B\backslash A)$;

b) $C_U(A \cap B)$ và $(C_U A) \cup (C_U B)$;

c) $C_U(A \cup B)$ và $(C_U A) \cap (C_U B)$.

Lời giải:

a) Ta có:

• $A\backslash B = \{0; 1; 2\}$
• $B\backslash A = \{5\}$
• $(A\backslash B) \cap (B\backslash A) = \varnothing$ (tập rỗng)

b) Ta có:

• $A \cap B = \{3; 4\}$
• $C_U(A \cap B) = \{0; 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9\}$
• $C_U A = \{5; 6; 7; 8; 9\}$
• $C_U B = \{0; 1; 2; 6; 7; 8; 9\}$
• $(C_U A) \cup (C_U B) = \{0; 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9\}$

c) Ta có:

• $A \cup B = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$
• $C_U(A \cup B) = \{6; 7; 8; 9\}$
• $(C_U A) \cap (C_U B) = \{6; 7; 8; 9\}$

Kết quả:

• $A\backslash B = \{0; 1; 2\}$, $B\backslash A = \{5\}$, $(A\backslash B) \cap (B\backslash A) = \varnothing$
• $C_U(A \cap B) = \{0; 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9\}$, $(C_U A) \cup (C_U B) = \{0; 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9\}$
• $C_U(A \cup B) = \{6; 7; 8; 9\}$, $(C_U A) \cap (C_U B) = \{6; 7; 8; 9\}$

Ví dụ 4

Xác định các tập hợp sau đây:

a) $A = [-2; 1) \cup (0; 3]$;

b) $B = (-\infty; 1] \cup (-2; 2)$;

c) $C = (-1; 4] \cap (-3; 2)$;

d) $D = (-3; 2) \backslash (1; 4)$;

e) $E = C_{\mathbb{R}} (-\infty; 2)$.

Lời giải:

a) Để xác định tập hợp $A$, ta biểu diễn các khoảng lên trục số:

Tập hợp $A$ gồm các phần tử thuộc $[-2; 1)$ hoặc $(0; 3]$.

Từ đó, ta có: $A = [-2; 3]$.

b) Để xác định tập hợp $B$, ta biểu diễn các khoảng lên trục số:

Tập hợp $B$ gồm các phần tử thuộc $(-\infty; 1]$ hoặc $(-2; 2)$.

Từ đó, ta có: $B = (-\infty; 2)$.

c) Để xác định tập hợp $C$, ta biểu diễn các khoảng lên trục số:

Tập hợp $C$ gồm các phần tử thuộc $(-1; 4]$ và $(-3; 2)$.

Từ đó, ta có: $C = (-1; 2)$.

d) Để xác định tập hợp $D$, ta biểu diễn các khoảng lên trục số:

Tập hợp $D$ gồm các phần tử thuộc $(-3; 2)$ nhưng không thuộc $(1; 4)$.

Từ đó, ta có: $D = (-3; 1]$.

e) Để xác định tập hợp $E$, ta biểu diễn các khoảng lên trục số:

Tập hợp $E$ gồm các phần tử không thuộc $(-\infty; 2)$.

Từ đó, ta có: $E = [2; +\infty)$.

Kết quả:

• $A = [-2; 3]$
• $B = (-\infty; 2)$
• $C = (-1; 2)$
• $D = (-3; 1]$
• $E = [2; +\infty)$

---

Trang 26 —

Trang này có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải không?

Trang này có các bài tập cần giải.

Bài 1. Xác định các tập hợp $A \cup B$ và $A \cap B$ với

a) $A = \{$đỏ; cam; vàng; lục; lam$\}, B = \{$lục; lam; chàm; tím$\}.$

Lời giải:

Tập hợp $A \cup B$ chứa tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$.

$$ A \cup B = {\text{đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}}. $$

Tập hợp $A \cap B$ chứa các phần tử chung của $A$ và $B$.

$$ A \cap B = {\text{lục; lam}}. $$

Kết quả: $A \cup B = \{\text{đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}\}, A \cap B = \{\text{lục; lam}\}.$

b) $A$ là tập hợp các tam giác đều, $B$ là tập hợp các tam giác cân.

Lời giải:

Mọi tam giác đều đều là tam giác cân.

Do đó, $A \subset B$.

$$ A \cup B = B $$

và

$$ A \cap B = A. $$

Kết quả: $A \cup B = B, A \cap B = A.$

Bài 2. Xác định tập hợp $A \cap B$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 2 = 0 \}, B = \{x \in \mathbb{R} | 2x - 1 < 0 \};$

Lời giải:

Giải phương trình $x^2 - 2 = 0$:

$$ x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}. $$

Do đó,

$$ A = {-\sqrt{2}; \sqrt{2}}. $$

Giải bất phương trình $2x - 1 < 0$:

$$ 2x < 1 \implies x < \frac{1}{2}. $$

Do đó,

$$ B = (-\infty; \frac{1}{2}). $$

Ta có: $-\sqrt{2} < \frac{1}{2}$ và $\sqrt{2} > \frac{1}{2}$.

$$ A \cap B = {-\sqrt{2}}. $$

Kết quả: $A \cap B = \{-\sqrt{2}\}.$

b) $A = \{(x, y) | x, y \in \mathbb{R}, y = 2x - 1 \}, B = \{(x, y) | x, y \in \mathbb{R}, y = -x + 5 \};$

Lời giải:

Tìm giao điểm của hai đường thẳng $y = 2x - 1$ và $y = -x + 5$:

$$ 2x - 1 = -x + 5 \implies 3x = 6 \implies x = 2. $$

Thay $x = 2$ vào một trong hai phương trình:

$$ y = 2 \cdot 2 - 1 = 3. $$

Do đó,

$$ A \cap B = {(2; 3)}. $$

Kết quả: $A \cap B = \{(2; 3)\}.$

c) $A$ là tập hợp các hình thoi, $B$ là tập hợp các hình chữ nhật.

Lời giải:

Tập hợp $A \cap B$ là tập hợp các hình vuông.

Kết quả: $A \cap B$ là tập hợp các hình vuông.

Bài 3. Cho $U = \{x \in \mathbb{N} | x < 10\}, A = \{x \in U | x$ là bội của $3\}, B = \{x \in U | x$ là ước của $6\}.$ Xác định các tập hợp $A \backslash B, B \backslash A, C_U A, C_U B, C_U (A \cup B), C_U (A \cap B).$

Lời giải:

$$ U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. $$

$$ A = {0; 3; 6; 9}, B = {1; 2; 3; 6}. $$

$$ A \backslash B = {0; 9}, B \backslash A = {1; 2}. $$

$$ C_U A = {1; 2; 4; 5; 7; 8}, C_U B = {0; 4; 5; 7; 8; 9}. $$

$$ A \cup B = {0; 1; 2; 3; 6; 9} \implies C_U (A \cup B) = {4; 5; 7; 8}. $$

$$ A \cap B = {3; 6} \implies C_U (A \cap B) = {0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 9}. $$

Kết quả:

• $A \backslash B = \{0; 9\}, B \backslash A = \{1; 2\}, C_U A = \{1; 2; 4; 5; 7; 8\}, C_U B = \{0; 4; 5; 7; 8; 9\}, C_U (A \cup B) = \{4; 5; 7; 8\}, C_U (A \cap B) = \{0; 1; 2; 4; 5; 7; 8; 9\}.$

Bài 4. Cho $A$ và $B$ là hai tập hợp bất kì. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.

a) $A$ và $A \cup B;$

Lời giải:

Theo định nghĩa, $A \cup B$ chứa tất cả các phần tử của $A$.

Do đó, $A \subset A \cup B$.

b) $A$ và $A \cap B.$

Lời giải:

$A \cap B$ chứa các phần tử chung của $A$ và $B$.

Do đó, $A \cap B \subset A$.

Bài 5. Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H:

a) có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?

Lời giải:

Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh là:

$$ 20 + 16 - 12 = 24. $$

Kết quả: 24.

b) có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?

Lời giải:

Số học sinh không thích cả hai môn này là:

$$ 35 - 24 = 11. $$

Kết quả: 11.

Bài 6. Xác định các tập hợp sau đây:

a) $(-\infty; 0] \cup [-\pi; \pi];$

Lời giải:

$$ (-\infty; 0] \cup [-\pi; \pi] = (-\infty; \pi]. $$

Kết quả: $(-\infty; \pi].$

b) $[-3,5; 2] \cap (-2; 3,5);$

Lời giải:

$$ [-3,5; 2] \cap (-2; 3,5) = [-2; 2]. $$

Kết quả: $[-2; 2].$

c) $(-\infty; \sqrt{2}] \cap [1; +\infty);$

Lời giải:

$$ (-\infty; \sqrt{2}] \cap [1; +\infty) = [1; \sqrt{2}]. $$

Kết quả: $[1; \sqrt{2}].$

d) $(-\infty; \sqrt{2}] \backslash [1; +\infty).$

Lời giải:

$$ (-\infty; \sqrt{2}] \backslash [1; +\infty) = (-\infty; 1). $$

Kết quả: $(-\infty; 1).$

---

Trang 27 — Cantor và lí thuyết tập hợp

Không có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ trên trang này.

SKIP

---

Trang 27 — Bài tập cuối chương I

Bài 1. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $\{a\} \in \{a; b; c; d\}$;

Lời giải:

Tập hợp $\{a; b; c; d\}$ có các phần tử là $a, b, c, d$.

Một tập hợp chứa các phần tử là các tập hợp, do đó $\{a\}$ là một phần tử của tập hợp $\{a; b; c; d\}$.

Kết quả: Đúng.

---

b) $\emptyset = \{0\}$;

Lời giải:

Tập $\emptyset$ là tập hợp không chứa phần tử nào, còn tập $\{0\}$ có một phần tử là $0$.

Do đó $\emptyset \ne \{0\}$.

Kết quả: Sai.

---

c) $\{a; b; c; d\} = \{b; a; d; c\}$;

Lời giải:

Hai tập hợp được cho là bằng nhau nếu chúng có cùng các phần tử.

Tập $\{a; b; c; d\}$ và $\{b; a; d; c\}$ có cùng các phần tử $a, b, c, d$.

Kết quả: Đúng.

---

d) $\{a; b; c\} \subset \{a; b; c\}$.

Lời giải:

Mọi phần tử của tập $\{a; b; c\}$ đều thuộc tập $\{a; b; c\}$.

Do đó $\{a; b; c\} \subset \{a; b; c\}$.

Kết quả: Đúng.

---

Bài 2. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) Nếu $2a - 1 > 0$ thì $a > 0$ ($a$ là số thực cho trước).

Lời giải:

Từ $2a - 1 > 0$, ta có $2a > 1$, suy ra $a > \frac{1}{2}$.

Do đó mệnh đề này đúng.

Kết quả: Đúng.

---

b) $a - 2 > b$ nếu và chỉ nếu $a > b + 2$ ($a, b$ là hai số thực cho trước).

Lời giải:

Hai bất đẳng thức $a - 2 > b$ và $a > b + 2$ là tương đương.

Do đó mệnh đề này đúng.

Kết quả: Đúng.

---

Bài 3. Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ", phát biểu lại các định lí sau:

a) Nếu $B \subset A$ thì $A \cup B = A$ ($A, B$ là hai tập hợp).

Lời giải:

• Điều kiện cần: $A \cup B = A$.
• Điều kiện đủ: $B \subset A$.

Phát biểu: "Điều kiện cần và đủ để $A \cup B = A$ là $B \subset A$."

---

b) Một hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau thì đó là hình thoi.

Lời giải:

• Điều kiện cần: Hình bình hành $ABCD$ là hình thoi.
• Điều kiện đủ: Hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc.

Phát biểu: "Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là hai đường chéo vuông góc."

---

Bài 4. Cho định lí:

"$\forall x \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{Z}$ nếu và chỉ nếu $x + 1 \in \mathbb{Z}$".

Phát biểu lại định lí này, sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ".

Lời giải:

• Điều kiện cần: $x \in \mathbb{Z}$.
• Điều kiện đủ: $x + 1 \in \mathbb{Z}$.

Phát biểu: "Điều kiện cần và đủ để $x \in \mathbb{Z}$ là $x + 1 \in \mathbb{Z}$".

---

Bài 5. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\forall x \in \mathbb{N}, x^3 > x$;

Lời giải:

Xét $x = 1$, ta có $1^3 = 1$ nên mệnh đề này sai.

Kết quả: Sai.

---

b) $\exists x \in \mathbb{Z}, x \notin \mathbb{N}$;

Lời giải:

Tồn tại $x = -1 \in \mathbb{Z}$ nhưng $-1 \notin \mathbb{N}$.

Kết quả: Đúng.

---

c) $\forall x \in \mathbb{R}$, nếu $x \in \mathbb{Z}$ thì $x \in \mathbb{Q}$.

Lời giải:

Mọi số nguyên $x$ đều là số hữu tỉ.

Do đó mệnh đề này đúng.

Kết quả: Đúng.

---

Bài 6. Xét quan hệ bao hàm giữa các tập hợp dưới đây:

• $A$ là tập hợp các hình tứ giác;
• $B$ là tập hợp các hình bình hành;
• $C$ là tập hợp các hình chữ nhật;
• $D$ là tập hợp các hình vuông;
• $E$ là tập hợp các hình thoi.

Lời giải:

• Mọi hình bình hành đều là hình tứ giác.
• Mọi hình chữ nhật đều là hình bình hành.
• Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật và hình thoi.

Do đó $D \subset C \subset B \subset A$ và $D \subset E \subset B \subset A$.

---

Bài 7.

a) Hãy viết tất cả các tập con của tập hợp $A = \{a; b; c\}$.

Lời giải:

Các tập con của $A$ là: $\emptyset; \{a\}; \{b\}; \{c\}; \{a; b\}; \{a; c\}; \{b; c\}; \{a; b; c\}$.

---

b) Tìm tất cả các tập hợp $B$ thỏa mãn điều kiện $\{a; b\} \subset B \subset \{a; b; c; d\}$.

Lời giải:

Các tập hợp $B$ là: $\{a; b\}; \{a; b; c\}; \{a; b; d\}; \{a; b; c; d\}$.

---

Bài 8. Cho $A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 5x - 6 = 0\}$,

$$ B = {x \in \mathbb{R} | x^2 = 1}. $$

Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \backslash B$, $B \backslash A$.

Lời giải:

• Giải phương trình $x^2 - 5x - 6 = 0$ ta được $A = \{-1; 6\}$.
• Giải phương trình $x^2 = 1$ ta được $B = \{-1; 1\}$.

Do đó:

• $A \cap B = \{-1\}$;
• $A \cup B = \{-1; 1; 6\}$;
• $A \backslash B = \{6\}$;
• $B \backslash A = \{1\}$.

---

Bài 9. Cho $A = \{x \in \mathbb{R} | 1 - 2x \le 0\}$,

$$ B = {x \in \mathbb{R} | x - 2 < 0}. $$

Tìm $A \cap B$, $A \cup B$.

Lời giải:

• Giải bất phương trình $1 - 2x \le 0$ ta được $A = [\frac{1}{2}; +\infty)$.
• Giải bất phương trình $x - 2 < 0$ ta được $B = (-\infty; 2)$.

Do đó:

• $A \cap B = [\frac{1}{2}; 2)$;
• $A \cup B = (-\infty; 2) \cup [\frac{1}{2}; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

---

Bài 10. Lớp $10C$ có $45$ học sinh, trong đó có $18$ học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ họa trên máy tính, $24$ học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường và $9$ học sinh không tham gia cả hai cuộc thi này. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp $10C$ tham gia đồng thời hai cuộc thi?

Lời giải:

Gọi $x$ là số học sinh tham gia cả hai cuộc thi.

Số học sinh tham gia ít nhất một cuộc thi là: $18 + 24 - x = 42 - x$.

Số học sinh không tham gia cuộc thi nào là: $45 - (42 - x) = 3 + x$.

Theo đề bài, $3 + x = 9$, suy ra $x = 6$.

Kết quả: $6$.