Bài 2. Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí carbon dioxide (CO₂) và 0,60 kg khí sulfur dioxide (SO₂); sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg CO₂ và 0,20 kg SO₂. Biết rằng quy định hạn chế sản lượng CO₂ của nhà máy tối đa là 75 kg và SO₂ tối đa là 90 kg mỗi ngày.
a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên.
b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
Lời giải:
a) Gọi x, y lần lượt là số thùng loại A và loại B sản xuất mỗi ngày (x≥0, y≥0).
Lượng CO₂ thải ra: 0,25x+0,50y≤75;
Lượng SO₂ thải ra: 0,60x+0,20y≤90.
Ta có hệ bất phương trình:
⎩⎨⎧0,25x+0,50y≤750,60x+0,20y≤90x≥0,y≥0
b) Thay x=100, y=80:
CO₂: 0,25⋅100+0,50⋅80=25+40=65≤75 ✓
SO₂: 0,60⋅100+0,20⋅80=60+16=76≤90 ✓
Cả hai điều kiện đều thỏa mãn, nên việc sản xuất này phù hợp với quy định.
c) Thay x=60, y=160:
CO₂: 0,25⋅60+0,50⋅160=15+80=95>75 ✗
Điều kiện về CO₂ không thỏa mãn, nên việc sản xuất này không phù hợp với quy định.
Bài 3. Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Lời giải:
Thời gian làm x đèn con cá là 2x giờ, làm y đèn ông sao là y giờ. Tổng thời gian không quá 10 giờ, số đèn không âm:
⎩⎨⎧2x+y≤10x≥0y≥0
Miền nghiệm là miền tam giác (kể cả biên) với các đỉnh O(0;0), (5;0) và (0;10).
(Chú ý thực tế: x, y còn phải là số nguyên vì đếm số đèn.)
Bài 4. Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.
Lời giải:
Gọi x, y lần lượt là số tấm thiệp loại nhỏ và loại lớn (x≥0, y≥0).
Số tiền thu được: F=10x+20y (nghìn đồng) — cần tìm giá trị lớn nhất.
Miền nghiệm là miền tam giác với các đỉnh A(12;0), B(15;0) và C(6;6).
Giao của x+y=12 với y=0: A(12;0);
Giao của 2x+3y=30 với y=0: B(15;0);
Giao của x+y=12 và 2x+3y=30: từ x=12−y suy ra 2(12−y)+3y=30⟺y=6, x=6, được C(6;6).
Tính F tại các đỉnh:
F(A)=10⋅12+20⋅0=120;
F(B)=10⋅15+20⋅0=150;
F(C)=10⋅6+20⋅6=180.
Vậy F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 nghìn đồng tại C(6;6): bạn ấy cần vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại lớn.
Bài 5. Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp:
a) Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất.
b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất.
Lời giải:
Gọi x là số giờ đạp xe, y là số giờ tập tạ trong một tuần (x≥0, y≥0).
a) Chi phí ít nhất: chi phí là T=50000y (nghìn đồng), chỉ phụ thuộc y. Do đó T nhỏ nhất khi y=0, tức Mạnh không tập tạ, chỉ đạp xe. Khi đó chi phí bằng 0 đồng.
Với y=0, để tiêu hao nhiều calo nhất thì x lớn nhất: từ x≤12 và x≤20 suy ra x=12.
b) Số calo tiêu hao nhiều nhất: cần tìm giá trị lớn nhất của F=350x+700y.
Miền nghiệm có các đỉnh: O(0;0), (12;0), (4;8) và (0;10).
Giao của x+y=12 và x+2y=20: trừ hai phương trình được y=8, suy ra x=4 — điểm (4;8);
Giao của x+2y=20 với x=0: (0;10).
Tính F tại các đỉnh:
F(O)=0;
F(12;0)=350⋅12=4200;
F(4;8)=350⋅4+700⋅8=1400+5600=7000;
F(0;10)=700⋅10=7000.
Giá trị lớn nhất là 7000 calo, đạt được tại (4;8) hoặc (0;10).
Vậy để tiêu hao nhiều calo nhất (7000 calo/tuần), Mạnh có thể đạp xe 4 giờ và tập tạ 8 giờ (chi phí 400000 đồng), hoặc chỉ tập tạ 10 giờ (chi phí 500000 đồng). Phương án (4;8) có chi phí thấp hơn.
Trang 39 — Bài tập cuối chương II
Bài 1. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:
a) −2x+y−1≤0; b) −x+2y>0; c) x−5y<2; d) −3x+y+2≤0; e) 3(x−1)+4(y−2)<5x−3.
Lời giải:
a) Vẽ đường thẳng −2x+y−1=0 (tức y=2x+1). Thay điểm O(0;0): −1≤0 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đó, chứa gốc O (kể cả bờ).
b) Vẽ đường thẳng −x+2y=0 (tức y=2x). Thay điểm (0;1): −0+2=2>0 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đó, chứa điểm (0;1), không kể bờ.
c) Vẽ đường thẳng x−5y=2. Thay O(0;0): 0<2 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa O, không kể bờ.
d) Vẽ đường thẳng −3x+y+2=0 (tức y=3x−2). Thay O(0;0): 2≤0sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứaO (kể cả bờ).
e) Rút gọn: 3x−3+4y−8<5x−3⟺−2x+4y−8<0⟺−x+2y−4<0.
Vẽ đường thẳng −x+2y−4=0. Thay O(0;0): −4<0 đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa O, không kể bờ.
Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình {x−2y>0x+3y<3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Lời giải:
Vẽ hai đường thẳng x−2y=0 và x+3y=3 (nét đứt vì bất phương trình nghiêm ngặt).
Chọn điểm thử (1;0): 1−0=1>0 ✓ và 1+0=1<3 ✓.
Vậy miền nghiệm là phần giao của hai nửa mặt phẳng, là miền chứa điểm (1;0), không kể hai đường biên.
Bài 3. Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B, chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra 1 kg sản phẩm cho trong bảng: nguyên liệu I dự trữ 8 kg (sản phẩm A cần 2, B cần 1); nguyên liệu II dự trữ 24 kg (A cần 4, B cần 4); nguyên liệu III dự trữ 8 kg (A cần 1, B cần 2). Mỗi kilôgam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi kilôgam loại B lãi 50 triệu đồng. Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất?
Lời giải:
Gọi x, y lần lượt là số kilôgam sản phẩm A và B (x≥0, y≥0). Ta có hệ ràng buộc:
⎩⎨⎧2x+y≤84x+4y≤24x+2y≤8x≥0,y≥0
(phương trình thứ hai rút gọn thành x+y≤6).
Tiền lãi: F=30x+50y (triệu đồng).
Các đỉnh của miền nghiệm:
O(0;0);
Giao 2x+y=8 với y=0: (4;0);
Giao 2x+y=8 và x+y=6: trừ được x=2, y=4 — điểm (2;4);
Giao x+y=6 và x+2y=8: trừ được y=2, x=4... kiểm tra (4;2) với 2x+y=10>8 nên loại (không thuộc miền);
Giao x+2y=8 với x=0: (0;4).
Kiểm tra (2;4): 2⋅2+4=8≤8 ✓; 2+4=6≤6 ✓; 2+8=10>8 ✗ — điểm này không thỏa mãn ràng buộc III.
Xác định lại các đỉnh: giao 2x+y=8 và x+2y=8: nhân phương trình đầu với 2 rồi trừ: 3x=8, x=38, y=38 — điểm (38;38) (kiểm tra x+y=316≈5,33≤6 ✓).
Các đỉnh của miền nghiệm: O(0;0), (4;0), (38;38), (0;4).
Tính F:
F(O)=0;
F(4;0)=120;
F(38;38)=30⋅38+50⋅38=80+3400≈213,3;
F(0;4)=200.
Vậy tiền lãi lớn nhất khoảng 213,3 triệu đồng khi sản xuất 38≈2,67 kg mỗi loại sản phẩm.
Bài 4. Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: tủ loại A chiếm 3 m² sàn, sức chứa 12 m³, giá 7,5 triệu đồng; tủ loại B chiếm 6 m² sàn, sức chứa 18 m³, giá 5 triệu đồng. Công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất 60 m² mặt bằng và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.
Lời giải:
Gọi x, y lần lượt là số tủ loại A và loại B (x≥0, y≥0). Ràng buộc:
Giao x+2y=20 và 1,5x+y=12: từ phương trình sau y=12−1,5x, thế vào: x+24−3x=20⟺x=2, y=9 — điểm (2;9);
Giao x+2y=20 với x=0: (0;10).
Tính F:
F(O)=0;
F(8;0)=96;
F(2;9)=24+162=186;
F(0;10)=180.
Vậy công ty nên mua 2 tủ loại A và 9 tủ loại B để có thể tích đựng hồ sơ lớn nhất là 186 m³ (chi phí 7,5⋅2+5⋅9=60 triệu đồng, diện tích 3⋅2+6⋅9=60 m² — vừa đủ).
Bài 5. Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với 1 kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng; để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng. Thăm dò thị hiếu cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.
Lời giải:
Gọi x, y lần lượt là số hũ tương loại A và loại B (x≥0, y≥0). Ràng buộc:
⎩⎨⎧10x+5y≤180x+0,25y≤15x≥3,5yx≥0,y≥0
Tiền lãi: F=200x+150y (nghìn đồng).
Các đỉnh miền nghiệm:
O(0;0);
Giao x+0,25y=15 với y=0: (15;0);
Giao 10x+5y=180 và x+0,25y=15: từ phương trình sau x=15−0,25y, thế vào: 150−2,5y+5y=180⟺2,5y=30⟺y=12, x=12 — điểm (12;12); nhưng kiểm tra x≥3,5y: 12≥42sai, nên loại;
Giao 10x+5y=180 và x=3,5y: 35y+5y=180⟺y=4,5, x=15,75; kiểm tra x+0,25y=15,75+1,125=16,875>15sai, loại;
Giao x+0,25y=15 và x=3,5y: 3,5y+0,25y=15⟺3,75y=15⟺y=4, x=14 — điểm (14;4); kiểm tra 10⋅14+5⋅4=160≤180 ✓.
Các đỉnh: O(0;0), (15;0), (14;4).
Tính F:
F(O)=0;
F(15;0)=3000;
F(14;4)=2800+600=3400.
Vậy nên làm 14 hũ loại A và 4 hũ loại B, tiền lãi lớn nhất là 3400 nghìn đồng =3,4 triệu đồng.
Bài 6. Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày, máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.
Lời giải:
Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm X và Y sản xuất mỗi ngày (x≥0, y≥0). Ràng buộc: