Giải Toán 10 Tập 1 trang 37-40 - Chân trời sáng tạo

Trang 37 — Bài tập

Bài tập.

Bài tập cần giải

Ví dụ 5: Một người dùng ba loại nguyên liệu $A$ , $B$ , $C$ để sản xuất ra hai loại sản phẩm $P$ và $Q$ . Để sản xuất $1 \text{ kg}$ mỗi loại sản phẩm $P$ hoặc $Q$ phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra $1 \text{ kg}$ sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

Loại nguyên liệu	Số kilôgam nguyên liệu đang có	Số kilôgam từng loại nguyên liệu cần để sản xuất $1 \text{ kg}$ sản phẩm $P$	$Q$
$A$	$10$	$2$	$2$
$B$	$4$	$0$	$2$
$C$	$12$	$2$	$4$

Lời giải:

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilôgam sản phẩm $P$ và $Q$ mà người đó sản xuất.

Từ bảng, ta có các điều kiện ràng buộc đối với $x$ , $y$ như sau:

Hiển nhiên $x \geq 0$ , $y \geq 0$ .
Số kilôgam nguyên liệu $A$ không vượt quá $10$ nên $2x + 2y \leq 10$ .
Số kilôgam nguyên liệu $B$ không vượt quá $4$ nên $2y \leq 4$ .
Số kilôgam nguyên liệu $C$ không vượt quá $12$ nên $2x + 4y \leq 12$ .

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:

\begin{cases} 2x + 2y \leq 10 \\ 2y \leq 4 \\ 2x + 4y \leq 12 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục tọa độ $Oxy$ , ta được miền tứ giác $OMNP$ .

Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là: $O(0; 0); M(0; 2); N(4; 2); P(6; 0)$ .

Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) người đó thu được, ta có: $F = 2x + 3y$ .

Ta phải tìm $x, y$ thỏa hệ bất phương trình sao cho $F$ đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 2x + 3y$ trên miền tứ giác $OMNP$ .

Tính các giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của đa giác, ta có:

Tại $O(0; 0)$ : $F = 2.0 + 3.0 = 0$ .
Tại $M(0; 2)$ : $F = 2.0 + 3.2 = 6$ .
Tại $N(4; 2)$ : $F = 2.4 + 3.2 = 14$ .
Tại $P(6; 0)$ : $F = 2.6 + 3.0 = 12$ .

$F$ đạt giá trị lớn nhất bằng $14$ tại $N(4; 2)$ .

Vậy để thu được nhiều tiền nhất, người đó cần sản xuất $4 \text{ kg}$ sản phẩm $P$ và $2 \text{ kg}$ sản phẩm $Q$ .

Kết quả: $4$ kg sản phẩm $P$ và $2$ kg sản phẩm $Q$ .

Trang 38 —

Bài 1.

a) $\left\{ \begin{aligned} & x + y - 3 \ge 0 \\ & x \ge 0 \\ & y \ge 0 \\ \end{aligned} \right.$

Lời giải:

Vẽ đường thẳng $d: x + y - 3 = 0$ đi qua điểm $A(3; 0)$ và $B(0; 3).$
Lấy điểm $O(0; 0) \in d.$ Ta có: $0 + 0 - 3 < 0.$
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x + y - 3 \ge 0$ là nửa mặt phẳng có bờ $d$ chứa điểm $A(3; 0)$ (miền không bị gạch).
Miền nghiệm của bất phương trình $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ (trục tung) nằm bên phải $Oy$ (miền không bị gạch).
Miền nghiệm của bất phương trình $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ (trục hoành) nằm trên $Ox$ (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x + y - 3 \ge 0 \\ & x \ge 0 \\ & y \ge 0 \\ \end{aligned} \right.$ là miền tam giác $OAB$ (miền không bị gạch).

Bài 1.

b) $\left\{ \begin{aligned} & x - 2y < 0 \\ & x + 3y > - 2 \\ & y - x < 3 \\ \end{aligned} \right.$

Lời giải:

Vẽ đường thẳng $d_1: x - 2y = 0$ đi qua điểm $A(0; 0)$ và $B(2; 1).$
Lấy điểm $(1; 1) \in d_1.$ Ta có: $1 - 2.1 < 0.$
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y < 0$ là nửa mặt phẳng có bờ $d_1$ chứa điểm $(1; 1)$ (miền không bị gạch).
Vẽ đường thẳng $d_2: x + 3y + 2 = 0$ đi qua điểm $C(-2; 0)$ và $D(1; -1).$
Lấy điểm $(1; 1) \in d_2.$ Ta có: $1 + 3.1 + 2 > 0.$
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y > - 2$ là nửa mặt phẳng có bờ $d_2$ chứa điểm $(1; 1)$ (miền không bị gạch).
Vẽ đường thẳng $d_3: y - x = 3$ đi qua điểm $E(0; 3)$ và $F( - 3; 0).$
Lấy điểm $(1; 1) \in d_3.$ Ta có: $1 - 1 - 3 < 0.$
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $y - x < 3$ là nửa mặt phẳng có bờ $d_3$ chứa điểm $(1; 1)$ (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x - 2y < 0 \\ & x + 3y > - 2 \\ & y - x < 3 \\ \end{aligned} \right.$ là miền tứ giác $OCD A$ (miền không bị gạch).

Bài 1.

c) $\left\{ \begin{aligned} & x \ge 1 \\ & x \le 4 \\ & x + y - 5 \le 0 \\ & y \ge 0 \\ \end{aligned} \right.$

Lời giải:

Miền nghiệm của bất phương trình $x \ge 1$ là nửa mặt phẳng bờ $d_1: x = 1$ nằm bên phải $d_1$ (miền không bị gạch).
Miền nghiệm của bất phương trình $x \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ $d_2: x = 4$ nằm bên trái $d_2$ (miền không bị gạch).
Vẽ đường thẳng $d_3: x + y - 5 = 0$ đi qua điểm $A(5; 0)$ và $B(0; 5).$
Lấy điểm $(1; 1) \in d_3.$ Ta có: $1 + 1 - 5 < 0.$
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x + y - 5 \le 0$ là nửa mặt phẳng có bờ $d_3$ chứa điểm $(1; 1)$ (miền không bị gạch).
Miền nghiệm của bất phương trình $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ (trục hoành) nằm trên $Ox$ (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x \ge 1 \\ & x \le 4 \\ & x + y - 5 \le 0 \\ & y \ge 0 \\ \end{aligned} \right.$ là miền tứ giác $ABCD$ (miền không bị gạch).

Trang 39 —

Bài 2. Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là $A$ và $B$ . Cứ sản xuất mỗi thùng loại $A$ thì nhà máy thải ra $0,25$ kg khí carbon dioxide $\left(\mathrm{CO}_2\right)$ và $0,60$ kg khí sulfur dioxide $\left(\mathrm{SO}_2\right)$ , sản xuất mỗi thùng loại $B$ thì thải ra $0,50$ kg $\mathrm{CO}_2$ và $0,20$ kg $\mathrm{SO}_2$ . Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng $\mathrm{CO}_2$ của nhà máy tối đa là $75$ kg và $\mathrm{SO}_2$ tối đa là $90$ kg mỗi ngày.

a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng toạ độ.

b) Việc nhà máy sản xuất $100$ thùng loại $A$ và $80$ thùng loại $B$ mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

c) Việc nhà máy sản xuất $60$ thùng loại $A$ và $160$ thùng loại $B$ mỗi ngày có phù hợp với quy định không?

Lời giải:

a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số thùng thuốc trừ sâu loại $A$ và loại $B$ mà nhà máy sản xuất mỗi ngày.

Số thùng loại $A$ và $B$ không âm nên ta có: $x \geq 0$ và $y \geq 0$ .
Cứ sản xuất mỗi thùng loại $A$ thì nhà máy thải ra $0,25$ kg khí $\mathrm{CO}_2$ , sản xuất mỗi thùng loại $B$ thì thải ra $0,50$ kg $\mathrm{CO}_2$ . Tổng lượng khí $\mathrm{CO}_2$ nhà máy thải ra trong một ngày không vượt quá $75$ kg nên ta có: $0,25x + 0,50y \leq 75$ .
Cứ sản xuất mỗi thùng loại $A$ thì nhà máy thải ra $0,60$ kg khí $\mathrm{SO}_2$ , sản xuất mỗi thùng loại $B$ thì thải ra $0,20$ kg $\mathrm{SO}_2$ . Tổng lượng khí $\mathrm{SO}_2$ nhà máy thải ra trong một ngày không vượt quá $90$ kg nên ta có: $0,60x + 0,20y \leq 90$ .

Từ các điều kiện trên, ta có hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế là:

\begin{aligned} &x \geq 0, \\ &y \geq 0, \\ &0,25x + 0,50y \leq 75, \\ &0,60x + 0,20y \leq 90. \end{aligned}

Ta có: $\begin{aligned} & 0,25x + 0,50y \leq 75 \iff x + 2y \leq 300 \ & 0,60x + 0,20y \leq 90 \iff 3x + y \leq 450. \end{aligned}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0),$ $A(0;150),$ $B(100;100)$ và $C(150;0).$

b) Ta có: $\begin{aligned} & x=100,, y=80 \ & \implies 100 + 2 \cdot 80 = 260 < 300 \ & 3 \cdot 100 + 80 = 380 > 450 \end{aligned}$

Do đó, điểm $(100;80)$ không nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy việc nhà máy sản xuất $100$ thùng loại $A$ và $80$ thùng loại $B$ mỗi ngày không phù hợp với quy định.

c) Ta có: $\begin{aligned} & x=60,, y=160 \ & \implies 60 + 2 \cdot 160 = 380 > 300 \ & 3 \cdot 60 + 160 = 340 < 450 \end{aligned}$

Do đó, điểm $(60;160)$ không nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy việc nhà máy sản xuất $60$ thùng loại $A$ và $160$ thùng loại $B$ mỗi ngày không phù hợp với quy định.

Kết quả:

Hệ bất phương trình:
$\begin{aligned} &x \geq 0, \\ &y \geq 0, \\ &0,25x + 0,50y \leq 75, \\ &0,60x + 0,20y \leq 90. \end{aligned}$
Miền nghiệm: Tứ giác $OABC$ với $O(0;0),$ $A(0;150),$ $B(100;100)$ và $C(150;0).$
b) Không phù hợp.
c) Không phù hợp.

Trang 39 — BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

Bài 1.

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ : $a) -2x + y - 1 \le 0$ ; $b) -x + 2y > 0$ ; $c)$ x - 5y < 2$; $d)$ -3x + y + 2 \le 0$; $e)$ 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3$.

Lời giải: a) Vẽ đường thẳng $\Delta: -2x + y - 1 = 0$

Ta có: $0 - 0 - 1 < 0$ nên điểm $(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $-2x + y - 1 \le 0$ .
Miền nghiệm của bất phương trình $-2x + y - 1 \le 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0; 0)$ và có bờ là đường thẳng $\Delta.$

b) Vẽ đường thẳng $\Delta: -x + 2y = 0$

Ta có: $0 + 2.0 = 0 > 0$ nên điểm $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $-x + 2y > 0$ .
Miền nghiệm của bất phương trình $-x + 2y > 0$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0; 0)$ và có bờ là đường thẳng $\Delta$ (không kể bờ).

c) Vẽ đường thẳng $\Delta: x - 5y - 2 = 0$

Ta có: $0 - 5.0 - 2 < 0$ nên điểm $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x - 5y < 2$ .
Miền nghiệm của bất phương trình $x - 5y < 2$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0; 0)$ và có bờ là đường thẳng $\Delta$ (không kể bờ).

d) Vẽ đường thẳng $\Delta: -3x + y + 2 = 0$

Ta có: $0 + 0 + 2 > 0$ nên điểm $(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $-3x + y + 2 \le 0$ .
Miền nghiệm của bất phương trình $-3x + y + 2 \le 0$ là nửa mặt phẳng không chứa điểm $(0; 0)$ và có bờ là đường thẳng $\Delta$ .

e) Ta có: $3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3 \iff -2x + 4y - 11 < 0 \iff -x + 2y - \frac{11}{2} < 0.$ Vẽ đường thẳng $\Delta: -x + 2y - \frac{11}{2} = 0.$

Ta có: $0 + 2.0 - \frac{11}{2} < 0$ nên điểm $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $-x + 2y - \frac{11}{2} < 0.$
Miền nghiệm của bất phương trình $3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0; 0)$ và có bờ là đường thẳng $\Delta$ (không kể bờ).

Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ : $\left\{\begin{matrix} x - 2y > 0 \\ x + 3y < 3 \end{matrix}\right.$

Lời giải: Vẽ đường thẳng $\Delta_1: x - 2y = 0$

Ta có: $0 - 2.0 = 0 > 0$ nên điểm $(0; 0)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y > 0.$
Miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y > 0$ là nửa mặt phẳng không chứa điểm $(0; 0)$ và có bờ là đường thẳng $\Delta_1$ (không kể bờ).

Vẽ đường thẳng $\Delta_2: x + 3y = 3$

Ta có: $0 + 3.0 = 0 < 3$ nên điểm $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y < 3.$
Miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y < 3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0; 0)$ và có bờ là đường thẳng $\Delta_2$ (không kể bờ).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix} x - 2y > 0 \\ x + 3y < 3 \end{matrix}\right.$ là giao của hai miền nghiệm trên.

Bài 3. Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm $A$ và $B.$ Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra $1$ kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Loại nguyên liệu	Số kilôgam nguyên liệu dự trữ	Số kilôgam nguyên liệu cần dùng sản xuất $1$ kg sản phẩm $A$ và $B$
I	$8$	$2$
II	$24$	$1$
III	$8$	$1$

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilôgam sản phẩm loại $A$ lãi $30$ triệu đồng, mỗi kilôgam sản phẩm loại $B$ lãi $50$ triệu đồng.

Lời giải: Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilôgam sản phẩm $A$ và $B$ mà công ty sản xuất.

Số kilôgam nguyên liệu I cần dùng để sản xuất $x \,\text{kg}$ sản phẩm $A$ và $y \,\text{kg}$ sản phẩm $B$ là: $2x + y.$
Số kilôgam nguyên liệu II cần dùng để sản xuất $x \,\text{kg}$ sản phẩm $A$ và $y \,\text{kg}$ sản phẩm $B$ là: $x + 4y.$
Số kilôgam nguyên liệu III cần dùng để sản xuất $x \,\text{kg}$ sản phẩm $A$ và $y \,\text{kg}$ sản phẩm $B$ là: $x + 2y.$

Do số kilôgam nguyên liệu dự trữ từng loại là $8, 24, 8$ nên ta có các bất phương trình sau:

$2x + y \le 8,$
$x + 4y \le 24,$
$x + 2y \le 8.$

Lại có $x \ge 0, y \ge 0.$

Số tiền lãi là: $30x + 50y = F(x; y).$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 30x + 50y$ với $x$ và $y$ thỏa mãn các điều kiện trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là ngũ giác $OABCD$ (kể cả các cạnh).

Tại $O(0; 0)$ : $F(0; 0) = 30.0 + 50.0 = 0.$
Tại $A(0; 2)$ : $F(0; 2) = 30.0 + 50.2 = 100.$
Tại $B(4; 2)$ : $F(4; 2) = 30.4 + 50.2 = 220.$
Tại $C(4; 0)$ : $F(4; 0) = 30.4 + 50.0 = 120.$
Tại $D(2; 0)$ : $F(2; 0) = 30.2 + 50.0 = 60.$

Giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 220.$

Vậy công ty đó nên sản xuất $4 \,\text{kg}$ sản phẩm $A$ và $2 \,\text{kg}$ sản phẩm $B$ để tiền lãi thu về lớn nhất.

Kết quả: $A = 4, B = 2$

Bài 4. Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại $A$ chiếm $3 \,\text{m}^3$ sàn, loại này có sức chứa $12 \,\text{m}^3$ và có giá $7,5$ triệu đồng; tủ loại $B$ chiếm $6 \,\text{m}^3$ sàn, loại này có sức chứa $18 \,\text{m}^3$ và có giá $5$ triệu. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là $60 \,\text{m}^2$ mặt bằng cho chỗ đặt tủ và ngân sách mua tủ không quá $60$ triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Lời giải: Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tủ loại $A$ và loại $B$ mà công ty mua.

Số mặt bằng cần dùng để đặt tủ loại $A$ và $B$ là: $3x + 6y.$
Số tiền cần dùng để mua tủ loại $A$ và $B$ là: $7,5x + 5y.$
Sức chứa của mỗi tủ loại $A$ và $B$ là: $12x + 18y.$

Do công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là $60 \,\text{m}^2$ mặt bằng cho chỗ đặt tủ và ngân sách mua tủ không quá $60$ triệu đồng nên ta có các bất phương trình sau:

$3x + 6y \le 60,$
$7,5x + 5y \le 60.$

Lại có $x \ge 0, y \ge 0.$

Thể tích đựng hồ sơ là: $F(x; y) = 12x + 18y.$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 12x + 18y$ với $x$ và $y$ thỏa mãn các điều kiện trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác $OABC$ (kể cả các cạnh).

Tại $O(0; 0)$ : $F(0; 0) = 12.0 + 18.0 = 0.$
Tại $A(8; 0)$ : $F(8; 0) = 12.8 + 18.0 = 96.$
Tại $B(4; 6)$ : $F(4; 6) = 12.4 + 18.6 = 156.$
Tại $C(0; 10)$ : $F(0; 10) = 12.0 + 18.10 = 180.$

Giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 180.$

Vậy công ty nên mua $0$ tủ loại $A$ và $10$ tủ loại $B$ để có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Kết quả: $A = 0, B = 10$

Bài 5. Một nông trại thu hoạch được $180 \,\text{kg}$ cà chua và $15 \,\text{kg}$ hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương loại $A$ cần $10 \,\text{kg}$ cà chua cùng với $1 \,\text{kg}$ hành tây và khi bán lãi được $200$ nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương loại $B$ cần $5 \,\text{kg}$ cà chua cùng với $0,25 \,\text{kg}$ hành tây và khi bán lãi được $150$ nghìn đồng. Thẩm đội thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại $A$ ít nhất gấp $3,5$ lần số hũ tương loại $B.$ Hẫy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Lời giải: Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số hũ tương loại $A$ và loại $B$ mà chủ nông trại sản xuất.

Số kilôgam cà chua cần dùng để sản xuất $x$ hũ tương loại $A$ và $y$ hũ tương loại $B$ là: $10x + 5y.$
Số kilôgam hành tây cần dùng để sản xuất $x$ hũ tương loại $A$ và $y$ hũ tương loại $B$ là: $x + 0,25y.$

Do nông trại thu hoạch được $180 \,\text{kg}$ cà chua và $15 \,\text{kg}$ hành tây nên ta có các bất phương trình sau:

$10x + 5y \le 180,$
$x + 0,25y \le 15.$

Lại có $x \ge 3,5y.$

Số tiền lãi là: $F(x; y) = 200x + 150y.$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 200x + 150y$ với $x$ và $y$ thỏa mãn các điều kiện trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác $OABC$ (kể cả các cạnh).

Tại $O(0; 0)$ : $F(0; 0) = 200.0 + 150.0 = 0.$
Tại $A(14; 4)$ : $F(14; 4) = 200.14 + 150.4 = 3400.$
Tại $B(16; 2)$ : $F(16; 2) = 200.16 + 150.2 = 3800.$
Tại $C(15; 0)$ : $F(15; 0) = 200.15 + 150.0 = 3000.$

Giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 3800.$

Vậy chủ nông trại nên sản xuất $16$ hũ tương loại $A$ và $2$ hũ tương loại $B$ để có được nhiều tiền lãi nhất.

Kết quả: $A = 16, B = 2$

Bài 6. Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng $A, B$ sản xuất hai loại sản phẩm $X, Y.$ Để sản xuất một tấn sản phẩm $X$ cần dùng máy $A$ trong $6$ giờ và dùng máy $B$ trong $2$ giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm $Y$ cần dùng máy $A$ trong $2$ giờ và dùng máy $B$ trong $2$ giờ. Cho biết mỗi máy $A$ không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy $A$ làm việc không quá $12$ giờ một ngày, máy $B$ làm việc không quá $8$ giờ một ngày. Một tấn sản phẩm $X$ lãi $10$ triệu đồng và một tấn sản phẩm $Y$ lãi $8$ triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Lời giải: Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn sản phẩm $X$ và $Y$ mà xưởng sản xuất.

Số giờ làm việc của máy $A$ để sản xuất $x$ tấn sản phẩm $X$ và $y$ tấn sản phẩm $Y$ là: $6x + 2y.$
Số giờ làm việc của máy $B$ để sản xuất $x$ tấn sản phẩm $X$ và $y$ tấn sản phẩm $Y$ là: $2x + 2y.$

Do mỗi máy $A$ không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm, máy $A$ làm việc không quá $12$ giờ một ngày, máy $B$ làm việc không quá $8$ giờ một ngày nên ta có các bất phương trình sau:

$6x \le 12,$
$2x + 2y \le 8,$
$x \ge 0, y \ge 0.$

Lại có $x$ và $y$ là số tấn sản phẩm nên $x \in \mathbb{Z^+}, y \in \mathbb{Z^+}.$

Số tiền lãi là: $F(x; y) = 10x + 8y.$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 10x + 8y$ với $x$ và $y$ thỏa mãn các điều kiện trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác $OABC$ (kể cả các cạnh).

Tại $O(0; 0)$ : $F(0; 0) = 10.0 + 8.0 = 0.$
Tại $A(2; 0)$ : $F(2; 0) = 10.2 + 8.0 = 20.$
Tại $B(1; 3)$ : $F(1; 3) = 10.1 + 8.3 = 34.$
Tại $C(0; 4)$ : $F(0; 4) = 10.0 + 8.4 = 32.$

Giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 34.$

Vậy xưởng sản xuất nên sản xuất $1$ tấn sản phẩm $X$ và $3$ tấn sản phẩm $Y$ để có được nhiều tiền lãi nhất.

Kết quả: $X = 1, Y = 3$