Trang 53 —

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải. Toàn bộ nội dung trên trang là lý thuyết.

SKIP

Trang 54 — Hàm số bậc hai

Bài 3. Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y=2x2−6x+11y = 2x^2 - 6x + 11. Hàm số này có thể đạt giá trị bằng −1-1 không? Tại sao?

Lời giải:

Hàm số y=2x2−6x+11y = 2x^2 - 6x + 11 có a=2>0a = 2 > 0 nên:

  • Khoảng đồng biến: (−∞;−(−6)2⋅2)=(−∞;32)\left(-\infty; \frac{-(-6)}{2\cdot 2}\right) = (-\infty; \frac{3}{2})
  • Khoảng nghịch biến: (32;+∞)\left(\frac{3}{2}; +\infty\right)

Đỉnh SS của parabol có tọa độ: xS=−(−6)2⋅2=32x_S = \frac{-(-6)}{2\cdot 2} = \frac{3}{2} $$ y_S = 2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 6\cdot \frac{3}{2} + 11 = 2\cdot \frac{9}{4} - 9 + 11 = \frac{9}{2} - 9 + 11 = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2}. $$

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 132\frac{13}{2} tại x=32x = \frac{3}{2}. Do đó, hàm số không thể đạt giá trị bằng −1-1 vì −1<132-1 < \frac{13}{2}.

Kết quả: Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;32)(-\infty; \frac{3}{2}), nghịch biến trên khoảng (32;+∞)(\frac{3}{2}; +\infty) và không thể đạt giá trị bằng −1-1.

Trang 55 — Ứng dụng của hàm số bậc hai

Bài toán ứng dụng

Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc 30∘30^\circ (so với mặt đất).

a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao 0,70,7 m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là 88 m/s (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).

b) Giả thiết như câu a) và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 44 m. Lần phát cầu này có bị xem là hỏng không? Tại sao?

(Thông tin bổ sung:

  • Mép trên của lưới cầu lông cách mặt đất 1,5241,524 m;
  • Gia tốc trọng trường được chọn là 9,89,8 m/s2^2.)

Lời giải:

Câu a

Phương trình quỹ đạo của cầu lông được cho bởi công thức:

y=−g⋅x22⋅v02⋅cos⁡2α+tan⁡(α)⋅x+y0y = \frac{-g \cdot x^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha} + \tan(\alpha) \cdot x + y_0

Với:

  • g=9,8g = 9,8 m/s2^2,
  • α=30∘\alpha = 30^\circ,
  • v0=8v_0 = 8 m/s,
  • y0=0,7y_0 = 0,7 m.

Thay các giá trị vào phương trình:

y=−9,8⋅x22⋅82⋅cos⁡230∘+tan⁡(30∘)⋅x+0,7y = \frac{-9,8 \cdot x^2}{2 \cdot 8^2 \cdot \cos^2 30^\circ} + \tan(30^\circ) \cdot x + 0,7

Tính toán:

  • cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},
  • tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}.

y=−9,8⋅x22⋅64⋅(32)2+13⋅x+0,7y = \frac{-9,8 \cdot x^2}{2 \cdot 64 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot x + 0,7

y=−9,8⋅x22⋅64⋅34+13⋅x+0,7y = \frac{-9,8 \cdot x^2}{2 \cdot 64 \cdot \frac{3}{4}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot x + 0,7

y=−9,8⋅x296+13⋅x+0,7y = \frac{-9,8 \cdot x^2}{96} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot x + 0,7

y=−9.896x2+13x+0.7y = -\frac{9.8}{96}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x + 0.7

y=−0.102083x2+0.57735x+0.7y = -0.102083x^2 + 0.57735x + 0.7

Cầu rơi chạm đất khi y=0y = 0:

0=−0.102083x2+0.57735x+0.70 = -0.102083x^2 + 0.57735x + 0.7

Giải phương trình bậc hai:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Với a=−0.102083a = -0.102083, b=0.57735b = 0.57735, c=0.7c = 0.7:

x=−0.57735±(0.57735)2−4(−0.102083)(0.7)2(−0.102083)x = \frac{-0.57735 \pm \sqrt{(0.57735)^2 - 4(-0.102083)(0.7)}}{2(-0.102083)}

x=−0.57735±0.3333+0.2859−0.204166x = \frac{-0.57735 \pm \sqrt{0.3333 + 0.2859}}{-0.204166}

x=−0.57735±0.6192−0.204166x = \frac{-0.57735 \pm \sqrt{0.6192}}{-0.204166}

x=−0.57735±0.7869−0.204166x = \frac{-0.57735 \pm 0.7869}{-0.204166}

Chọn nghiệm dương (khoảng cách):

x=−0.57735+0.7869−0.204166orx=−0.57735−0.7869−0.204166x = \frac{-0.57735 + 0.7869}{-0.204166} \quad \text{or} \quad x = \frac{-0.57735 - 0.7869}{-0.204166}

x≈0.20955−0.204166orx=−1.36425−0.204166x \approx \frac{0.20955}{-0.204166} \quad \text{or} \quad x = \frac{-1.36425}{-0.204166}

x≈−1.027orx≈6.68x \approx -1.027 \quad \text{or} \quad x \approx 6.68

Khoảng cách từ vị trí phát cầu đến vị trí cầu rơi chạm đất:

x≈6.68 m.x \approx 6.68 \text{ m}.

Kết quả: 6.686.68

Câu b

Kiểm tra xem cầu đi qua lưới hay không:

  • Mép trên của lưới cách mặt đất 1.5241.524 m.
  • Khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là 44 m.

Thay x=4x = 4 vào phương trình quỹ đạo:

y=−0.102083⋅42+0.57735⋅4+0.7y = -0.102083 \cdot 4^2 + 0.57735 \cdot 4 + 0.7

y=−0.102083⋅16+2.3094+0.7y = -0.102083 \cdot 16 + 2.3094 + 0.7

y=−1.6333+3.0094y = -1.6333 + 3.0094

y=1.3761 m.y = 1.3761 \text{ m}.

So sánh:

  • y=1.3761<1.524y = 1.3761 < 1.524 (mép trên của lưới).

Lần phát cầu này không bị xem là hỏng vì cầu bay thấp hơn mép trên của lưới.

Kết quả: Không hỏng.

Trang 55 —

Trang 56 —

Bài tập

a) Chọn hệ trục tọa độ như Hình 9 (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rơi mặt vợt thuộc trục tung).

Với g=9,8 m/s2g=9,8 \text{ m/s}^2, góc phát cầu α=30∘\alpha = 30^\circ, vận tốc ban đầu v0=8 m/sv_0 = 8 \text{ m/s}, phương trình quỹ đạo của cầu là:

y=−4.948x2+33x+0.7(x≥0).y=-\frac{4.9}{48}x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x+0.7 \quad (x \ge 0).

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình

−4.948x2+33x+0.7=0-\frac{4.9}{48}x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x+0.7=0

ta được x1≈−1.03x_1 \approx -1.03 và x2≈6.68x_2 \approx 6.68.

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 6.68 m6.68 \text{ m}.

b) Khi cầu bay tới vị trí lười phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.

Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.

Khi x=4x=4, ta có y=−4.948⋅42+33⋅4+0.7≈1.38y=-\frac{4.9}{48} \cdot 4^2+\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4+0.7 \approx 1.38. Suy ra y<1.524y<1.524.

Như vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm trên quỹ đạo của cầu thấp hơn mép trên của lưới.

Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên).

Kết quả: 6.68.