Giải Toán 10 Tập 1 trang 57-60 - Chân trời sáng tạo

Trang 57 — Chương 2: Hàm số bậc hai và đồ thị

Bài 1. Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) $y = 9x^2 + 5x + 4$ ;

b) $y = 3x^3 + 2x + 1$ ;

c) $y = -4(x + 2)^3 + 2(2x^3) + 5$ ;

d) $y = 5x^2 + \sqrt{x} + 2$ .

Lời giải:

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$ .

a) $y = 9x^2 + 5x + 4$ có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a = 9 \neq 0$ , $b = 5$ , $c = 4$ .
b) $y = 3x^3 + 2x + 1$ không phải là hàm số bậc hai vì có số mũ cao nhất của $x$ là 3.
c) $y = -4(x + 2)^3 + 2(2x^3) + 5$ không phải là hàm số bậc hai vì có số mũ cao nhất của $x$ là 3.
d) $y = 5x^2 + \sqrt{x} + 2$ không phải là hàm số bậc hai vì có số mũ phân số của $x$ .

Kết quả: a) Hàm số bậc hai.

Bài 2. Tìm điều kiện của $m$ để hàm số $y = f(x)$ là hàm số bậc hai.

a) $y = mx^4 + (m + 1)x^2 + 3$ ;

b) $y = (m - 2)x^3 + (m - 1)x^2 + 5$ .

Lời giải:

Hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$ .

a) $y = mx^4 + (m + 1)x^2 + 3$ có số mũ cao nhất của $x$ là 4. Để hàm số là bậc hai thì $m = 0$ .
b) $y = (m - 2)x^3 + (m - 1)x^2 + 5$ có số mũ cao nhất của $x$ là 3. Để hàm số là bậc hai thì $m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$ .

Kết quả: a) $m = 0$ ; b) $m = 2$ .

Bài 3. Lập bảng biến thiên của hàm số $y = x^2 + 2x + 3$ . Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Lời giải:

Hàm số $y = x^2 + 2x + 3$ có $a = 1 > 0$ nên parabol mở lên.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1$

$y_I = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2$

Bảng biến thiên:

$x$	$-\infty$	$-1$	$+\infty$
$y$	$+\infty$	$2$	$+\infty$

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ tại $x = -1$ .

Kết quả: Giá trị nhỏ nhất là $2$ .

Bài 4. Cho hàm số bậc hai $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ có $f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 5$ .

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số $a, b$ và $c$ .

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Lời giải:

a) Ta có:

$f(0) = 1 \Rightarrow c = 1$
$f(1) = 2 \Rightarrow a + b + 1 = 2 \Rightarrow a + b = 1$
$f(2) = 5 \Rightarrow 4a + 2b + 1 = 5 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2$

Giải hệ phương trình:

$a + b = 1$

$2a + b = 2$

$\Rightarrow a = 1, b = 0$

Vậy $a = 1, b = 0, c = 1$ .

b) Hàm số $y = x^2 + 1$ có $a = 1 > 0$ nên parabol mở lên.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = 0$

$y_I = 1$

Tập giá trị: $[1; +\infty)$

Khoảng biến thiên:

Đồng biến trên $(0; +\infty)$
Nghịch biến trên $(-\infty; 0)$

Kết quả: a) $a = 1, b = 0, c = 1$ ; b) Tập giá trị $[1; +\infty)$ , nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$ .

Bài 5. Cho hàm số $y = 2x^2 + x + m$ . Hãy xác định giá trị của $m$ để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Lời giải:

Hàm số $y = 2x^2 + x + m$ có $a = 2 > 0$ nên parabol mở lên.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = -\frac{1}{4}$

$y_I = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) + m = m - \frac{1}{8}$

Để giá trị nhỏ nhất bằng 5 thì $m - \frac{1}{8} = 5 \Rightarrow m = \frac{41}{8}$ .

Kết quả: $m = \frac{41}{8}$ .

Bài 6. Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = 2x^2 + 4x - 1$ ;

b) $y = -x^2 + 2x + 3$ ;

c) $y = -3x^2 + 6x$ ;

d) $y = 2x^2 - 5$ .

Lời giải:

a) Hàm số $y = 2x^2 + 4x - 1$ có $a = 2 > 0$ nên parabol mở lên.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = -1$

$y_I = -3$

b) Hàm số $y = -x^2 + 2x + 3$ có $a = -1 < 0$ nên parabol mở xuống.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = 1$

$y_I = 4$

c) Hàm số $y = -3x^2 + 6x$ có $a = -3 < 0$ nên parabol mở xuống.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = 1$

$y_I = 3$

d) Hàm số $y = 2x^2 - 5$ có $a = 2 > 0$ nên parabol mở lên.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = 0$

$y_I = -5$

Kết quả: Vẽ đồ thị theo các bước trên.

Bài 7. Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.

$(P_1): y = -2x^2 - 4x + 2$ ;

$(P_2): y = 3x^2 - 6x + 5$ ;

$(P_3): y = 4x^2 - 8x + 7$ ;

$(P_4): y = -3x^2 - 6x - 1$ .

Lời giải:

$(P_1)$ có $a = -2 < 0$ nên parabol mở xuống.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = -1$

$y_I = 4$

$(P_2)$ có $a = 3 > 0$ nên parabol mở lên.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = 1$

$y_I = 2$

$(P_3)$ có $a = 4 > 0$ nên parabol mở lên.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = 1$

$y_I = 3$

$(P_4)$ có $a = -3 < 0$ nên parabol mở xuống.

Tọa độ đỉnh $I$ của parabol là:

$x_I = -1$

$y_I = -2$

Quan sát đồ thị trên Hình 12:

Parabol $(P_1)$ : Màu đỏ, đỉnh $(-1; 4)$ .
Parabol $(P_2)$ : Màu xanh lá, đỉnh $(1; 2)$ .
Parabol $(P_3)$ : Màu xanh dương, đỉnh $(1; 3)$ .
Parabol $(P_4)$ : Màu cam, đỉnh $(-1; -2)$ .

Kết quả: Xác định đúng đồ thị theo các bước trên.

Trang 58 —

8. Tim công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Đề bài: Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Lời giải: Đồ thị hàm số bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ .

Từ đồ thị, ta thấy parabol có đỉnh là $(1,5; -6,25)$ và đi qua điểm $(4; -2)$ .

Do đó, ta có:

$x = 1,5 \Rightarrow y = -6,25$
$(1,5; -6,25)$ là đỉnh của parabol $\Rightarrow -\frac{b}{2a} = 1,5 \Rightarrow b = -3a$
Thay $(1,5; -6,25)$ vào hàm số: $-6,25 = a(1,5)^2 + b(1,5) + c$ $\Rightarrow 2,25a + 1,5b + c = -6,25$ $(1)$
Parabol đi qua điểm $(0; -2)$ $\Rightarrow c = -2$ $(2)$
Parabol đi qua điểm $(4; -2)$ $\Rightarrow 16a + 4b + c = -2$ $(3)$

Thay $(2)$ vào $(1)$ và $(3)$ ta có: $\begin{cases} 2,25a + 1,5b = -4,25 \\ 16a + 4b = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2,25a + 1,5b = -4,25 \\ 4a + b = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2,25a + 1,5(-4a) = -4,25 \\ b = -4a \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} 2,25a - 6a = -4,25 \\ b = -4a \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} -3,75a = -4,25 \\ b = -4a \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} a = \frac{17}{15} \\ b = -\frac{68}{15} \end{cases}$

Vậy công thức của hàm số là: $y = \frac{17}{15}x^2 - \frac{68}{15}x - 2$

9. Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Đề bài:

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp đọc ở hai mặt bên. Biết:

Dây dài nhất là $5 \space \text{m}$ , dây ngắn nhất là $0,8 \space \text{m}$ . Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.
Nhịp cầu dài $30 \space \text{m}$ .
Cần tính thêm $5 \%$ chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Lời giải: Số dây cáp được sử dụng là: $\frac{30}{5} + 1 = 7$ (sợi dây cáp).

Chiều dài các dây cáp không tính phần neo cố định là: $\frac{(5 + 0,8) \times 7}{2} = 20,3 \space \text{(m)}$

Chiều dài các dây cáp có tính thêm $5 \%$ để neo cố định là: $20,3 \times 105 \% = 21,315 \space \text{(m)}$

Kết quả: $21,315$

Trang 58 — Quỹ đạo parabol

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải. Toàn bộ nội dung là lý thuyết về quỹ đạo parabol.

Kết luận

SKIP

Trang 59 — Bài tập cuối chương III

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = 4x^2 - 1$

b) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

c) $y = 2 + \frac{1}{x}$

Lời giải:

a) Hàm số $y = 4x^2 - 1$ là hàm số bậc hai, xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ .

Tập xác định: $\mathbb{R}$

b) Hàm số $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ xác định khi $x^2 + 1 \neq 0$ , mà $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ .

Tập xác định: $\mathbb{R}$

c) Hàm số $y = 2 + \frac{1}{x}$ xác định khi $x \neq 0$ .

Tập xác định: $\mathbb{R} \backslash \{0\}$

Kết quả: $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R} \backslash \{0\}$

Bài 2. Tìm điều kiện của $m$ để mỗi hàm số sau đây là một hàm số bậc hai:

a) $y = (1 - 3m)x^2 + 3$

b) $y = (4m - 1)(x - 7)^2$

c) $y = 2(x^2 + 1) + 11 - m$

Lời giải:

a) Hàm số $y = (1 - 3m)x^2 + 3$ là hàm số bậc hai khi $1 - 3m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{3}$ .

b) Hàm số $y = (4m - 1)(x - 7)^2$ là hàm số bậc hai khi $4m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{4}$ .

c) Hàm số $y = 2(x^2 + 1) + 11 - m = 2x^2 + 13 - m$ là hàm số bậc hai với mọi $m$ .

Kết quả: $m \neq \frac{1}{3}$ , $m \neq \frac{1}{4}$ , $\forall m$

Bài 3. Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = x^2 - 4x + 3$

b) $y = -x^2 - 4x + 5$

c) $y = x^2 - 4x + 5$

d) $y = -x^2 - 2x - 1$

Lời giải:

a) Hàm số $y = x^2 - 4x + 3$

Toa độ đỉnh: $I(2; -1)$
Trục đối xứng: $x = 2$
Giao điểm với $Oy$ : $(0; 3)$
Giao điểm với $Ox$ : $(1; 0), (3; 0)$

b) Hàm số $y = -x^2 - 4x + 5$

Toa độ đỉnh: $I(-2; 9)$
Trục đối xứng: $x = -2$
Giao điểm với $Oy$ : $(0; 5)$
Giao điểm với $Ox$ : $(-2 - \sqrt{14}; 0), (-2 + \sqrt{14}; 0)$

c) Hàm số $y = x^2 - 4x + 5$

Toa độ đỉnh: $I(2; 1)$
Trục đối xứng: $x = 2$
Giao điểm với $Oy$ : $(0; 5)$
Giao điểm với $Ox$ : không có

d) Hàm số $y = -x^2 - 2x - 1$

Toa độ đỉnh: $I(-1; 0)$
Trục đối xứng: $x = -1$
Giao điểm với $Oy$ : $(0; -1)$
Giao điểm với $Ox$ : $(-1; 0)$

Kết quả: Vẽ đồ thị theo các bước trên

Bài 4. Một vận động viên chạy xe đạp trong 1 giờ đầu với vận tốc trung bình là $30$ phút đầu với vận tốc trung bình là $30$ km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ $15$ phút và tiếp tục đạp xe $2$ giờ liên với vận tốc $42$ km/h.

a) Hãy biểu thị quãng đường $s$ (tính bằng kilômét) mà người này đi được sau $t$ phút bằng một hàm số.

b) Vẽ đồ thị biểu diễn hàm số $s$ theo $t$ .

Lời giải:

a) Đổi $1$ giờ $= 60$ phút.

Trong $30$ phút đầu, người đó đi được: $s_1 = 30 \cdot \frac{30}{60} = 15$ km.
Trong $15$ phút nghỉ, người đó đi được: $s_2 = 15$ km.
Trong $2$ giờ tiếp theo, người đó đi được: $s_3 = 42 \cdot 2 = 84$ km.

Hàm số $s(t)$ :

Trong $30$ phút đầu: $s(t) = t$ km.
Trong $15$ phút tiếp theo: $s(t) = 15$ km.
Trong $2$ giờ tiếp theo: $s(t) = 15 + 42 \cdot \left(\frac{t}{60} - 0.75\right)$ km.

b) Vẽ đồ thị:

Trong $30$ phút đầu: đường thẳng đi qua $(0; 0), (30; 15)$ .
Trong $15$ phút tiếp theo: đường thẳng $y = 15$ .
Trong $2$ giờ tiếp theo: đường thẳng đi qua $(45; 15), (165; 99)$ .

Kết quả: $s(t) = ...$

Bài 5. Biết rằng hàm số $y = 2x^2 + mx + n$ giảm trên khoảng $(-\infty; 1)$ , tăng trên khoảng $(1; +\infty)$ và có tập giá trị là $[9; +\infty)$ .

Xác định giá trị của $m$ và $n$ .

Lời giải:

Hàm số $y = 2x^2 + mx + n$ có hệ số $a = 2 > 0$ , nên hàm số giảm trên $(-\infty; 1)$ , tăng trên $(1; +\infty)$ $\Rightarrow$ đỉnh parabol là $(1; 9)$ .

$\Rightarrow \begin{cases} -\frac{m}{2 \cdot 2} = 1 \ 2 \cdot 1^2 + m \cdot 1 + n = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = -4 \ n = 9 \end{cases}$

Kết quả: $m = -4$ , $n = 9$

Bài 6. Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm.

Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thả dây an toàn và nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước).

Lời giải:

[Không có yêu cầu giải toán]

Bài 7. Giả sử một máy bay cứu trợ đang bay theo phương ngang và bắt đầu thả hàng từ độ cao $80$ m, lúc đó máy bay đang bay với vận tốc $50$ m/s. Để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí nào? Biết rằng nếu chọn góc tọa độ của hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả, thì tọa độ của hàng cứu trợ được cho bởi hệ sau:

\begin{cases} x = v_0 t \\ y = h - \frac{1}{2} g t^2 \end{cases}

Trong đó, $v_0$ là vận tốc ban đầu và $h$ là độ cao tính từ khi hàng rời máy bay.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả.

Khi hàng cứu trợ chạm đất: $y = 0 \Rightarrow 0 = 80 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$ .

$\Rightarrow t = 4$ (giây).

$\Rightarrow x = 50 \cdot 4 = 200$ (m).

Kết quả: $200$ m