Trang 60 — Chương IV: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập, hoặc ví dụ cần giải. Toàn bộ nội dung trên trang là phần lý thuyết giới thiệu về chương.

Trang 61+62 — Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ

Không có bài tập trên trang 61.

Trang 62 có:

Bài 1. Làm thế nào để mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn cho các góc từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ ?

Lời giải:

  • Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, nửa đường tròn tâm OO bán kính R=1R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

  • Cho trước một góc nhọn α\alpha, lấy điểm MM trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α\widehat{xOM} =\alpha. Giả sử điểm MM có tọa độ (x0;y0)(x_0; y_0).

  • Áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

    • sin⁡α=y0;cos⁡α=x0;tan⁡α=y0x0;cot⁡α=x0y0\sin \alpha = y_0; \cos \alpha = x_0; \tan \alpha = \dfrac{y_0}{x_0} ; \cot \alpha = \dfrac{x_0}{y_0}

Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α\alpha bất kì với 0∘≤α≤180∘0^\circ \le \alpha \le 180^\circ, ta có định nghĩa sau đây:

Với mọi góc α(0∘≤α≤180∘)\alpha (0^\circ \le \alpha \le 180^\circ) ta xác định được một điểm MM duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α\widehat{xOM} =\alpha. Gọi (x0;y0)(x_0; y_0) là tọa độ điểm MM, ta có:

  • Tung độ y0y_0 của MM là sin⁡\sin của góc α\alpha, kí hiệu là sin⁡α=y0;\sin \alpha = y_0;
  • Hoành độ x0x_0 của MM là \cosin\cosin của góc α\alpha, kí hiệu là cos⁡α=x0;\cos \alpha = x_0;
  • Tỉ số y0x0(x0≠0)\dfrac{y_0}{x_0} (x_0 \ne 0) là tan⁡\tan của góc α\alpha, kí hiệu là tan⁡α=y0x0;\tan \alpha = \dfrac{y_0}{x_0};
  • Tỉ số x0y0(y0≠0)\dfrac{x_0}{y_0} (y_0 \ne 0) là cot⁡\cot của góc α\alpha, kí hiệu là cot⁡α=x0y0.\cot \alpha = \dfrac{x_0}{y_0}.

Các số sin⁡α,cos⁡α,tan⁡α,cot⁡α\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.\alpha.

Kết quả: Dựa trên định nghĩa mở rộng này, các em có thể vận dụng để tính toán các giá trị lượng giác cho các góc từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ.

Không có bài tập nào trên trang này cần giải chi tiết. Trang này chủ yếu trình bày lý thuyết về giá trị lượng giác của một góc từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ.

Trang 63 — Giá trị lượng giác của một góc từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ

Bài tập

  1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135∘135^\circ.

Lời giải:

Lấy điểm MM trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=135∘\widehat{xOM} = 135^\circ. Ta có MOy^=135∘−90∘=45∘\widehat{MOy} = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ.

Ta tính được tọa độ điểm MM là (−22;22)\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2} \right).

Vậy theo định nghĩa ta có:

sin⁡135∘=22;cos⁡135∘=−22;\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2};

tan⁡135∘=−1;cot⁡135∘=−1.\tan 135^\circ = -1; \cot 135^\circ = -1.

Kết quả: sin⁡135∘=22;cos⁡135∘=−22;tan⁡135∘=−1;cot⁡135∘=−1.\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}; \tan 135^\circ = -1; \cot 135^\circ = -1.

  1. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Từ lớp dưới ta đã biết hai góc phụ nhau thì các tỉ số lượng giác của chúng có mối liên hệ:

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α;cos⁡(90∘−α)=sin⁡α,\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha; \cos (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha,

tan⁡(90∘−α)=cot⁡α,cot⁡(90∘−α)=tan⁡α.\tan (90^\circ - \alpha) = \cot \alpha, \cot (90^\circ - \alpha) = \tan \alpha.

Sau đây ta sẽ tìm hiểu về mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NMNM song song với trục OxOx (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc xOM^\widehat{xOM} và xON^\widehat{xON}.

Lời giải:

Ta có NM∥OxNM \parallel Ox, OM=ONOM = ON nên NOM^=OMN^.\widehat{NOM} = \widehat{OMN}.

Mà OMN^+xNM^=90∘\widehat{OMN} + \widehat{xNM} = 90^\circ nên NOM^+xNM^=90∘.\widehat{NOM} + \widehat{xNM} = 90^\circ.

Do đó xON^=180∘−NOM^−xNM^=180∘−90∘=90∘.\widehat{xON} = 180^\circ - \widehat{NOM} - \widehat{xNM} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.

Vậy xON^+xOM^=180∘.\widehat{xON} + \widehat{xOM} = 180^\circ.

Kết quả: 180∘.180^\circ.

Trang 64 — Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 180180 độ

Bài tập:

  1. Tính các giá trị lượng giác: sin⁡120∘\sin 120^\circ, cos⁡150∘\cos 150^\circ, cot⁡135∘\cot 135^\circ.

Lời giải:

Tính sin⁡120∘\sin 120^\circ

Sử dụng công thức sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha, ta có:
sin⁡120∘=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡60∘=32\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Tính cos⁡150∘\cos 150^\circ

Sử dụng công thức cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha, ta có:
cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)=−cos⁡30∘=−32\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}.

Tính cot⁡135∘\cot 135^\circ

Sử dụng công thức cot⁡(180∘−α)=−cot⁡α\cot (180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha, ta có:
cot⁡135∘=cot⁡(180∘−45∘)=−cot⁡45∘=−1\cot 135^\circ = \cot (180^\circ - 45^\circ) = -\cot 45^\circ = -1.

Kết quả: sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡150∘=−32\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, cot⁡135∘=−1\cot 135^\circ = -1.

  1. Cho biết sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2}, tìm góc α\alpha (0∘≤α≤180∘)\left( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \right) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị.

Lời giải:

  • Vẽ nửa đường tròn đơn vị.
  • Xác định điểm MM trên nửa đường tròn sao cho sin⁡α=12\sin \alpha = \frac{1}{2}.
  • Góc α\alpha tương ứng với góc 30∘30^\circ và 150∘150^\circ.

Kết quả: α=30∘\alpha = 30^\circ hoặc α=150∘\alpha = 150^\circ.

  1. Tính:
  • A=sin⁡150∘+tan⁡135∘+cot⁡45∘A = \sin 150^\circ + \tan 135^\circ + \cot 45^\circ;
  • B=2cos⁡30∘−3tan⁡150∘+cot⁡135∘B = 2\cos 30^\circ - 3\tan 150^\circ + \cot 135^\circ.

Lời giải:

Tính AA

  • sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
  • tan⁡135∘=tan⁡(180∘−45∘)=−tan⁡45∘=−1\tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1.
  • cot⁡45∘=1\cot 45^\circ = 1.
A=12+(−1)+1=12.A = \frac{1}{2} + (-1) + 1 = \frac{1}{2}.

Tính BB

  • cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • tan⁡150∘=tan⁡(180∘−30∘)=−tan⁡30∘=−33\tan 150^\circ = \tan (180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}.
  • cot⁡135∘=−1\cot 135^\circ = -1.
B=2⋅32−3⋅(−33)+(−1)=3+3−1=23−1.\begin{aligned} B &= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) + (-1) \\ &= \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 \\ &= 2\sqrt{3} - 1. \end{aligned}

Kết quả: A=12A = \frac{1}{2}, B=23−1B = 2\sqrt{3} - 1.