Giải Toán 10 Tập 1 trang 72-75 - Chân trời sáng tạo

Trang 72 — Giải Toán 10

Bài tập. Tính diện tích tam giác $ABC$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh $b = 14, c = 35$ và $\widehat{A} = 60^\circ$

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác:

$$S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 35 \cdot \sin 60^\circ$$

Ta có $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra:

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 35 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{490\sqrt{3}}{4} \\ &= 122,5\sqrt{3} \\ &\approx 212,2 \, . \end{aligned}$$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$$R = \frac{a}{2\sin A} \, .$$

Ta cần tính cạnh $a$. Áp dụng định lý côsin, ta có:

$$\begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A \\ &= 14^2 + 35^2 - 2 \cdot 14 \cdot 35 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 196 + 1225 - 980 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 196 + 1225 - 490 \\ &= 931 \, , \\ \implies a &= \sqrt{931} \, . \end{aligned}$$

Suy ra:

$$\begin{aligned} R &= \frac{\sqrt{931}}{2\sin 60^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{931}}{\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{\frac{931}{3}} \\ &\approx 17,6 \, . \end{aligned}$$

Kết quả: $S \approx 212,2$ và $R \approx 17,6$.

b) Các cạnh $a = 4, b = 5, c = 3$

Lời giải:

Ta có $p = \frac{1}{2}(4 + 5 + 3) = 6$. Áp dụng công thức Heron, ta có:

$$\begin{aligned} S &= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ &= \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \, . \end{aligned}$$

Áp dụng công thức:

$$S = \frac{abc}{4R} \, ,$$

suy ra:

$$\begin{aligned} R &= \frac{abc}{4S} \\ &= \frac{4 \cdot 5 \cdot 3}{4 \cdot 6} \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \, . \end{aligned}$$

Kết quả: $S = 6$ và $R = 2,5$.

---

Trang 73 — Giải bài tập

Bài 1. Tính độ dài cạnh $x$ trong các tam giác sau:

a)

• Cạnh $x$ đối diện với góc $72^\circ$.
• Hai cạnh kề với góc $72^\circ$ là $6,5$ và $5$.

Lời giải: Áp dụng định lý Cosin:

$$x^2 = 6,5^2 + 5^2 - 2 \cdot 6,5 \cdot 5 \cdot \cos 72^\circ$$

Tính $\cos 72^\circ \approx 0,309$:

$$x^2 = 42,25 + 25 - 2 \cdot 6,5 \cdot 5 \cdot 0,309$$ $$x^2 = 67,25 - 20,085 = 47,165$$ $$x \approx \sqrt{47,165} \approx 6,87$$

Kết quả: $x \approx 6,87$.

b)

• Cạnh $x$ đối diện với góc $123^\circ$.
• Hai cạnh kề với góc $123^\circ$ là $\frac{1}{5}$ và $\frac{1}{3}$.

Lời giải: Áp dụng định lý Cosin:

$$x^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \cos 123^\circ$$

Tính $\cos 123^\circ \approx -0,602$:

$$x^2 = \frac{1}{25} + \frac{1}{9} - 2 \cdot \frac{1}{15} \cdot (-0,602)$$ $$x^2 = \frac{34}{225} + \frac{2 \cdot 0,602}{15}$$ $$x^2 = 0,1511 + 0,0803 = 0,2314$$ $$x \approx \sqrt{0,2314} \approx 0,481$$

Kết quả: $x \approx 0,481$.

Bài 2. Tính độ dài cạnh $c$ trong tam giác $ABC$ ở Hình 14.

• Cạnh $c$ đối diện với góc $35^\circ$.
• Hai cạnh kề với góc $35^\circ$ là $12$ và góc $105^\circ$.

Lời giải: Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{c}{\sin 35^\circ} = \frac{12}{\sin C}$$ $$\frac{c}{\sin 35^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ}$$

Tính $\sin 35^\circ \approx 0,5736$ và $\sin 40^\circ \approx 0,6428$:

$$c = \frac{12 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 40^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0,5736}{0,6428} \approx 10,71$$

Kết quả: $c \approx 10,71$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, biết cạnh $a = 152$, $B = 79^\circ$, $C = 61^\circ$. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Lời giải:

1. Tính góc $A$:

$$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 79^\circ - 61^\circ = 40^\circ$$

2. Tính cạnh $b$: Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$ $$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{152 \cdot \sin 79^\circ}{\sin 40^\circ}$$

Tính $\sin 79^\circ \approx 0,9816$ và $\sin 40^\circ \approx 0,6428$:

$$b \approx \frac{152 \cdot 0,9816}{0,6428} \approx 232,13$$

3. Tính cạnh $c$: Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$ $$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{152 \cdot \sin 61^\circ}{\sin 40^\circ}$$

Tính $\sin 61^\circ \approx 0,8746$:

$$c \approx \frac{152 \cdot 0,8746}{0,6428} \approx 206,82$$

4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$: Áp dụng công thức:

$$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{152}{2 \cdot \sin 40^\circ} \approx \frac{152}{2 \cdot 0,6428} \approx 118,29$$

Kết quả:

• $b \approx 232,13$
• $c \approx 206,82$
• $R \approx 118,29$

---

Trang 74 —

Bài 4. Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Lời giải: Tam giác có ba cạnh $500$ m, $800$ m và $700$ m.

Áp dụng định lý Cosin, ta có:

$$\begin{aligned} \cos A &= \frac{500^2 + 700^2 - 800^2}{2.500.700} = \frac{250000 + 490000 - 640000}{700000} = \frac{100000}{700000} = \frac{1}{7} \\ &\Rightarrow \widehat{A} = \arccos \frac{1}{7} \approx 81.79^\circ, \\ \cos B &= \frac{500^2 + 800^2 - 700^2}{2.500.800} = \frac{250000 + 640000 - 490000}{800000} = \frac{400000}{800000} = \frac{1}{2} \\ &\Rightarrow \widehat{B} = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ, \\ \widehat{C} & = 180^\circ - 81.79^\circ - 60^\circ = 38.21^\circ. \end{aligned}$$

Kết quả: $\widehat{A} \approx 81.79^\circ, \widehat{B} = 60^\circ, \widehat{C} \approx 38.21^\circ$

Bài 5. Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là $90$ cm và góc ở đỉnh là $35^\circ$.

Lời giải: Diện tích tam giác cân:

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 90 \cdot \sin 35^\circ \\ &= 4050 \sin 35^\circ \\ &\approx 4050 \cdot 0.5736 \\ &\approx 2324.16 \, \text{cm}^2. \end{aligned}$$

Kết quả: $2324.16 \, \text{cm}^2$

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6, AC = 8$ và $\widehat{A} = 60^\circ$.

a) Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải: Diện tích tam giác:

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 12\sqrt{3}. \end{aligned}$$

Kết quả: $12\sqrt{3}$

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính diện tích tam giác $IBC$.

Lời giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 12 \sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}.$$

Diện tích tam giác $IBC$:

$$\begin{aligned} S_{IBC} &= \frac{abc}{4R} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{4} \\ &= 12. \end{aligned}$$

Kết quả: $12$

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và độ dài ba cạnh $AB, BC, CA$ lần lượt là $15, 18, 27$.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải: Nửa chu vi:

$$p = \frac{15 + 18 + 27}{2} = 30.$$

Diện tích tam giác:

$$\begin{aligned} S &= \sqrt{30 \cdot 15 \cdot 12 \cdot 3} \\ &= \sqrt{16200} \\ &= 127.28. \end{aligned}$$

Bán kính đường tròn nội tiếp:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{127.28}{30} \approx 4.24.$$

Kết quả: $S \approx 127.28, r \approx 4.24$

b) Tính diện tích tam giác $GBC$.

Lời giải: Diện tích tam giác $GBC$:

$$S_{GBC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \approx \frac{1}{3} \cdot 127.28 \approx 42.43.$$

Kết quả: $42.43$

Bài 8. Cho $h_a$ là đường cao từ đỉnh $A, R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh hệ thức: $h_a = 2R\sin B \sin C$.

Lời giải: Ta có:

$$\begin{aligned} h_a &= b \sin C \\ &= 2R \sin B \sin C. \end{aligned}$$

Kết quả: $\text{Đúng}$

Bài 9. Cho tam giác $ABC$ có góc $B$ nhọn, $AD$ và $CE$ là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} = \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC}$.

Lời giải: Ta có:

$$\begin{aligned} \frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} &= \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot BE \sin \widehat{DBE}}{\frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \sin \widehat{ABC}} \\ &= \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC} \cdot \frac{\sin \widehat{DBE}}{\sin \widehat{ABC}} \\ &= \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC}. \end{aligned}$$

Kết quả: $\text{Đúng}$

b) Biết rằng $S_{ABC} = 9S_{BDE}$ và $DE = 2\sqrt{2}$. Tính $\cos B$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải: Từ câu a:

$$\begin{aligned} \frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} &= \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC} = \frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{BD}{BA} \cdot \frac{BE}{BC} &= \frac{1}{9}. \end{aligned}$$

Lại có:

$$\cos B = \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{3}.$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$$R = \frac{AC}{2 \sin B} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}} = \frac{9}{4}.$$

Kết quả: $\cos B = \frac{\sqrt{2}}{3}, R = \frac{9}{4}$

Bài 10. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các đường chéo $AC = x, BD = y$ và góc giữa $AC$ và $BD$ bằng $\alpha$. Gọi $S$ là diện tích của tứ giác $ABCD$.

a) Chứng minh $S = \frac{1}{2} xy \sin \alpha$.

Lời giải: Ta có:

$$\begin{aligned} S &= S_{ABC} + S_{ACD} \\ &= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \sin \alpha \\ &= \frac{1}{2} xy \sin \alpha. \end{aligned}$$

Kết quả: $\text{Đúng}$

b) Nêu kết quả trong trường hợp $AC \perp BD$.

Lời giải: Nếu $AC \perp BD$ thì $\alpha = 90^\circ$:

$$S = \frac{1}{2} xy.$$

Kết quả: $S = \frac{1}{2} xy$

---

Trang 75 — Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập.

Luyện tập

1. Giải tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:
   a) $AB = 85$, $AC = 95$ và $A = 40^\circ$.
   b) $AB = 15$, $AC = 25$ và $BC = 30$.

Lời giải:

Câu a) $AB = 85$, $AC = 95$ và $A = 40^\circ$

• Đặt $a = BC$, $b = AC = 95$, $c = AB = 85$, $A = 40^\circ$.

• Áp dụng định lý cosin:
  $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$ $$a^2 = 95^2 + 85^2 - 2 \cdot 95 \cdot 85 \cdot \cos 40^\circ$$ $$a^2 = 9025 + 7225 - 16100 \cdot 0.766$$ $$a^2 = 16250 - 12335.6$$ $$a^2 = 3914.4$$ $$a = \sqrt{3914.4} \approx 62.6$$

• Áp dụng hệ quả định lý cosin:
  $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos B = \frac{62.6^2 + 85^2 - 95^2}{2 \cdot 62.6 \cdot 85}$$ $$\cos B = \frac{3917.7 + 7225 - 9025}{10642}$$ $$\cos B = \frac{2117.7}{10642}$$ $$\cos B \approx 0.199$$ $$B \approx \arccos(0.199) \approx 78.5^\circ$$

• Ta có:
  $$C = 180^\circ - A - B$$ $$C = 180^\circ - 40^\circ - 78.5^\circ$$ $$C \approx 61.5^\circ$$

Kết quả: $a \approx 62.6$, $B \approx 78.5^\circ$, $C \approx 61.5^\circ$.

Câu b) $AB = 15$, $AC = 25$ và $BC = 30$.

• Đặt $a = BC = 30$, $b = AC = 25$, $c = AB = 15$.

• Áp dụng hệ quả định lý cosin:
  $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos A = \frac{25^2 + 15^2 - 30^2}{2 \cdot 25 \cdot 15}$$ $$\cos A = \frac{625 + 225 - 900}{750}$$ $$\cos A = \frac{-50}{750} = -\frac{1}{15}$$ $$A = \arccos\left(-\frac{1}{15}\right) \approx 93.8^\circ$$

• Áp dụng định lý sin:
  $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$ $$\sin B = \frac{b \sin A}{a}$$ $$\sin B = \frac{25 \sin 93.8^\circ}{30}$$ $$\sin B \approx \frac{25 \cdot 0.992}{30} \approx 0.827$$ $$B \approx \arcsin(0.827) \approx 55.8^\circ$$

• Ta có:
  $$C = 180^\circ - A - B$$ $$C = 180^\circ - 93.8^\circ - 55.8^\circ$$ $$C \approx 30.4^\circ$$

Kết quả: $A \approx 93.8^\circ$, $B \approx 55.8^\circ$, $C \approx 30.4^\circ$.