Trang 72 — Giải Toán 10

Bài tập. Tính diện tích tam giác ABCABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b=14,c=35b = 14, c = 35 và A^=60∘\widehat{A} = 60^\circ

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác:

S=12bcsin⁡A=12⋅14⋅35⋅sin⁡60∘S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 35 \cdot \sin 60^\circ

Ta có sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, suy ra:

S=12⋅14⋅35⋅32=49034=122,53≈212,2 .\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 35 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{490\sqrt{3}}{4} \\ &= 122,5\sqrt{3} \\ &\approx 212,2 \, . \end{aligned}

Áp dụng định lý sin, ta có:

R=a2sin⁡A .R = \frac{a}{2\sin A} \, .

Ta cần tính cạnh aa. Áp dụng định lý côsin, ta có:

a2=b2+c2−2bccos⁡A=142+352−2⋅14⋅35⋅cos⁡60∘=196+1225−980⋅12=196+1225−490=931 ,  ⟹  a=931 .\begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A \\ &= 14^2 + 35^2 - 2 \cdot 14 \cdot 35 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 196 + 1225 - 980 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 196 + 1225 - 490 \\ &= 931 \, , \\ \implies a &= \sqrt{931} \, . \end{aligned}

Suy ra:

R=9312sin⁡60∘=9313=9313≈17,6 .\begin{aligned} R &= \frac{\sqrt{931}}{2\sin 60^\circ} \\ &= \frac{\sqrt{931}}{\sqrt{3}} \\ &= \sqrt{\frac{931}{3}} \\ &\approx 17,6 \, . \end{aligned}

Kết quả: S≈212,2S \approx 212,2 và R≈17,6R \approx 17,6.

b) Các cạnh a=4,b=5,c=3a = 4, b = 5, c = 3

Lời giải:

Ta có p=12(4+5+3)=6p = \frac{1}{2}(4 + 5 + 3) = 6. Áp dụng công thức Heron, ta có:

S=p(p−a)(p−b)(p−c)=6⋅2⋅1⋅3=36=6 .\begin{aligned} S &= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ &= \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6 \, . \end{aligned}

Áp dụng công thức:

S=abc4R ,S = \frac{abc}{4R} \, ,

suy ra:

R=abc4S=4⋅5⋅34⋅6=52=2,5 .\begin{aligned} R &= \frac{abc}{4S} \\ &= \frac{4 \cdot 5 \cdot 3}{4 \cdot 6} \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \, . \end{aligned}

Kết quả: S=6S = 6 và R=2,5R = 2,5.

Trang 73 — Giải bài tập

Bài 1. Tính độ dài cạnh xx trong các tam giác sau:

a)

  • Cạnh xx đối diện với góc 72∘72^\circ.
  • Hai cạnh kề với góc 72∘72^\circ là 6,56,5 và 55.

Lời giải: Áp dụng định lý Cosin: $$ x^2 = 6,5^2 + 5^2 - 2 \cdot 6,5 \cdot 5 \cdot \cos 72^\circ $$

Tính cos⁡72∘≈0,309\cos 72^\circ \approx 0,309: $$ x^2 = 42,25 + 25 - 2 \cdot 6,5 \cdot 5 \cdot 0,309 $$ $$ x^2 = 67,25 - 20,085 = 47,165 $$ $$ x \approx \sqrt{47,165} \approx 6,87 $$

Kết quả: x≈6,87x \approx 6,87.

b)

  • Cạnh xx đối diện với góc 123∘123^\circ.
  • Hai cạnh kề với góc 123∘123^\circ là 15\frac{1}{5} và 13\frac{1}{3}.

Lời giải: Áp dụng định lý Cosin: $$ x^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \cos 123^\circ $$

Tính cos⁡123∘≈−0,602\cos 123^\circ \approx -0,602: $$ x^2 = \frac{1}{25} + \frac{1}{9} - 2 \cdot \frac{1}{15} \cdot (-0,602) $$ $$ x^2 = \frac{34}{225} + \frac{2 \cdot 0,602}{15} $$ $$ x^2 = 0,1511 + 0,0803 = 0,2314 $$ $$ x \approx \sqrt{0,2314} \approx 0,481 $$

Kết quả: x≈0,481x \approx 0,481.

Bài 2. Tính độ dài cạnh cc trong tam giác ABCABC ở Hình 14.

  • Cạnh cc đối diện với góc 35∘35^\circ.
  • Hai cạnh kề với góc 35∘35^\circ là 1212 và góc 105∘105^\circ.

Lời giải: Áp dụng định lý Sin: $$ \frac{c}{\sin 35^\circ} = \frac{12}{\sin C} $$ $$ \frac{c}{\sin 35^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ} $$ Tính sin⁡35∘≈0,5736\sin 35^\circ \approx 0,5736 và sin⁡40∘≈0,6428\sin 40^\circ \approx 0,6428: $$ c = \frac{12 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 40^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0,5736}{0,6428} \approx 10,71 $$

Kết quả: c≈10,71c \approx 10,71.

Bài 3. Cho tam giác ABCABC, biết cạnh a=152a = 152, B=79∘B = 79^\circ, C=61∘C = 61^\circ. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Lời giải:

  1. Tính góc AA:

    A=180∘−B−C=180∘−79∘−61∘=40∘A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 79^\circ - 61^\circ = 40^\circ

  2. Tính cạnh bb: Áp dụng định lý Sin:

    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} b=a⋅sin⁡Bsin⁡A=152⋅sin⁡79∘sin⁡40∘b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{152 \cdot \sin 79^\circ}{\sin 40^\circ}

    Tính sin⁡79∘≈0,9816\sin 79^\circ \approx 0,9816 và sin⁡40∘≈0,6428\sin 40^\circ \approx 0,6428:

    b≈152⋅0,98160,6428≈232,13b \approx \frac{152 \cdot 0,9816}{0,6428} \approx 232,13

  3. Tính cạnh cc: Áp dụng định lý Sin:

    asin⁡A=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} c=a⋅sin⁡Csin⁡A=152⋅sin⁡61∘sin⁡40∘c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{152 \cdot \sin 61^\circ}{\sin 40^\circ}

    Tính sin⁡61∘≈0,8746\sin 61^\circ \approx 0,8746:

    c≈152⋅0,87460,6428≈206,82c \approx \frac{152 \cdot 0,8746}{0,6428} \approx 206,82

  4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp RR: Áp dụng công thức:

    R=a2sin⁡A=1522⋅sin⁡40∘≈1522⋅0,6428≈118,29R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{152}{2 \cdot \sin 40^\circ} \approx \frac{152}{2 \cdot 0,6428} \approx 118,29

Kết quả:

  • b≈232,13b \approx 232,13
  • c≈206,82c \approx 206,82
  • R≈118,29R \approx 118,29

Trang 74 —

Bài 4. Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Lời giải: Tam giác có ba cạnh 500500 m, 800800 m và 700700 m.

Áp dụng định lý Cosin, ta có: $$ \begin{aligned} \cos A &= \frac{500^2 + 700^2 - 800^2}{2.500.700} = \frac{250000 + 490000 - 640000}{700000} = \frac{100000}{700000} = \frac{1}{7} \ &\Rightarrow \widehat{A} = \arccos \frac{1}{7} \approx 81.79^\circ, \ \cos B &= \frac{500^2 + 800^2 - 700^2}{2.500.800} = \frac{250000 + 640000 - 490000}{800000} = \frac{400000}{800000} = \frac{1}{2} \ &\Rightarrow \widehat{B} = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ, \ \widehat{C} & = 180^\circ - 81.79^\circ - 60^\circ = 38.21^\circ. \end{aligned} $$

Kết quả: A^≈81.79∘,B^=60∘,C^≈38.21∘\widehat{A} \approx 81.79^\circ, \widehat{B} = 60^\circ, \widehat{C} \approx 38.21^\circ

Bài 5. Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 9090 cm và góc ở đỉnh là 35∘35^\circ.

Lời giải: Diện tích tam giác cân: $$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 90 \cdot \sin 35^\circ \ &= 4050 \sin 35^\circ \ &\approx 4050 \cdot 0.5736 \ &\approx 2324.16 , \text{cm}^2. \end{aligned} $$

Kết quả: 2324.16 cm22324.16 \, \text{cm}^2

Bài 6. Cho tam giác ABCABC có AB=6,AC=8AB = 6, AC = 8 và A^=60∘\widehat{A} = 60^\circ.

a) Tính diện tích tam giác ABCABC.

Lời giải: Diện tích tam giác: $$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ \ &= 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \ &= 12\sqrt{3}. \end{aligned} $$

Kết quả: 12312\sqrt{3}

b) Gọi II là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Tính diện tích tam giác IBCIBC.

Lời giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $$ R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 12 \sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}. $$

Diện tích tam giác IBCIBC: $$ \begin{aligned} S_{IBC} &= \frac{abc}{4R} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} \sqrt{3}} \ &= \frac{6 \cdot 8}{4} \ &= 12. \end{aligned} $$

Kết quả: 1212

Bài 7. Cho tam giác ABCABC có trọng tâm GG và độ dài ba cạnh AB,BC,CAAB, BC, CA lần lượt là 15,18,2715, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC.

Lời giải: Nửa chu vi: $$ p = \frac{15 + 18 + 27}{2} = 30. $$

Diện tích tam giác: $$ \begin{aligned} S &= \sqrt{30 \cdot 15 \cdot 12 \cdot 3} \ &= \sqrt{16200} \ &= 127.28. \end{aligned} $$

Bán kính đường tròn nội tiếp: $$ r = \frac{S}{p} = \frac{127.28}{30} \approx 4.24. $$

Kết quả: S≈127.28,r≈4.24S \approx 127.28, r \approx 4.24

b) Tính diện tích tam giác GBCGBC.

Lời giải: Diện tích tam giác GBCGBC: $$ S_{GBC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \approx \frac{1}{3} \cdot 127.28 \approx 42.43. $$

Kết quả: 42.4342.43

Bài 8. Cho hah_a là đường cao từ đỉnh A,RA, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Chứng minh hệ thức: ha=2Rsin⁡Bsin⁡Ch_a = 2R\sin B \sin C.

Lời giải: Ta có: $$ \begin{aligned} h_a &= b \sin C \ &= 2R \sin B \sin C. \end{aligned} $$

Kết quả: Đuˊng\text{Đúng}

Bài 9. Cho tam giác ABCABC có góc BB nhọn, ADAD và CECE là hai đường cao.

a) Chứng minh SBDESBAC=BD⋅BEBA⋅BC\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} = \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC}.

Lời giải: Ta có: $$ \begin{aligned} \frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} &= \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot BE \sin \widehat{DBE}}{\frac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \sin \widehat{ABC}} \ &= \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC} \cdot \frac{\sin \widehat{DBE}}{\sin \widehat{ABC}} \ &= \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC}. \end{aligned} $$

Kết quả: Đuˊng\text{Đúng}

b) Biết rằng SABC=9SBDES_{ABC} = 9S_{BDE} và DE=22DE = 2\sqrt{2}. Tính cos⁡B\cos B và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC.

Lời giải: Từ câu a: $$ \begin{aligned} \frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} &= \frac{BD \cdot BE}{BA \cdot BC} = \frac{1}{9} \ \Rightarrow \frac{BD}{BA} \cdot \frac{BE}{BC} &= \frac{1}{9}. \end{aligned} $$

Lại có: $$ \cos B = \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{3}. $$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $$ R = \frac{AC}{2 \sin B} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}} = \frac{9}{4}. $$

Kết quả: cos⁡B=23,R=94\cos B = \frac{\sqrt{2}}{3}, R = \frac{9}{4}

Bài 10. Cho tứ giác lồi ABCDABCD có các đường chéo AC=x,BD=yAC = x, BD = y và góc giữa ACAC và BDBD bằng α\alpha. Gọi SS là diện tích của tứ giác ABCDABCD.

a) Chứng minh S=12xysin⁡αS = \frac{1}{2} xy \sin \alpha.

Lời giải: Ta có: $$ \begin{aligned} S &= S_{ABC} + S_{ACD} \ &= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \sin \alpha \ &= \frac{1}{2} xy \sin \alpha. \end{aligned} $$

Kết quả: Đuˊng\text{Đúng}

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC⊥BDAC \perp BD.

Lời giải: Nếu AC⊥BDAC \perp BD thì α=90∘\alpha = 90^\circ: $$ S = \frac{1}{2} xy. $$

Kết quả: S=12xyS = \frac{1}{2} xy

Trang 75 — Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập.

Luyện tập

  1. Giải tam giác ABCABC trong các trường hợp sau:
    a) AB=85AB = 85, AC=95AC = 95 và A=40∘A = 40^\circ.
    b) AB=15AB = 15, AC=25AC = 25 và BC=30BC = 30.

Lời giải:

Câu a) AB=85AB = 85, AC=95AC = 95 và A=40∘A = 40^\circ

  • Đặt a=BCa = BC, b=AC=95b = AC = 95, c=AB=85c = AB = 85, A=40∘A = 40^\circ.

  • Áp dụng định lý cosin:
    a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A a2=952+852−2⋅95⋅85⋅cos⁡40∘a^2 = 95^2 + 85^2 - 2 \cdot 95 \cdot 85 \cdot \cos 40^\circ a2=9025+7225−16100⋅0.766a^2 = 9025 + 7225 - 16100 \cdot 0.766 a2=16250−12335.6a^2 = 16250 - 12335.6 a2=3914.4a^2 = 3914.4 a=3914.4≈62.6a = \sqrt{3914.4} \approx 62.6

  • Áp dụng hệ quả định lý cosin:
    cos⁡B=a2+c2−b22ac\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} cos⁡B=62.62+852−9522⋅62.6⋅85\cos B = \frac{62.6^2 + 85^2 - 95^2}{2 \cdot 62.6 \cdot 85} cos⁡B=3917.7+7225−902510642\cos B = \frac{3917.7 + 7225 - 9025}{10642} cos⁡B=2117.710642\cos B = \frac{2117.7}{10642} cos⁡B≈0.199\cos B \approx 0.199 B≈arccos⁡(0.199)≈78.5∘B \approx \arccos(0.199) \approx 78.5^\circ

  • Ta có:
    C=180∘−A−BC = 180^\circ - A - B C=180∘−40∘−78.5∘C = 180^\circ - 40^\circ - 78.5^\circ C≈61.5∘C \approx 61.5^\circ

Kết quả: a≈62.6a \approx 62.6, B≈78.5∘B \approx 78.5^\circ, C≈61.5∘C \approx 61.5^\circ.

Câu b) AB=15AB = 15, AC=25AC = 25 và BC=30BC = 30.

  • Đặt a=BC=30a = BC = 30, b=AC=25b = AC = 25, c=AB=15c = AB = 15.

  • Áp dụng hệ quả định lý cosin:
    cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos⁡A=252+152−3022⋅25⋅15\cos A = \frac{25^2 + 15^2 - 30^2}{2 \cdot 25 \cdot 15} cos⁡A=625+225−900750\cos A = \frac{625 + 225 - 900}{750} cos⁡A=−50750=−115\cos A = \frac{-50}{750} = -\frac{1}{15} A=arccos⁡(−115)≈93.8∘A = \arccos\left(-\frac{1}{15}\right) \approx 93.8^\circ

  • Áp dụng định lý sin:
    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} sin⁡B=bsin⁡Aa\sin B = \frac{b \sin A}{a} sin⁡B=25sin⁡93.8∘30\sin B = \frac{25 \sin 93.8^\circ}{30} sin⁡B≈25⋅0.99230≈0.827\sin B \approx \frac{25 \cdot 0.992}{30} \approx 0.827 B≈arcsin⁡(0.827)≈55.8∘B \approx \arcsin(0.827) \approx 55.8^\circ

  • Ta có:
    C=180∘−A−BC = 180^\circ - A - B C=180∘−93.8∘−55.8∘C = 180^\circ - 93.8^\circ - 55.8^\circ C≈30.4∘C \approx 30.4^\circ

Kết quả: A≈93.8∘A \approx 93.8^\circ, B≈55.8∘B \approx 55.8^\circ, C≈30.4∘C \approx 30.4^\circ.