Trang 80 — Giải bài tập
Bài 4.
Cho tam giác A B C ABC A B C A ^ = 120 ∘ \widehat{A} = 120^\circ A = 12 0 ∘ b = 8 b = 8 b = 8 c = 5 c = 5 c = 5 a a a B ^ \widehat{B} B C ^ \widehat{C} C A B C ABC A B C A H AH A H
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A = 8 2 + 5 2 − 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ cos 120 ∘ = 64 + 25 + 40 = 129 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 8^2 + 5^2 - 2\cdot8\cdot5\cdot\cos 120^\circ = 64 + 25 + 40 = 129 a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A = 8 2 + 5 2 − 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ cos 12 0 ∘ = 64 + 25 + 40 = 129 a = 129 a = \sqrt{129} a = 129
Áp dụng định lý Sin:
a sin A = b sin B ⇒ sin B = b sin A a = 8 sin 120 ∘ 129 \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{8\sin 120^\circ}{\sqrt{129}} sin A a = sin B b ⇒ sin B = a b sin A = 129 8 sin 12 0 ∘ sin B ≈ 0.598 ⇒ B ^ ≈ 36.7 ∘ \sin B \approx 0.598 \Rightarrow \widehat{B} \approx 36.7^\circ sin B ≈ 0.598 ⇒ B ≈ 36. 7 ∘ C ^ = 180 ∘ − A ^ − B ^ ≈ 180 ∘ − 120 ∘ − 36.7 ∘ = 23.3 ∘ \widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} \approx 180^\circ - 120^\circ - 36.7^\circ = 23.3^\circ C = 18 0 ∘ − A − B ≈ 18 0 ∘ − 12 0 ∘ − 36. 7 ∘ = 23. 3 ∘
b) Diện tích tam giác:
S = 1 2 b c sin A = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ sin 120 ∘ = 10 3 S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \sin 120^\circ = 10\sqrt{3} S = 2 1 b c sin A = 2 1 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ sin 12 0 ∘ = 10 3
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
R = a 2 sin A = 129 2 sin 120 ∘ = 129 3 = 43 R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{\sqrt{129}}{2\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{3}} = \sqrt{43} R = 2 sin A a = 2 sin 12 0 ∘ 129 = 3 129 = 43
Đường cao A H AH A H A H = 2 S a = 2 ⋅ 10 3 129 = 20 3 129 AH = \frac{2S}{a} = \frac{2\cdot 10\sqrt{3}}{\sqrt{129}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{129}} A H = a 2 S = 129 2 ⋅ 10 3 = 129 20 3
Kết quả: a = 129 a = \sqrt{129} a = 129 B ^ ≈ 36.7 ∘ \widehat{B} \approx 36.7^\circ B ≈ 36. 7 ∘ C ^ ≈ 23.3 ∘ \widehat{C} \approx 23.3^\circ C ≈ 23. 3 ∘ S = 10 3 S = 10\sqrt{3} S = 10 3 R = 43 R = \sqrt{43} R = 43 A H = 20 3 129 AH = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{129}} A H = 129 20 3
Bài 5.
Cho hình bình hành A B C D ABCD A B C D 2 ( A B 2 + B C 2 ) = A C 2 + B D 2 2(AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2 2 ( A B 2 + B C 2 ) = A C 2 + B D 2 A B = 4 AB = 4 A B = 4 B C = 5 BC = 5 B C = 5 B D = 7 BD = 7 B D = 7 A C AC A C
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Cosin trong tam giác A B C ABC A B C A D C ADC A D C A C 2 = A B 2 + B C 2 − 2 A B ⋅ B C cos B ^ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC\cos \widehat{B} A C 2 = A B 2 + B C 2 − 2 A B ⋅ B C cos B A C 2 = A D 2 + D C 2 − 2 A D ⋅ D C cos D ^ AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2AD\cdot DC\cos \widehat{D} A C 2 = A D 2 + D C 2 − 2 A D ⋅ D C cos D
Vì A B C D ABCD A B C D A B = D C , B C = A D , B ^ + D ^ = 180 ∘ AB = DC, BC = AD, \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ A B = D C , B C = A D , B + D = 18 0 ∘
Cộng hai phương trình:
2 A C 2 = 2 ( A B 2 + B C 2 ) + 2 A B ⋅ B C ( cos B ^ + cos D ^ ) 2AC^2 = 2(AB^2 + BC^2) + 2AB\cdot BC(\cos \widehat{B} + \cos \widehat{D}) 2 A C 2 = 2 ( A B 2 + B C 2 ) + 2 A B ⋅ B C ( cos B + cos D ) 2 A C 2 = 2 ( A B 2 + B C 2 ) 2AC^2 = 2(AB^2 + BC^2) 2 A C 2 = 2 ( A B 2 + B C 2 )
Tương tự với B D BD B D 2 B D 2 = 2 ( A B 2 + A D 2 ) + 2 A B ⋅ A D ( cos B ^ + cos D ^ ) 2BD^2 = 2(AB^2 + AD^2) + 2AB\cdot AD(\cos \widehat{B} + \cos \widehat{D}) 2 B D 2 = 2 ( A B 2 + A D 2 ) + 2 A B ⋅ A D ( cos B + cos D ) 2 B D 2 = 2 ( A B 2 + B C 2 ) 2BD^2 = 2(AB^2 + BC^2) 2 B D 2 = 2 ( A B 2 + B C 2 )
Cộng lại:
2 ( A B 2 + B C 2 ) = A C 2 + B D 2 2(AB^2 + BC^2) = AC^2 + BD^2 2 ( A B 2 + B C 2 ) = A C 2 + B D 2
b)
2 ( 4 2 + 5 2 ) = A C 2 + 7 2 2(4^2 + 5^2) = AC^2 + 7^2 2 ( 4 2 + 5 2 ) = A C 2 + 7 2 A C 2 = 2 ( 16 + 25 ) − 49 = 33 AC^2 = 2(16 + 25) - 49 = 33 A C 2 = 2 ( 16 + 25 ) − 49 = 33 A C = 33 AC = \sqrt{33} A C = 33
Kết quả: 33 \sqrt{33} 33
Bài 6.
Cho tam giác A B C ABC A B C a = 15 a = 15 a = 15 b = 20 b = 20 b = 20 c = 25 c = 25 c = 25 A B C ABC A B C A B C ABC A B C
Lời giải:
a) Nửa chu vi:
p = a + b + c 2 = 30 p = \frac{a + b + c}{2} = 30 p = 2 a + b + c = 30
Diện tích:
S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 30 ⋅ 15 ⋅ 10 ⋅ 5 = 150 S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30\cdot15\cdot10\cdot5} = 150 S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 30 ⋅ 15 ⋅ 10 ⋅ 5 = 150
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
R = a b c 4 S = 15 ⋅ 20 ⋅ 25 4 ⋅ 150 = 25 2 R = \frac{abc}{4S} = \frac{15\cdot20\cdot25}{4\cdot150} = \frac{25}{2} R = 4 S ab c = 4 ⋅ 150 15 ⋅ 20 ⋅ 25 = 2 25
Kết quả: 150 150 150 25 2 \frac{25}{2} 2 25
Bài 7.
Cho tam giác A B C ABC A B C cot A + cot B + cot C = R ( a 2 + b 2 + c 2 ) a b c \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc} cot A + cot B + cot C = ab c R ( a 2 + b 2 + c 2 )
Lời giải:
cot A + cot B + cot C = cos A sin A + cos B sin B + cos C sin C \cot A + \cot B + \cot C = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} cot A + cot B + cot C = sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C = sin B cos A + sin A cos B sin A sin B + cos C sin C = \frac{\sin B\cos A + \sin A\cos B}{\sin A\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} = sin A sin B sin B cos A + sin A cos B + sin C cos C = sin ( A + B ) sin A sin B + cos C sin C = \frac{\sin (A+B)}{\sin A\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} = sin A sin B sin ( A + B ) + sin C cos C = sin C sin A sin B + cos C sin C = \frac{\sin C}{\sin A\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} = sin A sin B sin C + sin C cos C
Sử dụng công thức:
sin A = a 2 R , sin B = b 2 R , sin C = c 2 R , cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}, \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} sin A = 2 R a , sin B = 2 R b , sin C = 2 R c , cos C = 2 ab a 2 + b 2 − c 2
Thay vào:
cot A + cot B + cot C = 4 R 2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) \cot A + \cot B + \cot C = \frac{4R^2}{abc} (a^2+b^2+c^2) cot A + cot B + cot C = ab c 4 R 2 ( a 2 + b 2 + c 2 )
Kết quả: R ( a 2 + b 2 + c 2 ) a b c \frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc} ab c R ( a 2 + b 2 + c 2 )
Bài 8.
Tính khoảng cách A B AB A B
Lời giải:
Gọi d d d A B AB A B α = 2.1 ∘ \alpha = 2.1^\circ α = 2. 1 ∘
Áp dụng định lý Cosin:
d 2 = 350 2 + 370 2 − 2 ⋅ 350 ⋅ 370 ⋅ cos 2.1 ∘ d^2 = 350^2 + 370^2 - 2\cdot350\cdot370\cdot\cos 2.1^\circ d 2 = 35 0 2 + 37 0 2 − 2 ⋅ 350 ⋅ 370 ⋅ cos 2. 1 ∘ d ≈ 64.5 d \approx 64.5 d ≈ 64.5
Kết quả: 64.5 64.5 64.5
Bài 9.
Tính chiều cao của tháp hải đăng.
Lời giải:
Gọi h h h
tan 35 ∘ = h P B = h 300 + B Q \tan 35^\circ = \frac{h}{PB} = \frac{h}{300 + BQ} tan 3 5 ∘ = P B h = 300 + B Q h tan 48 ∘ = h B Q \tan 48^\circ = \frac{h}{BQ} tan 4 8 ∘ = B Q h
Từ hai phương trình:
h = 300 tan 35 ∘ + B Q tan 35 ∘ = B Q tan 48 ∘ h = 300\tan 35^\circ + BQ\tan 35^\circ = BQ\tan 48^\circ h = 300 tan 3 5 ∘ + B Q tan 3 5 ∘ = B Q tan 4 8 ∘
B Q = 300 tan 35 ∘ tan 48 ∘ − tan 35 ∘ BQ = \frac{300\tan 35^\circ}{\tan 48^\circ - \tan 35^\circ} B Q = tan 4 8 ∘ − tan 3 5 ∘ 300 tan 3 5 ∘
h = 300 tan 35 ∘ tan 48 ∘ tan 48 ∘ − tan 35 ∘ h = \frac{300\tan 35^\circ\tan 48^\circ}{\tan 48^\circ - \tan 35^\circ} h = tan 4 8 ∘ − tan 3 5 ∘ 300 tan 3 5 ∘ tan 4 8 ∘
Kết quả: h ≈ 284.9 h \approx 284.9 h ≈ 284.9
Bài 10.
Tính chiều cao của tháp.
Lời giải:
Gọi h h h
tan 49 ∘ = h C A 1 = h 12 + A 1 B \tan 49^\circ = \frac{h}{CA_1} = \frac{h}{12 + A_1B} tan 4 9 ∘ = C A 1 h = 12 + A 1 B h tan 35 ∘ = 1.2 A 1 B \tan 35^\circ = \frac{1.2}{A_1B} tan 3 5 ∘ = A 1 B 1.2
Từ hai phương trình:
h = ( 12 + A 1 B ) tan 49 ∘ = A 1 B tan 35 ∘ h = (12 + A_1B)\tan 49^\circ = A_1B\tan 35^\circ h = ( 12 + A 1 B ) tan 4 9 ∘ = A 1 B tan 3 5 ∘
A 1 B = 12 tan 49 ∘ tan 49 ∘ − tan 35 ∘ A_1B = \frac{12\tan 49^\circ}{\tan 49^\circ - \tan 35^\circ} A 1 B = tan 4 9 ∘ − tan 3 5 ∘ 12 tan 4 9 ∘
h = 12 tan 49 ∘ tan 35 ∘ tan 49 ∘ − tan 35 ∘ h = \frac{12\tan 49^\circ\tan 35^\circ}{\tan 49^\circ - \tan 35^\circ} h = tan 4 9 ∘ − tan 3 5 ∘ 12 tan 4 9 ∘ tan 3 5 ∘
Kết quả: h ≈ 20.2 h \approx 20.2 h ≈ 20.2
Trang 80 — Chương V: VECTƠ
Trang này không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải. Toàn bộ nội dung trên trang là phần giới thiệu và lý thuyết về chương Vecto.
Kết luận:
SKIP
Trang 81 — Bài 1. Khái niệm vecto
Trang này chỉ có nội dung lý thuyết về khái niệm vecto, không có bài tập, câu hỏi, luyện tập hay ví dụ cần giải.
SKIP
Trang 83 — Vectơ
Bài 1. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vecto C H → , C B → , H A → \overrightarrow{CH}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{HA} C H , C B , H A 1 1 1
Lời giải:
Vectơ C H → \overrightarrow{CH} C H C C C H H H C H CH C H
Vectơ C B → \overrightarrow{CB} C B C C C B B B C B CB C B
Vectơ H A → \overrightarrow{HA} H A H H H A A A H A HA H A
Ta có: C B = 2 , C H = 1 , H A = A C 2 − H C 2 = 2 2 − 1 2 = 3 . CB = 2, CH = 1, HA = \sqrt{AC^2 - HC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}. C B = 2 , C H = 1 , H A = A C 2 − H C 2 = 2 2 − 1 2 = 3 .
Suy ra ∣ C H → ∣ = 1 , ∣ C B → ∣ = 2 , ∣ H A → ∣ = 3 . |\overrightarrow{CH}| = 1, |\overrightarrow{CB}| = 2, |\overrightarrow{HA}| = \sqrt{3}. ∣ C H ∣ = 1 , ∣ C B ∣ = 2 , ∣ H A ∣ = 3 .
Kết quả: ∣ C H → ∣ = 1 , ∣ C B → ∣ = 2 , ∣ H A → ∣ = 3 . |\overrightarrow{CH}| = 1, |\overrightarrow{CB}| = 2, |\overrightarrow{HA}| = \sqrt{3}. ∣ C H ∣ = 1 , ∣ C B ∣ = 2 , ∣ H A ∣ = 3 .
Bài 2. Cho hình vuông A B C D ABCD A B C D 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 O O O 5 5 5 A C → , B D → , O A → , A O → \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AO} A C , B D , O A , A O
Lời giải:
Theo tính chất của hình vuông, ta có:
A C = B D = A B 2 + B C 2 = ( 2 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 = 1 , AC = BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 1, A C = B D = A B 2 + B C 2 = ( 2 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 = 1 ,
O A = 1 2 A C = 1 2 . OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}. O A = 2 1 A C = 2 1 .
Do ∣ A C → ∣ = A C , ∣ B D → ∣ = B D , ∣ O A → ∣ = O A , ∣ A O → ∣ = O A , |\overrightarrow{AC}| = AC, |\overrightarrow{BD}| = BD, |\overrightarrow{OA}| = OA, |\overrightarrow{AO}| = OA, ∣ A C ∣ = A C , ∣ B D ∣ = B D , ∣ O A ∣ = O A , ∣ A O ∣ = O A ,
suy ra: ∣ A C → ∣ = ∣ B D → ∣ = 1 |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}| = 1 ∣ A C ∣ = ∣ B D ∣ = 1 ∣ O A → ∣ = ∣ A O → ∣ = 1 2 . |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AO}| = \dfrac{1}{2}. ∣ O A ∣ = ∣ A O ∣ = 2 1 .
Kết quả: ∣ A C → ∣ = ∣ B D → ∣ = 1 |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}| = 1 ∣ A C ∣ = ∣ B D ∣ = 1 ∣ O A → ∣ = ∣ A O → ∣ = 1 2 . |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AO}| = \dfrac{1}{2}. ∣ O A ∣ = ∣ A O ∣ = 2 1 .