Trang 84 — Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Bài 2. Bạn có nhận xét gì về giá của các cặp vectơ AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}, PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS} trong Hình 6?

Lời giải: Quan sát Hình 6, ta thấy:

  • Giá của các cặp vectơ AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} song song với nhau.
  • Giá của các cặp vectơ PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS} song song với nhau.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Kết quả: Giá của các cặp vectơ AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}, PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS} trong Hình 6 song song với nhau.

Bài tìm các vectơ cùng phương trong Hình 6.

Lời giải: Trong Hình 6, AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} cùng phương vì có giá trùng nhau, PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS} cùng phương vì có giá song song.

Kết quả: Các vectơ cùng phương là AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}, PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS}.

Bài tìm các vectơ cùng hướng và ngược hướng trong Hình 6.

Lời giải: Chú ý: Trong Hình 6, hai vectơ AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng hướng. Hai vectơ PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS} cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta nói hai vectơ PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS} là hai vectơ ngược hướng.

Kết quả:

  • Vectơ cùng hướng: AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}.
  • Vectơ ngược hướng: PQ→\overrightarrow{PQ} và RS→\overrightarrow{RS}.

Bài tìm các lực ngược hướng trong số các lực tác động vào máy bay trong Hình 7.

Lời giải: Quan sát hình 7, ta thấy lực nâng n→\overrightarrow{n} ngược hướng với trọng lực P→\overrightarrow{P}; lực cản c→\overrightarrow{c} ngược hướng với lực đẩy d→\overrightarrow{d}.

Kết quả:

  • Lực nâng n→\overrightarrow{n} và trọng lực P→\overrightarrow{P}.
  • Lực cản c→\overrightarrow{c} và lực đẩy d→\overrightarrow{d}.

Trang 85 — Vectơ

Trang này có các phần lý thuyết và không có bài tập cụ thể cần giải. Nội dung chính là:

  1. Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng:

    • Vectơ a⃗\vec{a} được gọi là cùng phương với vectơ b⃗\vec{b} nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
    • Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

  2. Điều kiện ba điểm thẳng hàng:

    • Ba điểm AA, BB, CC thẳng hàng khi và chỉ khi AB⃗\vec{AB} và AC⃗\vec{AC} cùng phương.

  3. Vectơ bằng nhau - Vectơ đối nhau:

    • Hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, ký hiệu a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b}.
    • Hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, ký hiệu a⃗=−b⃗\vec{a} = -\vec{b}.

Vì không có bài tập cụ thể, tôi trả lời:

SKIP

Trang 86 — Vectơ

Bài tập

Bài 1. Cho D,E,FD, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,ABBC, CA, AB của tam giác ABCABC (Hình 14).

a) Tìm các vecto bằng vecto EF→\overrightarrow{EF} .

b) Tìm các vecto đối của vecto EC→\overrightarrow{EC}.

Lời giải:

a) Vì D,E,FD, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,ABBC, CA, AB của tam giác ABCABC nên EFEF là đường trung bình của tam giác ABCABC.

Do đó EF∥ABEF \parallel AB và EF=12ABEF = \frac{1}{2}AB.

Ta có: EF→=DB→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DB} và EF→=CD→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{CD} .

b) Ta có: EC→\overrightarrow{EC} và EA→\overrightarrow{EA} là hai vecto đối nhau.

Kết quả: DB→,CD→\overrightarrow{DB}, \overrightarrow{CD} và EA→\overrightarrow{EA} .

Bài 2. Cho đoạn thẳng EFEF có độ dài bằng 22 và nhận MM là trung điểm.

a) Tìm vecto-không trong số các vecto: EF→\overrightarrow{EF}, EE→\overrightarrow{EE}, EM→\overrightarrow{EM}, MM→\overrightarrow{MM}, FF→\overrightarrow{FF}.

b) Dùng kí hiệu 0→\overrightarrow{0} để biểu diễn các vecto-không đó.

Lời giải:

a) Ta có:

  • EE→\overrightarrow{EE} có điểm đầu và điểm cuối là EE nên EE→\overrightarrow{EE} là vecto-không.
  • MM→\overrightarrow{MM} có điểm đầu và điểm cuối là MM nên MM→\overrightarrow{MM} là vecto-không.
  • FF→\overrightarrow{FF} có điểm đầu và điểm cuối là FF nên FF→\overrightarrow{FF} là vecto-không.

b) Ta có: EE→=MM→=FF→=0→\overrightarrow{EE} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{FF} = \overrightarrow{0}.

Kết quả: EE→,MM→,FF→\overrightarrow{EE}, \overrightarrow{MM}, \overrightarrow{FF} .

Trang 87 — Bài tập

1.

Bài 1. a) Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:

  • Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng.
  • Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc.

b) Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vecto? Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc.

Lời giải: a) Sự khác biệt giữa hai đại lượng trên là:

  • Số tiền của bác Ba là một đại lượng vô hướng (không có hướng), cụ thể là 2020 triệu đồng.
  • Vận tốc của cơn bão là một đại lượng có hướng (theo hướng đông bắc), cụ thể là 2020 km/h.

b) Các đại lượng cần được biểu diễn bởi vecto là:

  • Lực
  • Độ dịch chuyển
  • Vận tốc

Kết quả:

2.

Bài 2. Cho hình thang ABCDABCD có hai cạnh đáy là ABAB và DCDC (Hình 15). Điểm MM nằm trên đoạn DCDC. a) Gọi tên các vecto cùng hướng với vecto AB→\overrightarrow{AB}. b) Gọi tên các vecto ngược hướng với vecto DM→\overrightarrow{DM}.

Lời giải: a) Các vecto cùng hướng với vecto AB→\overrightarrow{AB} là: DC→,MO→,DO→,CO→\overrightarrow{DC}, \overrightarrow{MO}, \overrightarrow{DO}, \overrightarrow{CO} (với OO là một điểm bất kì).

b) Các vecto ngược hướng với vecto DM→\overrightarrow{DM} là: MD→,MC→,MB→,MA→\overrightarrow{MD}, \overrightarrow{MC}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA}

Kết quả:

3.

Bài 3. Cho hình vuông ABCDABCD có tâm OO và có cạnh bằng aa (Hình 16). a) Tìm trong hình hai vecto bằng nhau và có độ dài bằng a22\frac{a\sqrt{2}}{2}. b) Tìm trong hình hai vecto đối nhau và có độ dài bằng a2a\sqrt{2}.

Lời giải: a) Hai vecto bằng nhau và có độ dài bằng a22\frac{a\sqrt{2}}{2} là: AC→\overrightarrow{AC} và CA→\overrightarrow{CA}.

Độ dài của hai vecto này là: $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{a^2 + a^2} \ &= \sqrt{2a^2} \ &= a\sqrt{2}. \end{aligned} $$ Tuy nhiên, đề bài yêu cầu độ dài a22\frac{a\sqrt{2}}{2}, nên không có vecto nào thoả mãn.

b) Hai vecto đối nhau và có độ dài bằng a2a\sqrt{2} là: AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD}.

Kết quả:

4.

Bài 4. Cho tứ giác ABCDABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

Lời giải: Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành   ⟺  AB→=DC→\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

Chứng minh:

  • Nếu AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} thì AB=DCAB = DC và AB∥DCAB \parallel DC.
  • Nếu AB=DCAB = DC và AB∥DCAB \parallel DC thì AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

Kết quả:

5.

Bài 5. Hãy chỉ ra các cặp vecto cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong Hình 17.

Lời giải:

  • Cặp vecto cùng hướng: a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b}.
  • Cặp vecto ngược hướng: u→\overrightarrow{u} và v→\overrightarrow{v}.
  • Cặp vecto bằng nhau: x→\overrightarrow{x} và y→\overrightarrow{y}.

Kết quả: