Giải Toán 10 Tập 2 trang 16-19 - Chân trời sáng tạo

Trang 16 — Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập:

1. Giải phương trình $\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+1}$ .

Lời giải:

• Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

  $$\begin{aligned} (\sqrt{x^2-1})^2 &= (\frac{1}{2}\sqrt{x^2+1})^2\\ x^2-1&=\frac{1}{4}(x^2+1)\\ 4(x^2-1) &= x^2+1\\ 4x^2-4 &=x^2+1\\ 3x^2 &= 5\\ x^2&=\frac{5}{3}\\ x&=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}. \end{aligned}$$

• Thử lại các giá trị $x=\sqrt{\frac{5}{3}}$ và $x=-\sqrt{\frac{5}{3}}$ vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.

Kết quả: $x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}$.

2. Giải phương trình $\sqrt{2x^2-6x-8}=\sqrt{x^2-5x-2}$.

Lời giải:

• Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

  $$\begin{aligned} (\sqrt{2x^2-6x-8})^2 &= (\sqrt{x^2-5x-2})^2\\ 2x^2-6x-8 &=x^2-5x-2\\ x^2-x-6 &=0\\ (x+2)(x-3) &= 0\\ x&=-2 \quad \text{hoặc} \quad x=3. \end{aligned}$$

• Thử lại các giá trị $x=-2$ và $x=3$ vào phương trình đã cho:

  • Với $x=-2$: $\sqrt{2(-2)^2-6(-2)-8} = \sqrt{8+12-8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ và $\sqrt{(-2)^2-5(-2)-2} =\sqrt{4+10-2} =\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Do đó, $x=-2$ thoả mãn phương trình.
  • Với $x=3$: $\sqrt{2(3)^2-6(3)-8} = \sqrt{18-18-8} = \sqrt{0} = 0$ và $\sqrt{(3)^2-5(3)-2} = \sqrt{9-15-2} = \sqrt{-8}$. Do đó, $x=3$ không thoả mãn phương trình.

Kết quả: $x=-2$.

---

Trang 17 — Phương trình quy về bậc hai

Bài 1. Giải phương trình $\sqrt{31x^2 - 58x + 1} = \sqrt{10x^2 - 11x - 19}$.

Lời giải:

• Bình phương hai vế của phương trình, ta có:
  $$ 31x^2 - 58x + 1 = 10x^2 - 11x - 19 $$ $$ 21x^2 - 47x + 20 = 0 $$

• Giải phương trình bậc hai:
  $$ x = \frac{47 \pm \sqrt{(-47)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 20}}{2 \cdot 21} $$ $$ x = \frac{47 \pm \sqrt{2209 - 1680}}{42} $$ $$ x = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{42} $$ $$ x = \frac{47 \pm 23}{42} $$ $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{20}{21}. $$

• Thử lại:

  • Với $x = 1,$ ta có:
    $$ \sqrt{31 \cdot 1^2 - 58 \cdot 1 + 1} = \sqrt{31 - 58 + 1} = \sqrt{-26}. $$ (Không xác định vì $\sqrt{-26} \notin \mathbb{R}.)$
  • Với $x = -\frac{20}{21},$ ta có:
    $$ \sqrt{31 \left( -\frac{20}{21} \right)^2 - 58 \left( -\frac{20}{21} \right) + 1} = \sqrt{\frac{12400}{441} + \frac{1160}{21} + 1} = \sqrt{\frac{12400 + 24480 + 441}{441}} = \sqrt{\frac{37321}{441}}. $$ $$ \sqrt{10 \left( -\frac{20}{21} \right)^2 - 11 \left( -\frac{20}{21} \right) - 19} = \sqrt{\frac{4000}{441} + \frac{220}{21} - 19} = \sqrt{\frac{4000 + 4620 - 8379}{441}} = \sqrt{\frac{241}{441}}. $$ Hai vế không bằng nhau.

Kết quả: Phương trình vô nghiệm.

Bài 2. Giải phương trình $\sqrt{3x^2 + 5x - 13} = x + 1$.

Lời giải:

• Bình phương hai vế của phương trình, ta có:
  $$ 3x^2 + 5x - 13 = (x + 1)^2 $$ $$ 3x^2 + 5x - 13 = x^2 + 2x + 1 $$ $$ 2x^2 + 3x - 14 = 0 $$

• Giải phương trình bậc hai:
  $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14)}}{2 \cdot 2} $$ $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{4} $$ $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{4} $$ $$ x = \frac{-3 \pm 11}{4}. $$ $$ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{7}{2}. $$

• Thử lại:

  • Với $x = 2,$ ta có:
    $$ \sqrt{3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 13} = \sqrt{12 + 10 - 13} = \sqrt{9} = 3 $$ $$ 2 + 1 = 3. $$ (Thỏa mãn.)
  • Với $x = -\frac{7}{2},$ ta có:
    $$ \sqrt{3 \left( -\frac{7}{2} \right)^2 + 5 \left( -\frac{7}{2} \right) - 13} = \sqrt{\frac{147}{4} - \frac{35}{2} - 13} = \sqrt{\frac{147 - 70 - 52}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}. $$ $$ -\frac{7}{2} + 1 = -\frac{5}{2}. $$ (Không thỏa mãn.)

Kết quả: $x = 2$.

---

Trang 18 — Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{11x^2-14x-12} = \sqrt{3x^2+4x-7};$

b) $\sqrt{x^2+x-42} = \sqrt{2x-30};$

c) $2\sqrt{x^2-x-1} = \sqrt{x^2+2x+5};$

d) $3\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{7x^2+2x-5}=0.$

Lời giải:

a) $\sqrt{11x^2-14x-12} = \sqrt{3x^2+4x-7}$

• Bình phương cả hai vế: $11x^2 - 14x - 12 = 3x^2 + 4x - 7.$
• Rút gọn: $8x^2 - 18x - 5 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5)}}{2 \cdot 8}$$ $$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 160}}{16} = \frac{18 \pm \sqrt{484}}{16} = \frac{18 \pm 22}{16}.$$
  • $x_1 = \frac{18 + 22}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}.$
  • $x_2 = \frac{18 - 22}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $x = \frac{5}{2}:$
    • $11(\frac{5}{2})^2 - 14(\frac{5}{2}) - 12 = \frac{275}{4} - 35 - 12 = \frac{275 - 140 - 48}{4} = \frac{87}{4} > 0,$
    • $3(\frac{5}{2})^2 + 4(\frac{5}{2}) - 7 = \frac{75}{4} + 10 - 7 = \frac{75 + 40 - 28}{4} = \frac{87}{4} > 0.$
  • $x = -\frac{1}{4}:$
    • $11(-\frac{1}{4})^2 - 14(-\frac{1}{4}) - 12 = \frac{11}{16} + \frac{14}{4} - 12 = \frac{11 + 56 - 192}{16} = -\frac{125}{16} < 0.$
    • Không thỏa mãn.

Kết quả: $x = \frac{5}{2}.$

b) $\sqrt{x^2+x-42} = \sqrt{2x-30}$

• Bình phương cả hai vế: $x^2 + x - 42 = 2x - 30.$
• Rút gọn: $x^2 - x - 12 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}.$$ $$x = \frac{1 \pm 7}{2}.$$
  • $x_1 = 4.$
  • $x_2 = -3.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $x = 4:$
    • $4^2 + 4 - 42 = 16 + 4 - 42 = -22 < 0.$
    • Không thỏa mãn.
  • $x = -3:$
    • $(-3)^2 + (-3) - 42 = 9 - 3 - 42 = -36 < 0.$
    • Không thỏa mãn.

Kết quả: Vô nghiệm.

c) $2\sqrt{x^2-x-1} = \sqrt{x^2+2x+5}$

• Bình phương cả hai vế: $4(x^2 - x - 1) = x^2 + 2x + 5.$
• Rút gọn: $4x^2 - 4x - 4 = x^2 + 2x + 5.$
• Rút gọn: $3x^2 - 6x - 9 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9)}}{2 \cdot 3}.$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{6} = \frac{6 \pm 12}{6}.$$
  • $x_1 = 3.$
  • $x_2 = -1.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $x = 3:$
    • $2\sqrt{3^2-3-1} = 2\sqrt{9-3-1} = 2\sqrt{5}.$
    • $\sqrt{3^2+2\cdot3+5} = \sqrt{9+6+5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$
    • Thỏa mãn.
  • $x = -1:$
    • $2\sqrt{(-1)^2-(-1)-1} = 2\sqrt{1} = 2.$
    • $\sqrt{(-1)^2+2(-1)+5} = \sqrt{1-2+5} = \sqrt{4} = 2.$
    • Thỏa mãn.

Kết quả: $x \in \{-1; 3\}.$

d) $3\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{7x^2+2x-5}=0$

• Đặt $\sqrt{x^2+x-1} = a,$ $\sqrt{7x^2+2x-5} = b.$
• Ta có: $3a - b = 0 \implies b = 3a.$
• Bình phương: $b^2 = 9a^2 \implies 7x^2 + 2x - 5 = 9(x^2 + x - 1).$
• Rút gọn: $7x^2 + 2x - 5 = 9x^2 + 9x - 9.$
• Rút gọn: $2x^2 + 7x - 4 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}.$$ $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-7 \pm 9}{4}.$$
  • $x_1 = \frac{1}{2}.$
  • $x_2 = -4.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $x = \frac{1}{2}:$
    • $3\sqrt{(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}-1} = 3\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1} = 3\sqrt{\frac{1+2-4}{4}} = 3\sqrt{-\frac{1}{4}}.$
    • Không thỏa mãn.
  • $x = -4:$
    • $3\sqrt{(-4)^2+(-4)-1} = 3\sqrt{16-4-1} = 3\sqrt{11}.$
    • $\sqrt{7(-4)^2+2(-4)-5} = \sqrt{112-8-5} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}.$
    • Thỏa mãn.

Kết quả: $x = -4.$

---

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2+3x+1} = 3;$

b) $\sqrt{x^2-x-4} = x+2;$

c) $2+\sqrt{12-2x} = x;$

d) $\sqrt{2x^2-3x-10} = -5.$

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2+3x+1} = 3$

• Bình phương cả hai vế: $x^2 + 3x + 1 = 9.$
• Rút gọn: $x^2 + 3x - 8 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2}.$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2}.$$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $x = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2} > 0.$
  • $x = \frac{-3 - \sqrt{41}}{2} < 0.$

Kết quả: $x = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2}.$

b) $\sqrt{x^2-x-4} = x+2$

• Bình phương cả hai vế: $x^2 - x - 4 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4.$
• Rút gọn: $-x - 8 = 0.$
• Giải: $x = -8.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $\sqrt{(-8)^2-(-8)-4} = \sqrt{64+8-4} = \sqrt{68}.$
  • $-8+2 = -6.$
  • Không thỏa mãn.

Kết quả: Vô nghiệm.

c) $2+\sqrt{12-2x} = x$

• Rút gọn: $\sqrt{12-2x} = x - 2.$
• Bình phương: $12 - 2x = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.$
• Rút gọn: $x^2 - 2x - 8 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}.$$ $$x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}.$$
  • $x_1 = 4.$
  • $x_2 = -2.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $x = 4:$
    • $2 + \sqrt{12-2\cdot4} = 2 + \sqrt{4} = 4.$
    • Thỏa mãn.
  • $x = -2:$
    • $2 + \sqrt{12-2(-2)} = 2 + \sqrt{16} = 6 \ne -2.$
    • Không thỏa mãn.

Kết quả: $x = 4.$

d) $\sqrt{2x^2-3x-10} = -5$

• Điều kiện: $2x^2 - 3x - 10 \ge 0.$
• Bình phương: $2x^2 - 3x - 10 = 25.$
• Rút gọn: $2x^2 - 3x - 35 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35)}}{2 \cdot 2}.$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{3 \pm 17}{4}.$$
  • $x_1 = 5.$
  • $x_2 = -\frac{7}{2}.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • Vô nghiệm vì $\sqrt{2x^2-3x-10} \ge 0.$

Kết quả: Vô nghiệm.

---

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB$ ngắn hơn $AC$ là $2$ cm.

a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền $BC$ theo $AB$.

b) Biết chu vi của tam giác $ABC$ là $24$ cm. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền $BC$ theo $AB$

• Đặt $AB = x \implies AC = x + 2.$
• Áp dụng định lý Pythagoras: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = x^2 + (x+2)^2 = 2x^2 + 4x + 4.$
• Suy ra: $BC = \sqrt{2x^2 + 4x + 4}.$

b) Biết chu vi của tam giác $ABC$ là $24$ cm

• Ta có: $AB + AC + BC = 24.$
• Thay $AB = x,$ $AC = x + 2,$ $BC = \sqrt{2x^2 + 4x + 4}:$$$x + (x + 2) + \sqrt{2x^2 + 4x + 4} = 24.$$
• Rút gọn: $\sqrt{2x^2 + 4x + 4} = 22 - 2x.$
• Bình phương: $2x^2 + 4x + 4 = (22-2x)^2 = 4x^2 - 88x + 484.$
• Rút gọn: $2x^2 - 92x + 480 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{92 \pm \sqrt{(-92)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 480}}{2 \cdot 2}.$$ $$x = \frac{92 \pm \sqrt{8464 - 3840}}{4} = \frac{92 \pm \sqrt{4624}}{4} = \frac{92 \pm 68}{4}.$$
  • $x_1 = 40.$
  • $x_2 = 6.$
• Kiểm tra điều kiện:
  • $x = 40 > 0$ và $22 - 2x = 22 - 80 < 0.$ Không thỏa mãn.
  • $x = 6:$
    • $AB = 6,$ $AC = 8,$ $BC = 10.$
    • Thỏa mãn.

Kết quả: $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm.

---

Bài 4. Một con tàu biển $M$ rời cảng $O$ và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc $60^\circ$. Trên bờ biển có hai đài quan sát $A$ và $B$ nằm về hai phía so với cảng $O$ và lần lượt cách cảng $O$ khoảng cách $1$ km và $2$ km (Hình 2).

a) Đặt độ dài của $MO$ là $x$ km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến $A$ và từ tàu đến $B$ theo $x$.

b) Tìm $x$ để khoảng cách từ tàu đến $B$ bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến $A$.

c) Tìm $x$ để khoảng cách từ tàu đến $B$ nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến $O$ đúng $500$ m.

Lời giải:

a) Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến $A$ và từ tàu đến $B$ theo $x$

• Ta có:
  • $MA^2 = MO^2 + OA^2 - 2 \cdot MO \cdot OA \cdot \cos 120^\circ = x^2 + 1^2 - 2 \cdot x \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = x^2 + x + 1.$
  • $MB^2 = MO^2 + OB^2 - 2 \cdot MO \cdot OB \cdot \cos 60^\circ = x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = x^2 - 2x + 4.$
• Suy ra:
  • $MA = \sqrt{x^2 + x + 1}.$
  • $MB = \sqrt{x^2 - 2x + 4}.$

b) Tìm $x$ để khoảng cách từ tàu đến $B$ bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến $A$

• Ta có: $\sqrt{x^2 - 2x + 4} = \frac{4}{5} \sqrt{x^2 + x + 1}.$
• Bình phương: $x^2 - 2x + 4 = \frac{16}{25} (x^2 + x + 1).$
• Rút gọn: $25x^2 - 50x + 100 = 16x^2 + 16x + 16.$
• Rút gọn: $9x^2 - 66x + 84 = 0.$
• Giải phương trình bậc hai:$$x = \frac{66 \pm \sqrt{(-66)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 84}}{2 \cdot 9}.$$ $$ x = \frac{66 \pm \sqrt{4356 - 3024}}{18} = \frac{66 \pm \sqrt{1332}}{18} \approx \frac{66 \pm 36.5}{

---

Trang 19 — Bài tập cuối chương VII

Bài 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau: a) $f(x) = 6x^2 + 41x + 44$;

Lời giải: Tam thức $f(x) = 6x^2 + 41x + 44$ có:

• $a = 6 > 0$,
• $\Delta = b^2 - 4ac = 41^2 - 4 \cdot 6 \cdot 44 = 1681 - 1056 = 625 > 0$,
• Các nghiệm của tam thức là $x_1 = \frac{-41 - \sqrt{625}}{12} = \frac{-41 - 25}{12} = -\frac{33}{6} = -5.5$ và $x_2 = \frac{-41 + \sqrt{625}}{12} = \frac{-41 + 25}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$.

Ta có bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty; -5.5)$	$(-5.5; -\frac{4}{3})$	$(-\frac{4}{3}; +\infty)$
$f(x)$	$+$	$-$	$+$

Vậy $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -5.5) \cup (-\frac{4}{3}; +\infty)$ và $f(x) < 0$ khi $x \in (-5.5; -\frac{4}{3})$.

Kết quả: $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -5.5) \cup (-\frac{4}{3}; +\infty)$ và $f(x) < 0$ khi $x \in (-5.5; -\frac{4}{3})$.

Bài 1b. $g(x) = -3x^2 + x - 1$;

Lời giải: Tam thức $g(x) = -3x^2 + x - 1$ có:

• $a = -3 < 0$,
• $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 1 - 12 = -11 < 0$.

Vì $a < 0$ và $\Delta < 0$ nên $g(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Kết quả: $g(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Bài 1c. $h(x) = 9x^2 + 12x + 4$.

Lời giải: Tam thức $h(x) = 9x^2 + 12x + 4$ có:

• $a = 9 > 0$,
• $\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.

Tam thức có nghiệm kép $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3}$.

Ta có bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty; -\frac{2}{3})$	$(-\frac{2}{3}; +\infty)$
$h(x)$	$+$	$+$

Vậy $h(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Kết quả: $h(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a) $7x^2 - 19x - 6 \ge 0$;

Lời giải: Tam thức $f(x) = 7x^2 - 19x - 6$ có:

• $a = 7 > 0$,
• $\Delta = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 361 + 168 = 529 > 0$,
• Các nghiệm của tam thức là $x_1 = \frac{19 - \sqrt{529}}{14} = \frac{19 - 23}{14} = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7}$ và $x_2 = \frac{19 + \sqrt{529}}{14} = \frac{19 + 23}{14} = 3$.

Ta có bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty; -\frac{2}{7})$	$(-\frac{2}{7}; 3)$	$(3; +\infty)$
$f(x)$	$+$	$-$	$+$

Vậy $f(x) \ge 0$ khi $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}] \cup [3; +\infty)$.

Kết quả: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}] \cup [3; +\infty)$.

Bài 2b. $-6x^2 + 11x > 10$;

Lời giải: Bất phương trình $-6x^2 + 11x > 10 \iff -6x^2 + 11x - 10 > 0$.

Tam thức $f(x) = -6x^2 + 11x - 10$ có:

• $a = -6 < 0$,
• $\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-10) = 121 - 240 = -119 < 0$.

Vì $a < 0$ và $\Delta < 0$ nên $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy bất phương trình $-6x^2 + 11x > 10$ vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm.

Bài 2c. $3x^2 - 4x + 7 > x^2 + 2x + 1$;

Lời giải: Bất phương trình $3x^2 - 4x + 7 > x^2 + 2x + 1 \iff 2x^2 - 6x + 6 > 0$.

Tam thức $f(x) = 2x^2 - 6x + 6$ có:

• $a = 2 > 0$,
• $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 36 - 48 = -12 < 0$.

Vì $a > 0$ và $\Delta < 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy bất phương trình $3x^2 - 4x + 7 > x^2 + 2x + 1$ có nghiệm $x \in \mathbb{R}$.

Kết quả: $x \in \mathbb{R}$.

Bài 2d. $x^2 - 10x + 25 \le 0$.

Lời giải: Tam thức $f(x) = x^2 - 10x + 25$ có:

• $a = 1 > 0$,
• $\Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$.

Tam thức có nghiệm kép $x = 5$.

Ta có bảng xét dấu:

Khoảng	$(-\infty; 5)$	$(5; +\infty)$
$f(x)$	$+$	$+$

Vậy $f(x) \le 0$ khi $x = 5$.

Kết quả: $x = 5$.

Bài 3. Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau: a) $x^2 - 0.5x - 5 \le 0$;

Lời giải: Dựa vào đồ thị, ta thấy:

• Parabol cắt trục hoành tại $x = -2$ và $x = 2.5$.

Ta có bảng xét dấu:

Khoảng	$(-2; 2.5)$
$f(x)$	$-$

Vậy $f(x) \le 0$ khi $x \in [-2; 2.5]$.

Kết quả: $x \in [-2; 2.5]$.

Bài 3b. $-2x^2 + x - 1 > 0$.

Lời giải: Dựa vào đồ thị, ta thấy:

• Parabol không cắt trục hoành.

Vì $a = -2 < 0$ nên $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy bất phương trình $-2x^2 + x - 1 > 0$ vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm.

Bài 4. Giải các phương trình sau: a) $\sqrt{x^2 - 7x} = \sqrt{-9x^2 - 8x + 3}$;

Lời giải: $\sqrt{x^2 - 7x} = \sqrt{-9x^2 - 8x + 3} \iff \begin{cases} x^2 - 7x \ge 0 \\ -9x^2 - 8x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 7x = -9x^2 - 8x + 3 \end{cases}$.

Giải hệ, ta được $x = \frac{1}{2}$.

Kết quả: $x = \frac{1}{2}$.

Bài 5. Một tam giác vuông có một cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền $8$ cm. Tính độ dài của các cạnh của tam giác vuông đó.

Lời giải: Gọi $x$ là độ dài cạnh góc vuông ngắn hơn.

Độ dài cạnh huyền là $x + 8$.

Áp dụng định lý Pythagoras: $x^2 + y^2 = (x+8)^2$.

Vì tam giác có chu vi là $30$ cm nên $x + y + (x+8) = 30 \iff y = 22 - 2x$.

Thay vào định lý Pythagoras: $x^2 + (22-2x)^2 = (x+8)^2$.

Giải phương trình: $x^2 + 484 - 88x + 4x^2 = x^2 + 16x + 64$.

$\iff 4x^2 - 104x + 420 = 0$.

$\iff x^2 - 26x + 105 = 0$.

$\iff (x - 5)(x - 21) = 0$.

$\iff x = 5$ hoặc $x = 21$ (loại).

Vậy các cạnh của tam giác là $5, 12, 13$.

Kết quả: $5, 12, 13$.

Bài 6. Một quả bóng được bắn thẳng lên từ độ cao $2$ m với tốc độ ban đầu là $30$ m/s. Khoảng cách $h(t)$ của bóng so với mặt đất sau $t$ giây được cho bởi hàm số $h(t) = -4.9t^2 + 30t + 2$.

Lời giải: Quả bóng nằm ở độ cao trên $40$ m khi $h(t) > 40$.

$\iff -4.9t^2 + 30t + 2 > 40$.

$\iff -4.9t^2 + 30t - 38 > 0$.

Giải bất phương trình: $t \in (1.74; 4.45)$.

Kết quả: $t \in (1.74; 4.45)$.

Bài 7. Một chú cá heo nhảy lên khỏi mặt nước. Độ cao $h$ (mét) của cá heo so với mặt nước sau $t$ giây được cho bởi hàm số $h(t) = -4.9t^2 + 9.6t$.

Lời giải: Cá heo ở trên không khi $h(t) > 0$.

$\iff -4.9t^2 + 9.6t > 0$.

$\iff t(-4.9t + 9.6) > 0$.

$\iff 0 < t < 1.96$.

Kết quả: $t \in (0; 1.96)$.

Bài 8. Lợi nhuận một tháng $p(x)$ của một quán ăn phụ thuộc vào giá trung bình $x$ của các món ăn theo công thức $p(x) = -30x^2 + 2100x - 15000$, với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới $15$ triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng nào?

Lời giải: $-30x^2 + 2100x - 15000 \ge 15000$.

$\iff -30x^2 + 2100x - 30000 \ge 0$.

$\iff x^2 - 70x + 1000 \le 0$.

Giải bất phương trình: $x \in [20; 50]$.

Kết quả: $x \in [20; 50]$.

Bài 9. Quỹ đạo của một quả bóng được mô tả bằng hàm số $y = f(x) = -0.03x^2 + 0.4x + 1.5$.

Lời giải: Quả bóng có thể ném được qua lưới cao $2$ m khi $f(x) = 2$.

$\iff -0.03x^2 + 0.4x + 1.5 = 2$.

$\iff -0.03x^2 + 0.4x - 0.5 = 0$.

Giải phương trình: $x \approx 13.66$.

Kết quả: $x \approx 13.7$.