Trang 24 —

Trang này có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải không?

Trang này có các ví dụ cần giải.

Ví dụ 5

Các phân tử RNA (acid ribonucleic) là một thành phần của tế bào, có chức năng truyền đạt thông tin di truyền và những chức năng quan trọng khác. Mỗi phân tử RNA là một dây các nucleotide thuộc một trong bốn loại là A (adenine), C (cytosine), G (guanine) và U (uracil). Hình 8 là hình ảnh mô phỏng một đoạn phân tử RNA. Số lượng và sự sắp xếp khác nhau của các phân tử nucleotide A, C, G hay U tạo nên các đoạn phân tử RNA khác nhau. Có nhiều nhất bao nhiêu đoạn phân tử RNA khác nhau cùng có 3 phân tử nucleotide?

Lời giải:

Có thể coi việc tạo ra một đoạn phân tử RNA có 3 phân tử nucleotide là một công việc gồm 3 công đoạn, mỗi công đoạn ứng với việc chọn một trong bốn loại nucleotide A, C, G hoặc U cho mỗi vị trí (thứ nhất, thứ hai, thứ ba) của đoạn. Như vậy, mỗi công đoạn có 4 cách thực hiện.

Theo quy tắc nhân, 3 công đoạn có số cách thực hiện là:

4⋅4⋅4=43=644 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64

Kết quả: 64

Ví dụ 6

Từ năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập được bao nhiêu a) số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau? b) số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

Kí hiệu số cần lập là abc‾\overline{abc}, với a,b,ca, b, c là ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số đã cho.

a) Có 4 cách lựa chọn chữ số aa từ bốn chữ số khác 0 đã cho.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 4 cách chọn chữ số bb từ bốn chữ số còn lại.

Ứng với mỗi cách chọn đó, có 3 cách chọn chữ số cc từ ba chữ số còn lại.

Theo quy tắc nhân, số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau là:

4⋅4⋅3=484 \cdot 4 \cdot 3 = 48

b)

  • Có 3 cách lựa chọn chữ số cc từ hai chữ số chẵn đã cho (1; 2; 4).

  • Ứng với mỗi cách chọn đó, có 3 cách chọn chữ số aa từ bốn chữ số còn lại.

  • Ứng với mỗi cách chọn đó, có 3 cách chọn chữ số bb từ ba chữ số còn lại.

Theo quy tắc nhân, số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau là:

3⋅3⋅2=183 \cdot 3 \cdot 2 = 18

Kết quả: a) 48 b) 18

Trang 25 — Tổ hợp

Bài 1. Một thùng chứa 6 quả dưa hấu, một thùng khác chứa 15 quả thanh long. Từ hai thùng này, a) có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu hoặc thanh long?

Lời giải:

Ta có thể tính số cách chọn một quả dưa hấu hoặc thanh long như sau:

  • Số cách chọn một quả dưa hấu là 66.
  • Số cách chọn một quả thanh long là 1515.

Vì các quả dưa hấu và thanh long này khác nhau nên theo quy tắc cộng, số cách chọn một quả dưa hấu hoặc một quả thanh long là:

$$ 6 + 15 = 21 $$

Kết quả: 21

Bài 1b. có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu và một quả thanh long?

Lời giải:

  • Số cách chọn một quả dưa hấu là 66.
  • Số cách chọn một quả thanh long là 1515.

Vì việc chọn một quả dưa hấu và một quả thanh long là độc lập với nhau nên theo quy tắc nhân, số cách chọn một quả dưa hấu và một quả thanh long là:

$$ 6 \cdot 15 = 90 $$

Kết quả: 90

Bài 2. Tung đồng thời một đồng xu và một con xúc xắc, nhận được kết quả là mặt xuất hiện trên đồng xu (sấp hay ngửa) và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.

a) Tính số kết quả có thể xảy ra.

Lời giải:

  • Đồng xu có 2 mặt nên có 22 kết quả (sấp hoặc ngửa).
  • Con xúc xắc có 66 mặt nên có 66 kết quả.

Vì việc xuất hiện mặt trên đồng xu và số chấm trên con xúc xắc là độc lập với nhau nên theo quy tắc nhân, số kết quả có thể xảy ra là:

$$ 2 \cdot 6 = 12 $$

Kết quả: 12

Bài 2b. Vẽ sơ đồ hình cây và liệt kê tất cả các kết quả đó.

Lời giải:

Ta có thể liệt kê các kết quả có thể xảy ra như sau:

  • Mặt xuất hiện trên đồng xu (S: sấp, N: ngửa).
  • Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Các kết quả có thể xảy ra:

  • S1, S2, S3, S4, S5, S6, N1, N2, N3, N4, N5, N6.

Sơ đồ hình cây:

  • Gốc: điểm xuất phát
  • Cành 1: S - →\to (S1, S2, S3, S4, S5, S6)
  • Cành 2: N - →\to (N1, N2, N3, N4, N5, N6)

Hình vẽ/đồ thị mô tả:

  • Một sơ đồ cây với 2 nhánh chính (S và N), mỗi nhánh chính phân nhánh thành 6 nhánh (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Kết quả:

Có tất cả 1212 kết quả có thể xảy ra.

Trang 26 —

Bài 3. Tại một nhà hàng chuyên phục vụ cơm trưa văn phòng, thực đơn có 55 món chính, 33 món phụ và 44 loại đồ uống. Tại đây, thực khách có bao nhiêu cách chọn bữa trưa gồm một món chính, một món phụ và một loại đồ uống?

Lời giải:

Số cách chọn một món chính là 55.

Số cách chọn một món phụ là 33.

Số cách chọn một loại đồ uống là 44.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn bữa trưa gồm một món chính, một món phụ và một loại đồ uống là:

$$ 5 \times 3 \times 4 = 60 $$

Kết quả: 6060.

Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là chữ số chẵn, chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ?

Lời giải:

Số cách chọn chữ số hàng trăm là 44 (các chữ số chẵn: 0,2,4,6,80, 2, 4, 6, 8 nhưng không thể chọn 00 nên còn 44).

Số cách chọn chữ số hàng chục là 1010.

Số cách chọn chữ số hàng đơn vị là 55 (các chữ số lẻ: 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9).

Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu là:

$$ 4 \times 10 \times 5 = 200 $$

Kết quả: 200200.

Bài 5. An có thể đi từ nhà đến trường theo các con đường như Hình 1111, trong đó có những con đường đi qua nhà sách.

a) An có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường mà có đi qua nhà sách?

b) An có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường?

Lời giải:

a) Số cách đi từ nhà đến nhà sách là 22.

Số cách đi từ nhà sách đến trường là 33.

Theo quy tắc nhân, số cách đi từ nhà đến trường mà có đi qua nhà sách là:

$$ 2 \times 3 = 6 $$

b) Số cách đi từ nhà đến trường là:

$$ 6 + 4 = 10 $$

Kết quả: 66 và 1010.

Trang 27 — Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 1. Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A,B,CA, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết minh về sản phẩm của mỗi đội.

a) Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra.

b) Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả, có cách tìm nào nhanh hơn không?

Lời giải:

a) Các kết quả bốc thăm có thể xảy ra là:

  • A,B,CA, B, C
  • A,C,BA, C, B
  • B,A,CB, A, C
  • B,C,AB, C, A
  • C,A,BC, A, B
  • C,B,AC, B, A

b) Có 66 kết quả có thể xảy ra.

Ngoài cách liệt kê, ta có thể tìm số kết quả bằng cách sử dụng quy tắc nhân.

  • Có 33 cách chọn đội trình bày thứ nhất.
  • Sau khi chọn đội trình bày thứ nhất, có 22 cách chọn đội trình bày thứ hai.
  • Sau khi chọn đội trình bày thứ nhất và thứ hai, có 11 cách chọn đội trình bày thứ ba.

Theo quy tắc nhân, số kết quả bốc thăm là:

$$ 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$

Kết quả: 6

Ta cũng có thể sử dụng công thức tính số hoán vị:

$$ P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$

Bài 2. Có bao nhiêu cách chọn 55 cầu thủ từ 1111 cầu thủ?

Lời giải:

Bước 1: Hiểu rõ vấn đề

  • Đây là bài toán chọn kk phần tử từ nn phần tử, trong đó không quan tâm đến thứ tự của các phần tử được chọn.
  • Công thức tính số tổ hợp: Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Bước 2: Áp dụng công thức

  • Ta có:
    • n=11n = 11 (tổng số cầu thủ).
    • k=5k = 5 (số cầu thủ cần chọn).
  • Số cách chọn 55 cầu thủ từ 1111 cầu thủ là: C115=11!5!(11−5)!=11!5!6!C_{11}^5 = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!}

Bước 3: Tính toán

  • Viết gọn: C115=11⋅10⋅9⋅8⋅75⋅4⋅3⋅2⋅1C_{11}^5 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

Bước 4: Thực hiện phép tính

  • Tính tử số:
    11⋅10⋅9⋅8⋅7=5544011 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 55440

  • Tính mẫu số:
    5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

  • Kết quả:

    C115=55440120=462C_{11}^5 = \frac{55440}{120} = 462

Kết quả: 462462

Bài 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 55 cầu thủ theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu?

Lời giải:

Bước 1: Hiểu rõ vấn đề

  • Đây là bài toán hoán vị, vì cần sắp xếp theo thứ tự.

Bước 2: Áp dụng công thức

  • Số cách sắp xếp nn phần tử là: Pn=n!P_n = n!

Bước 3: Tính toán

  • Ta có:
    • n=5n = 5 (số cầu thủ).
  • Số cách sắp xếp 55 cầu thủ theo thứ tự là: P5=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Bước 4: Thực hiện phép tính

  • Tính: 5⋅4=20,20⋅3=60,60⋅2=120,120⋅1=1205 \cdot 4 = 20, \quad 20 \cdot 3 = 60, \quad 60 \cdot 2 = 120, \quad 120 \cdot 1 = 120

Kết quả: 120120